一题多解
“一题多解”激发学生数学探究欲望
甘肃省成县陕西师范大学成州中学 赵云生 邮编： 742500 邮箱：zys040818@https://www.360docs.net/doc/f05598032.html,
关键词：一题多解，探究欲望，比较法，单调性法，构造函数法。
数学是一门自然科学，对于学生学习数学兴趣和能力的培养，”一题多解”是一种非常有效的途径。古诗云：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”。数学解题也是如此，在数学教学中，对于一道数学题，我们从不同的角度去思考问题，培养学生良好的解决问题习惯,拓展学生的知识面。这不仅增强了学生对数学的好奇心，更重要的是激发了学生对数学问题的探究欲望。下面，我就以一道考试题为例进行说明。
例、若a=22ln ,b=33ln , c=5
5ln 则 A. a 解法一（比较法）：a-c= 22ln -55ln = 10 5ln 22ln 5- =1025ln 32ln - = 10 )2532ln( >0 ∴a-c>0 即 a>c ① 又∵b-a=33ln -2 2ln = 62ln 33ln 2- = 6 8ln 9ln - = 689 ln >0 ∴b-a>0 即 b>a ② 综上①,② 得 c 方法点评：1、比较法是比较数值大小的一种常用方法，这种方法解题步骤简称“四部曲”。 一， 作差，二、变形，三、判断符号，四、下结论。 2、“四部曲”的理解：作差是方向；变形是关键；判断显能力；下结论是目的。 解法二（单调性法）：a= 22ln =ln 2 ,b=33ln =ln 33 ,c=55ln =ln 55 ∵ 663822== 6623933== 又∵ 6698< ∴332< ∴ln 2 ∴ a 101053222== 1010252555== ∵ 10102532> ∴ 552> ∴ln 2>ln 55 ∴ a>c ② 综上①，②得 c 方法点评：利用函数单调性比较数值大小是一种综合性方法，关键是将比较对象做适当变形，找出共性，以学过的函数为参照，利用其单调性解答。本题还让学生学会了如何比较两个根式的大小，即利用公式把它们化为根指数相同的根式进行比较。 解法三：（构造函数法） 设f(x)= x x ln , (x>0)则 f ′(x)= 2ln 1x x - 令 f ′(x)>0 即1-lnx>0 ∴ 0 ∴y=f(x)在（0，e ）上是增函数， 在（e,∞）上是减函数。 设x 0 >e 且 f(x 0)=f(2) ∴22ln ln 00=x x ∴ x 0 =4 ∴f(4)=f(2) 又∵ 3<4<5 ∴f(3)>f(4)>f(5) 即 f(3)>f(2)>f(5) ∴ c 方法点评：构造函数法的精髓是让学生找数值共性，展开联想，构造一个函数，通过研究这个函数的性质（单调性）达到解决问题为目的。这种方法对学生综合能力要求比较高，也充分体现函数是数学的主线和灵魂。学生一旦掌握了这种方法，便会有一种居高临下的感觉。 综上， 由上例分析解答看出，在数学教学中，“一题多解”可以使学生更加积极地参与到课堂活动中来,教师给学生提供更多的想象空间，教师引导启发，放手让学生交流，探究，最后通过合作得出结论。真正意义上体现数学是过程，而不是结果。通过“一题多解”打破以往解题方法单一的思维定势，促进学生形成遇到一个问题会从不同角度思考的数学思维品质；通过“一题多解”让学生发现数学不同知识点之间的内在联系，它们互为利用的一种有序而清晰的网络结构。从而激发学生对数学学习的兴趣和探究欲望。 o y x e 1 例谈高中数学一题多解和一题多变的意义 杨水长 摘 要：高中数学教学中,用一题多解和一题多变的形式,可以使所学的知识得到活化，融会贯通，而且可以开阔思路，培养学生的发散思维和创新思维能力，从而达到提高学生的学习兴趣，学好数学的效果。 关键词：一题多变 一题多解 创新思维 数学效果 很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒”的作用，又只能硬着头皮学.如何才能学好数学？俗话说“熟能生巧”，很 多人认为要学好数学就是要多做.固然，多做题目可以 使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得数学越来越枯燥。 我觉得要使学生学好数学，首先要提高学生的学 习兴趣和数学思维能力。根据高考数学“源于课本， 高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可 以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取 一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。下面举例说明： 例题： 已知tanα=4 3 ,求sinα,cosα的值 分析：因为题中有sinα、cosα、tanα，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题： 法一 根据同角三角函数关系式tanα= 4 3= α αcos sin ， 且sina2α + cos2α =1。 两式联立，得出：cos2α=2516,cosα= 5 4 或者 cosα= -54 ；而sinα=53或者sinα=-53 。 