在空气阻力影响下的落体偏东问题的探讨

在空气阻力影响下的落体偏东问题的探讨摘要:通用的高等学校理论力学教材中关于自由落体偏东问题通常忽略了空气阻力的影响。在空气阻力作用下自由落体偏东的规律，更进一步探讨自由落体偏东的实际情况。

关键词：非惯性参照系；科里奥利力；惯性离心力；落体偏东

Under the influence of the air resistance in the north by east fall the paper

discusses the problems

Abstract:General higher school theoretical mechanics in the teaching material about free fall partial east problems often ignore the influence of the air resistance. This paper studies the air resistance in under the law of partial east free fall,further objectively reflect the partial free fall to the actual situation of the east.

Key words:The inertial frame;Coriolis force;Inertia centrifugal force ;Freefall partial east

0 引言

在一般的理论力学教科书中，当研究地球自转所产生的影响问题中，物体从有限高度h处自由下落而抵达地面时，在适当选取好坐标系，建立起初始条件，并且在不计空气阻力的情况下，很容易得到的结论是：落体会产生数值很小的偏东现象。分析其力学原因是由于地球不是静止的，当物体沿竖直方向自由下落时，由于地球的转动，科里奥利力改变了它的着地位置。然而，可以看出，在研究该问题的力学分析过程中都忽略了一个重要因素，即空气阻力的影响。事实上，空气阻力是客观存在的。因此，这种分析方法存在一定的缺陷，必然不能准确的反映出物体运动的实际情况，故而会对研究的结果产生偏差。有必要在考虑空气阻力存在的情况下，研究落体偏东问题。只有这样，才能更准确地反映出落体偏东的实际情况，从而使研究的结果更加可靠，并且更具有实际价值。

1 无空气阻力下的落体问题

物体在地球表面的高度h处自由落下，如图(,a b)示，由于地球自转的影响，落体并不沿着铅垂线下降，落地点将比垂足点稍微偏东一些。下面通过计算得出无空气阻力下的落体问题的表达式。

取地面上的点为原点o ，当地的东北天方向为直角坐标系的方向。设当地的纬度为λ，因此地球自转角速度向量可表示为cos sin j k ωωλωλ=+。质点的运动方程为

2mr mgk m r ω=--⨯ (1)

(其中等号右边第一项是重力，它是地心引力与离心惯性力的向量和，k 沿重力的反方向。)

取x ,y ,z 三个分量的方程，并消去m 以后得到

2(sin cos )2(sin )

2(cos )x y z y x z g x ωλλωλωλ=-⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩

(2) 自由落体的初始条件为(0)0,(0)0,(0);(0)(0)(0)0x y z h x y z ======

求解这组方程，其解必定与ω有关。因为ω是小量，则可按ω展成幂级数，其形式如下 落体偏东图（b ）

z

A O y x

y '

y

B

ω

λcos ωλ

h 落体偏东图（a ）

λ

ω

北极

()x 东

()z 天

()y 天

O A

赤道

2(sin cos )2(sin )2(cos )x y z y x z g x ωλλωλωλ=-⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩

(3)

略去阶次高于ω的小量，得到近似解为

010101()()()()()()()()()x t x t x t y t y t y t z t z t z t ωωω=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩

(4)

将上式代入式(3)和初始条件，比较ω的零次项及一次系数，得出两组微分方程初始问题如下

0()x t ,0()y t ,0()z t 满足微分方程

0000,0,x y z g ===- (5)

初始条件为

000(0)0,(0)0,(0)x y z h ===

000(0)0,(0)0,(0)0

x y z === 这刚好就是假定ω0=时的微分方程及初始条件，解为

20001()0,()0,()2

x t y t z t h gt ===- (6) 这就是自由落体问题的第零次近似解。

另外111(),(),()x t y t z t 满足微分方程

100101

02sin 2cos 2sin 2cos x y z y x z x λλλ

λ=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩ (7) 初始条件为

111(0)

(0)(0)0x y z === 111(0)

(0)(0)0

x y z === 将零次近似解代入以后便可以解得 311()cos 3

x t gt λ=；1()0y t =；1()0z t = (8) 于是可以得到自由落体问题的一次近似解为

301012

011()cos 3()0

1()2x t x x g t y t y y z t z z h gt ωωλωω⎧=+=⎪⎪=+=⎨⎪⎪=+=-⎩

(9) 由第三式可以解得物体落到地面(0z =)所需要的时间为

1/2(2/)t h g = (10)

代入第一式就可以求出物体落地时向东的偏差量为

3/212()cos 3h y g g

ωλ= (11) 此式即为无空气阻力条件下落体问题的表达式。

2 空气阻力下的落体问题

事实上，空气阻力是客观存在的。因此，这种分析方法存在一定的缺陷，必然不能准确的反映出物体运动的实际情况，故而会对研究的结果产生偏差。所以有必要在考虑空气阻力存在的情况下，研究落体偏东问题。只有这样，才能更准确地反映出落体偏东的实际情况，从而使研究的结果更加可靠，并且更具有实际应用价值。由于物体在下落过程中要受到空气阻力的作用，而这种作用要根据落体速度的大小分为以下两种情况。

2.1 空气阻力与速度的大小关系

1.当落体从低空高度h 处下落时，其速度值较小。此时，可近似地认为空气阻力f 只与速度'v 的量值的一次方成正比，即

'f Av =- (12) 式中A 为阻力系数，可由实验方法确定。

2.当落体从较高处自由下落时，由于落体接近地面时其速度值较大，这就需要把落体的下落过程分成两个阶段来进行分析。第一阶段即为前一种情况，所受到的空气阻力f 仍遵从

(12)式。然而在，第二阶段中，由于其速度值较大，此时，可近似地认为空气阻力f 与2

v 成正比，即 2'f kv τ=- (13)

式中K 亦为阻力系数，同样由实验方法确定。τ为速度'v 方向上的单位矢量。显然，后一种