分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些： 法二 tanα=4 3 ：α在第一、三象限 在第一象限时： cos2α = ααcos sin cos 2 2 2 5+=αtan 2 11+=2516 cosα=5 4 sinα=αcos 21-=5 3 而在第三象限时： cosa=- 5 4 sina=- 53 分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙： 法三 tanα= 43= αα cos sin ?4cos α= 3sin α ?4cos α= 3sin α= ± 3 4cos sin 2 2 2 2 ++α α ∴sinα=53，cosα= 54 或sinα=-53，cosα=-54 分析： 上面从代数法角度解此题，如果单独考虑sinα、cosα、tanα，可用定义来解此题。初中时，三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以尝试几何法来解之： 法四 当α为锐角时，由于tana=4 3,在直角△ABC 中，设α=A,a=3x,b=4x ，则勾股定理，得，c=5x sinA=AB BC = 53 ,cosA=AB AC =5 4 高三《一题多解 一题多变》题目 一题多解 一题多变（一） 原题：482++=x mx x f )( 的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482≥++x mx 在R 上恒成立 0>∴m 且Δ0≤，得4≥m 变1：4823++=x mx x f log )(的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482>++x mx 在R 上恒成立 0>∴m 且Δ0<，得4>m 变2：)(log )(4823++=x mx x f 的值域为R ，求m 的取值范围 解：令=t 482++x mx ，则要求t 能取到所有大于0的实数， ∴ 当0=m 时，t 能取到所有大于0的实数 当0≠m 时，0>m 且Δ0≥4≤0?m < 40≤≤∴m 变3：182 23++=x n x mx x f log )(的定义域为R,值域为[]20,，求m,n 的值 解：由题意，令[]911 82 2,∈+++=x n x mx y ，得0-8--2=+n y x x m y ）（ m y ≠时，Δ0≥016-)(-2≤++?mn y n m y - ∴ 1和9时0162=++-)(-mn y n m y 的两个根 ∴ 5==n m ∴ 当m y =时，08 ==m n x - R x ∈ ，也符合题意 ∴5==n m 一 题 多 解- 解不等式523<<3-x 解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解 （1）当03-≥x 2时，不等式可化为53-< 从 一题多解 到 “ ” 多题一解 “ ” 【摘要】一题多解是训练学生发散思维的好方法，然而仅仅停留在 一题多解 的层面上远远 “ ” 不够的，即让学生的思维无限发散，不注意 收（及时归纳总结方法），那将不利于学生对数 “ ” 学思想方法的掌握和运用。因此，一题多解要关注考纲和考试说明、关注学生的 学情 “ ” 、关 注解法的选择，最终变为多解归一，升华为解一类题的方法。 【关键词】一题多解 多题一解 求异思维 发散思维 文[１]说： “一题多解应该关注考纲和考试说明、 关注学生的 ‘学情’ 、 关注解法的选择。 ” 这一点笔者在高三教学感触颇深。 让我们先看一例： 例 1.已知点 ( ) ( ) ( ) 3,0,0,33,3,0, A B C ABC - D 外接圆为 D e （1）求 D e 的方程； （2）设直线 ( ) 1 :33 l y m x =+ 与直线 ( ) 2 :31 l y nx =- 的交点为P ，且点P 在 D e 上①若 D e 关于直线 1 l 对称，求n 的值；②若 0,0 m n >> ，求证：mn m n +- 为常数。 解法一： （标准答案提供方法）将直线 1 l 与 2 l 的方程联立方程组 ( ) ( ) 33 31 y m x y nx ì =+ ? í =- ? ? 解得 ( ) 31 331 m x n m m n y n m + ì = ? - ? í + ? = ? - ? 代入圆D 的方程得： ( ) 2 2 31 31 ()3112 m n m n m n m + éù + +-= êú -- ?? 化简得 ( ) ( ) ( ) 222 3133212 m mn m n n m +++-=- 移项因式分解得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 313232232 m n m mn m n n m mn m n +=-++---+- éùéù ???? 化简得 ( ) ( )( ) 2 31331334 m n m n mn m +=+-- 因为 0 m > ，所以 ( ) ( ) 313334 m n n mn m +=-- 移项分解因式得 ( )( ) 31313(31)(1) n n m n n -+=++ 因为 0 n > ，所以 1 3 mn m n +-=- 【评注】此法是参考答案提供的方法，对照题意思路清晰——入口宽，但要想真正化到最 终结果，却不太容易——运算量大。然而这一点符合《考试说明》考查学生运算求解能力的 要求，毕竟此法是通性通法。 解法二：设直线 1 l 与圆D 的交点 ( ) 00 , Q x y ，则将直线 1 l 与圆D 的方程联立方程组 ( ) 22 33 2390 y m x x y y ì =+ ? í +--= ? ? 消去 y 得 小学数学一题多解与一题多变B 摘要：在本文里，一题多用特指渗透于同一数学问题里的不同的数学思想；而一题多变则是指对同类数学问题的不同问法与解答的归纳，并进而构建数学模型。在小学数学教学过程中，教师可结合教学内容和学生的实际情况，采取多种形式的训练，培养学生思维的敏捷性和灵活性，以达到诱导学生思维发散，培养发散思维能力的目的。 关键词：数学，一题多解，一题多变，创造性，创设思维 思维的广阔性是发散思维的又一特征。思维的狭窄性表现在只知其一，不知其二，稍有变化，就不知所云。反复进行一题多解、一题多变的训练，是帮助学生克服思维狭窄性的有效办法。可通过讨论，启迪学生的思维，开拓解题思路，在此基础上让学生通过多次训练，既增长了知识，又培养了思维能力。教师在教学过程中，不能只重视计算结果，要针对教学的重难点，精心设计有层次、有坡度，要求明确、题型多变的练习题。要让学生通过训练不断探索解题的捷径，使思维的广阔性得到不断发展。要通过多次的渐进式的拓展训练，使学生进入广阔思维的佳境。 一、一题多解，有利于加强学生的思维训练 一题多解，指对同一数学问题的结论可以由多种途径获得。就是启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同的方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题，它属于解题的策略问题。上这种课的主要目的有三条：一是为了充分调动学生思维的积极性，提高他们综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧；二是为了锻炼学生思维的灵活性，促进他们长知识、长智慧；三是为了开阔学生的思路，引导学生灵活地掌握知识的纵横联系，培养和发挥学生的创造性。 心理学研究表明，在解决问题的过程中，如果主体所接触到的不是标准的模 2018高考题一题多解 1. （2018年天津高考真题理科和文科第13题） 已知R b a ∈,，且063=+-b a ，则b a 8 1 2+的最小值为 . 思路一：基本不等式ab b a 2≥+ 解析一：由于063=+-b a ，可得63-=-b a ， 由基本不等式可得，4 1222222222228123 6333= ?===?≥+=+ -----b a b a b a b a ， 当且仅当???=+-=-0 63223b a b a ，即???=-=13 b a 时等号成立。 故b a 812+ 的最小值为4 1 。 思路二：轮换对称法(地位等价法） 方法二：轮换对称性：因为b a 3,-的地位是样的，当取最值时，b a 3,-在相等的时候取到： 33-=-=b a ，得1,3=-=b a ，418128121 3 =+=+ -b a 所以最小值为4 1 思路三：换元+等价转化 方法三：令x a =2， y b =81 ，则x a 2log =，y b 2log 3=-， 则已知问题可以转化为：已知06log log 22=++y x ，则y x +的最小值为 . 已知06log log 22=++y x ，可得6 2-=xy ， 4 12223= ?=≥+-xy y x ， 当且仅当y x =，?????=+-=0 638 1 2b a b a ，即???=-=13 b a 时取得等号， 故b a 812+ 的最小值为4 1 。 2.【2018课标2卷理12】 已知1F ，2F 是椭圆22 221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点， 点P 在过A 的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=?，则C 的离心率为（ ）． A ． 23 B ．12 C ．13 D ．1 4 例题一、如图1，已知AB//CD ，试找出B ∠、BED ∠和D ∠的关系并证明。 我们找出他们的关系是：D B BED ∠+∠=∠。证明如下： 方法一：如图2，过点E 作EF//AB 。因为EF AB //，所以B BEF ∠=∠；因为CD AB //， EF AB //，所以 CD EF //，所以D FED ∠=∠，所以 D B F E D B E B E D ∠+∠=∠+∠=∠。 方法二：如图3，过点E 作EF//AB 。 因为EF AB //，所以 180=∠+∠B BEF ，即B BEF ∠-=∠ 180；因为CD AB //， EF AB //，所以CD EF //，所以 180=∠+∠D FED ，即D FED ∠-=∠ 180；因为 ? =∠+∠+∠360FED BED BEF ， 所 以 )180180(360)(360D B FED BEF BED ∠-+∠--=∠+∠-=∠?? D B ∠+∠=。 方法三：如图4，连接BD 。因为CD AB //，所以 180=∠+∠BDC ABD ，即 ) (180EDB EBD EDC ABE ∠+∠-=∠+∠ ；在ΔBED 中， )(180EDB EBD BED ∠+∠-=∠ ，所以EDC ABE BED ∠+∠=∠。 方法四：如图5，过点E 做AB FG ⊥，垂足为点F ，交CD 于点G 。因为CD AB //，所以 90180=∠-=∠EFB EGD ；在直角ΔEGD 中，D GED ∠-=∠ 90，在直角ΔEFB 中，B F E B ∠-=∠ 90，所以 )9090(180)(180B D FEB GED BED ∠-+∠--=∠+∠-=∠ D B ∠+∠=。 方法五：如图6，延长BE 交CD 于点F 。因为CD AB //，所以B EFD ∠=∠；在ΔEFD 中，F E D D E F D ∠-=∠+∠ 180，又因为FED BED ∠-=∠ 180，所以D B D E F D B E D ∠+∠=∠+∠=∠。 例题二、证明： 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 已知：如图1，在△ABC 中，AD=BD=CD ． 求证：△ABC 是直角三角形． 证法1 如图1，利用两锐角互余． ∵AD=CD ，CD=BD ， ∴∠1=∠A ，∠2=∠B 。 在△ABC 中，∵∠A+∠B+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠1+∠2=180°， ∴2（∠A+∠B ）=180°， ∴∠A+∠B=90°， ∴∠ACB=90°，∴△ABC 是直角三角形。 证法2 如图2，利用等腰三角形的三线合一． 延长AC 到E 使CE=AC ，连接BE ． ∵AD=BD ， ∴CD 是△ABE 的中位线． ∴BE 2 1 CD =。 2019-2020年高考数学一题多解含17年高考试题(III) 1、【2017年高考数学全国I 理第5题】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3] 【答案】D 【知识点】函数的奇偶性；单调性；抽象函数；解不等式。 【试题分析】本题主要考察了抽象函数的奇偶性，单调性以及简单的解不等式，属于简单题。 【解析】 解析二：（特殊函数法）由题意，不妨设()f x x =-，因为21()1x f --≤≤，所以121x -≤-≤，化简得13x ≤≤，故选D 。 解析三：（特殊值法）假设可取=0x ，则有21()1f --≤≤，又因为1(12)()f f ->=-，所以与21()1f --≤≤矛盾，故=0x 不是不等式的解，于是排除A 、B 、C ，故选D 。 2、【2017年高考数学全国I 理第11题】设xyz 为正数，且235x y z ==，则 A ．235x y z << B ．523z x y << C ．352y z x << D ．325y x z << 【答案】D 【知识点】比较大小；对数的运算；对数函数的单调性； 【试题分析】本题主要考察了对数的比较大小，其中运用到了对数的运算公式，对数的单调性等。属于中档题。 【解析】 解析一：令()2350x y z t t ===>，则2log x t =，3log y t =，5log z t =， 2lg 22log 1lg 22t x t ==，3lg 33log 1lg33t y t ==，5lg 5log 1lg55 t z t ==， 要比较2x 与3y ，只需比较1lg 22，1lg 33，即比较3lg 2与2lg3，即比较lg 8，lg 9，易知lg8lg9<，故23x y >. 解应用题（一题多解） 课前复习 1．水果店里有30千克苹果、25千克香蕉，卖了13千克香蕉，还有多少千克香蕉？2．乐乐在学校每天上5节课，一个星期要在学校上几节课？ 3．小明有41张邮票，送给华华12张，小林又送给他17张，现在小明有多 少张邮票？ 【例1】(★★)王奶奶家喂了2只大公鸡，喂的老母鸡比大公鸡多6只，每个星期平均一只老母鸡下4个鸡蛋，王奶奶喂的这些鸡一个星期能下多少个蛋？ 【例2】(★★★)小华每天写8个大字，比小军每天多写2个。小华和小军一星期一共写多少个大字？ 【拓展】(★★★)小红每分钟剪4朵小红花，小强每分钟比小红多剪2朵，他们两人一小时一共剪多少朵小红花？ 【例3】(★★★★)二年级原来女同学比男同学多25人，今年二年级又增加了80个男同学和65个女同学，请问：现在是男同学多还是女同学多？多几人？【例4】(★★★)草地上有黑兔、白兔、灰兔共27只，黑兔比白兔多2只，灰兔比白免少2只。黑兔、白兔、灰兔各有多少只？ 【例5】(★★★★)小强、中强、大强去称体重，大强和小强一起称是50千克，小强和中强一起称是49千克，三个人一起称是76千克。三人的体重各是多少千克？ 【拓展】(★★★★★)大明、小荣、豆豆三个小朋友去称体重，大明和小荣一起称是55千克，大明和豆豆一起称是49千克，小荣和豆豆一起称是56千克。三人的体重各是多少千克？ 【例6】(★★★★★)三棵树上共有36只鸟，有4只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上，有8只鸟从第二棵树上飞到第三棵树上，有10只鸟从第三棵树上飞到第一棵树上，这时，三棵树上的鸟同样多。原来每棵树上各有几只鸟？ 本讲总结 一、应用题解答步骤： 审题→分析→列式→计算→检查→写答语 二、注意事项： 1、是否有多余条件 2、是否有隐藏条件 1 / 31 / 3 摘要 本文意在明确一题多解和多题一解与学生思维能力发展之间的关系，从而使教师在数学解题教学过程中更加重视解题方法对学生思维能力的培养。本文通过两种典型例题即一题多解型和多题一解型的讲解，阐述了通过不同的例题可以达到对学生思维能力的训练培养的目的。通过一题多解，可以开阔学生思路、发散学生思维，让学生学会多角度分析和解决问题；通过多题一解，能够加深学生的思维深度，分析事物时学会由表及里，抓住事物的本质，找出事物间内在的联系。与此同时，对一题多解和多题一解的运用，要注意相互结合，灵活运用，不可只求一技，失之偏颇。 关键词：一题多解多题一解思维能力 Abstract A multi solution with multi-title, a solution is a commonly used method in the teaching of mathematical problem solving. To a given problem, can mathem ati cal kn owl edg e h as been an org an i c gath eri ng of stu den ts' di v erg en t thin kin g i s a good opportunity for its exercise; a solution of the multi-title, students can digest the knowledge, but also training the students of the Idea. In this paper, two typical example that is a question to the multi-solution and multi-title solution-based explanation on the purpose of training the training of the students' thinking abilities can be achieved through different examples. To a given problem, you can broaden the horizons of the students 'thinking, divergent thinking of the students, for students to learn multi-angle analysis and problem solving; a solution more than the question, can enhance students' depth of thinking, learn to analyze things from outside to inside, to seize the the nature of things, find things intrinsically linked. This article is intended relationship between the development of the ability to clear a given problem and a solution of the multi-title, with students thinking, so that teachers pay more attention to the culture of problem-solving approach to students' thinking ability in mathematical problem solving teaching process. Key words：Multiple solutions for one question A solutions of the multi-title Thinking ability 江苏卷 2017年江苏卷第5题：若tan 1-=46πα?? ???,则tan α= 【答案】75 【知识点】两角和与差的正切公式 【试题分析】本题主要考查了两角和与差的正切公式，属于基础题。 解法一：直接法 由61)4tan(=-π α，得6 1tan 4tan 14tan tan =+-αππ α，故可知57tan =α 解析二：整体代换 11tan()tan 7644tan tan[()]1445 1tan()tan 1446 ππαππααππα+-+=-+===---． 解法三：换元法 令t =-4π α，则61tan =t ，t +=4πα.所以57tan 11tan )4tan(tan =-+=+=t t t πα 2017年江苏卷第9题（5分）等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项为S n ，已知S 3=，S 6= ，则a 8= ． 法二：65436144 7463a a a s s ++==-=- 84 71433 21654===++++q a a a a a a S 3=，∴ ，得a 1=，则a 8==32． 法三：9133 2165432136=+=+++++++=q a a a a a a a a a s s ∴q=2 ∴，得a 1=，则a 8==32． 2017年江苏卷第15题．（14分）如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E 、F （E 与A 、D 不重合）分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ． 求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC ． 法二： 在线段CD 上取点G ，连结FG 、EG 使得FG ∥BC ，则EG ∥AC ， 因为BC ⊥BD ，所以FG ⊥BD ， 又因为平面ABD ⊥平面BCD ， 5 一道高考题的解析引发的深思 （2013 全国新课标 I 卷）理科 15，文科 16 题。 题目：设当 x = 时，函数 f (x ) = sin x - 2 c os x 取得最大值，则cos = 法一：直接使用辅助角公式 解： f (x ) = sin x - 2 cos x = 5( sin x - cos x ) ∴取cos = , sin = （三角替换，辅助角公式中由来） 即 f (x ) = 5 sin(x - ) x = 时，函数值最大 ∴sin(-) = 1 ，，即-= + 2k , k ∈ Z (找到与的关系） 2 所以cos = cos( 2 + + 2k ) = - sin = - 2 = - 5 此法少见的接触到了辅助角求值问题 法二：借用辅助角公式（避开辅助角） 解： f (x ) = 5 sin(x - ) （求最值） ∴ f (x )max = 当 x = 时，函数求得最大值 ∴ f ( ) = sin - 2 cos = 联立sin 2 + cos 2 = 1，解方程组 ∴消正弦得( 解得cos = - + 2 c os )2 + cos 2 = 1, 即5 c os 2 + 4 cos + 4 = 0 思考：此刻你在想什么呢？庆幸解唯一，还是当心解不唯一怎么处理呢？能不能一 开始就可以确定角的位置呢？ 观察函数，正弦应该取正，而余弦取负才可能有最大值，满足此要求的角在第二象限， 是不是免去你的后照顾之忧呢。 法三：利用? 判别式——————（尴尬！！！！汗颜！！！！！） 解：令 y = sin x - 2 cos x 则sin x = y + 2 cos x 消正弦 1 5 2 5 1 5 2 5 2 5 5 5 5 5 2 5 5 数学解题之一题多解与 多题一解 浅谈一题多解培养学生发散思维 摘要 本文意在明确一题多解中学生思维能力的发展，从而使教师在数学 解题教学过程屮更加重视解题方法对学生思维和发散思维的培养。本文通过两道典型例题对一题多解型的讲解，通过不同的例题可以达到对学生思维能力的训练培养的目的。通过一题多解，可以开阔学生思路、发散学生思维，让学生学会多角度分析和解决问题；对一题多解灵活运用，对培养学生发散思维，启发学生独立思考具有较好的指导意义。 关键词：一题多解发散思维思维能力 一题多解对学生思维能力的培养 同一数学问题用不同的数学方法可以达到异曲同工之效，我们称之为“一题多解”。其特点就是对同一个问题从不同的角度、不同的结构形式、不同的思维方式去解答同一个问题。一题多解能快速整合所学知识，重要的是培养学生细致的观察力、丰富的联想力和独立思考、解决问题的能力。 (-)提高分析、解决问题的能力 ?题多解，能够使学生开阔思维，把学过的知识和方法融合在 ?起，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生独立思考的能力。 例1. 甲乙两地相距450千米。客车和货车同时从两地相向而行，客车行完全程需10小时，货车行完全程需15小时，相遇时两车各行 多少千米？ 解法一：用路程问题的解法。 根据速度二路程÷时间可以求出客车的速度为450÷10二45 （千米/小时），货车的速度为450÷15二30 （千米/小时）。 （1）几小时后两车相遇：450÷（45+30）二6 （小时） （2）相遇时客车行了多少千米：45X6二270（千米） （3）相遇时货车行了多少千米：30X6二180（千米） 解法二：用比例分配的方法。 两车所需的时间之比是：10:15,根据距离一定，速度与时间成反比例关系进行解答。 （1）两车所需的时间之比是：10:15=2:3 所以两车速度之比是：3:2 （2）两车运行时间相同，所以路程与速度成正比例，即两车行驶路程之比是：3:2 3 （3）相遇时客车行了多少千米：450×（- ）=270（千米） 5 2 （4）相遇时货车行了多少千米:450×（- ）=180（千米） ^ 5 答：相遇时客车行了270千米，货车行了180千米。 解法三：工程问题的方法解决 客车行完全程要10小时，每小时行全程的1/10 货车行完全程需15小时，每小时行全程的1/15 相遇时间为:1÷（1/10 + 1/15） =6 （小时） 6小时客车行了全程的：6X1/10=3/5 所以客车行了： 450X3/5 = 270 （千米） 所以货车行了：450-270 = 180 （千米）...？解法一：求出两车相遇时间，进而求出相遇时两车各自的行驶路程，这种方法是处理类似行问题最为i般的方法，也是最为普遍的解决方法，是解决更为复杂的工程问题的基础。而解法二是通过对公式路程二速度X时间的灵活运用，只需求 二、解比例应用题。 1、一台拖拉机2小时耕地1.25公顷。照这样计算，8小时可以耕地多少公顷？ 2、工厂运来一批原料，原计划每天用15吨，可用60天。实际每天少用3吨，这批原料能用多少天？ 3、食堂买3桶油用780元，照这样计算，买8桶油要用多少钱？ 4、小明读一本书，每天读12页，8天可以读完，如果每天多读4页，几天可以读完？ 5、把3米长的竹竿直立在地上，测得影长1.2米，同时测得一根旗杆的影长为4.8米，求旗杆的高度是多少？ 6、农场收割275公顷小麦，前3天收割了165公顷。照这样计算，其余的还需要多少天才能收割完？ 7．农场收割小麦，前3天收割了165公顷。照这样计算，8天可以收割多少公顷？ 8．同学们做广播操，每行站20人，正好站18行。如果每行站24人，可以站多少行？ 9．一种农药，用药液和水按1：1500配制而成，现有3千克药液，能配制这种农药多少千克？ 10、一间房子要用方砖铺地，用边长3分米的方砖，需要96块。如果改用边长是2分米的方砖要多少块？ 11.建筑工人用水泥、沙子、石子按2：3：5配制成96吨的混凝土，需要水泥、沙子、石子各多少吨？ 12.一个县共有拖拉机550台，其中大型拖拉机台数和手扶拖拉机台数的比是 3：8，这两种拖拉机各有多少台？ 13.用84厘米长的铜丝围成一个三角形，这个三角形三条边长度的比是3：4：5。这个三角形的三条边各是多少厘米？ 14.一种药水是用药物和水按3：400配制成的。 （1）要配制这种药水1612千克，需要药粉多少千克？ （2）用水60千克，需要药粉多少千克？ （3）用48千克药粉，可配制成多少千克的药水？ 15.商店运来一批电冰箱，卖了18台，卖出的台数与剩下的台数比是3：2，求运来电冰箱多少台？ 16.一个晒盐场用500千克海水可以晒15千克盐；照这样的计算，用100吨海水可以晒多少吨盐？ 17.一个车间装配一批电视机，如果每天装50台，60天完成任务，如果要用40天完成任务，每天应装多少台？ 函数篇 【试题1】（2016全国新课标II 卷理16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln (1)y x =+的切线，b = ． 【标准答案】1ln 2- 解法一：设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+和ln (1)y x =+切点分别是 11(,ln 2)x x +和22(,ln (1))x x +． 则切线分别为：111ln 1y x x x =?++，()2 2221ln 111x y x x x x = ++-++ ∴()12 2 12 21 11ln 1ln 11x x x x x x ?=?+?? ?+=+-?+? 解得112x = 21 2x =- ∴解得1ln 11ln 2b x =+=- 解法二：设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+和ln (1)y x =+切点分别是11(,)x y 和 22(,)x y ． ∵曲线ln 2y x =+通过向量()1,2平移得到曲线()ln 1y x =+ ∴2121(,)(1,2)x x y y --= ∴两曲线公切线的斜率2k =，即112x =，所以1 ln 11ln 22 b =+=- 【试题2】【2015新课标12题】设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是( ) A.32[,1)e - B 33,24e - （）C.33[,)24e D.3 [,1) 2e 解法一：由题意可知存在唯一的整数0x 使得000(21)x e x ax a -<-，设 ()(21),()x g x e x h x ax a =-=-由'()(21)x g x e x =+，可知()g x 在1(,)2 -∞-上单调递减， 在1 (,)2-+∞上单调递增，故 (0)(0) (1)(1)h g h g >-≤-?? ?得312a e ≤< 解法二：由题意()0f x <可得(21)(1)x e x a x -<- ①当1x =时，不成立； ②当1x >时，(21)1x e x a x ->-，令(21) ()1 x e x g x x -=-，则22 (23)'()(1)x e x x g x x -=-， 当3(1,)2x ∈时，()g x 单调递减，当3(,)2 x ∈+∞时，()g x 单调递增 所以32 min 3()()42 g x g e ==，即3 24a e >，与题目中的1a <矛盾，舍去。 ③当1x <时，(21)1x e x a x -<-，令(21) ()1 x e x g x x -=- 同理可得：当(,0)x ∈-∞时，()g x 单调递增，当(0,1)x ∈时，()g x 单调递减 所以max ()(0)1g x g ==，即1a <，满足题意。 又因为存在唯一的整数0x ，则3(1)2a g e ≥-= 此时3 [ ,1)2a e ∈ 综上所述，a 的取值范围是3[ ,1)2e 解法三：根据选项，可以采取特殊值代入验证，从而甄别出正确答案。 当0a =时，()(21)x f x e x =-，'()(21)x f x e x =+，可知()f x 在1(,)2 -∞-递减，在1(,)2 -+∞递增，又(0)10f =-<，1(1)30f e --=-<，不符合题意，故0a =不成立，排除答案A 、B. 当34 a =时，33()(21)4 4 x f x e x x =--+，3'()(21)4 x f x e x =+-，因为3'()(21)4 x f x e x =+-为增函数，且31'(0)104 4 f =-=>，13'(1)04 f e --=--<，所以存在(1,0)t ∈-，使得'()0f t =，则()f x 在(,)t -∞递减，在(,)t +∞递增，又3 (0)104 f =-+<，13(1)302 f e --=-+>， 全国I 卷 1、【2017年高考数学全国I 理第5题】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3] 【答案】D 【知识点】函数的奇偶性；单调性；抽象函数；解不等式。 【试题分析】本题主要考察了抽象函数的奇偶性，单调性以及简单的解不等式，属于简单题。 【解析】 解析二：（特殊函数法）由题意，不妨设()f x x =-，因为21()1x f --≤≤，所以121x -≤-≤，化简得 13x ≤≤，故选D 。 解析三：（特殊值法）假设可取=0x ，则有21()1f --≤≤，又因为1(12)()f f ->=-，所以与21()1f --≤≤矛盾，故=0x 不是不等式的解，于是排除A 、B 、C ，故选D 。 2、【2017年高考数学全国I 理第11题】设xyz 为正数，且235x y z ==，则 A ．235x y z << B ．523z x y << C ．352y z x << D ．325y x z << 【答案】D 【知识点】比较大小；对数的运算；对数函数的单调性； 【试题分析】本题主要考察了对数的比较大小，其中运用到了对数的运算公式，对数的单调性等。属于中档题。 【解析】 解析一：令()2350x y z t t ===>，则2log x t =，3log y t =，5log z t =， 2lg 22log 1lg 22t x t == ，3lg 33log 1lg33t y t ==，5lg 5log 1lg55 t z t ==， 要比较2x 与3y ，只需比较1lg 22，1 lg 33，即比较3lg 2与2lg3，即比较lg 8，lg 9，易知lg8lg9<， 故23x y >. 全国卷1导数题一题多解，深度解析 1、2020年全国卷1理科数学第21题的解析 已知函数2 ()e x f x ax x =+-. （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥ 12 x 3 +1，求a 的取值范围.。 2.2020年 全国卷1文科数学第20题的解析 已知函数()(2)x f x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.。 3. 2020年新高考1卷（山东考卷）第21题 已知函数1 ()e ln ln x f x a x a -=-+ （1）.当a=e 时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围城的三角形的面积； （2）若()1f x ≥，求a 的取值范围。 1、2020年全国卷1理科数学第21题的解析 已知函数2 ()e x f x ax x =+-. （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥12 x 3 +1，求a 的取值范围.。 解析： （1） 单调性，常规题，a 已知，求一个特定函数f(x)的单调性。若一次求导不见底，则可 二次或多次清仓，即二次求导或多次求导，然后逐层返回。通常二次求导的为多。 （2） 恒成立，提高题，在恒成立情况下，求参数的取值范围。常常是把恒成立化成最值 问题。由于这里的a 只在一项中出现，故可以优先考虑分离参数法。这里介绍了两种方法。 解： （1） 当a=1时， 2 ()e x f x x x =+-，定义域为R ， '()e 21x f x x =+-，易知f ’(x)是单调递增函数。 而f ’(0)=0， ∴ 当x ∈（-∞，0），f ’(x)＜0 当x ∈（0,+∞），f ’(x)＞0 ∴当x ∈（-∞，0），f(x)单调递减；当x ∈（0,+∞），f(x)单调递增。 （2） 解法一 ，分离参数法 当x ≥0时，31()12f x x ≥ + ，即231 ()e 12 x f x ax x x =+≥+- 当x=0时，上式恒成立，此时a ∈R 。 当x ＞0时，上式等价于 3 2 112x x x e a x ++-≥ 恒成立。 ____________________________________________________________________________________________ 初中数学一题多解与一题多变 时代在变迁，教育在进步，理念在更新。前两年提出考试要改革，有了《指导意见》，于是一批批探索性、开放性和应用性试题不断涌现；如今又提出课程要改革，有了《课程标准》，其中突出了学生自主探索的学习过程，强调应用数学和创新能力的培养，鼓励教师创造性教学，学生学会学习。 面临这种崭新的教育形势，我们会思考这样一些问题：教学要如何从静态转为动态？怎样有效地指导学生独立地分析问题、解决问题，形成有效的学习策略，提高效益？该如何引导和组织学生从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动，激发学生的学习兴趣和创新意识，培养创新能力？等等。我个人在实际教学过程中，对这些问题作过一些深思和一些尝试，其中比较突出的是引导学生进行一题多解和一题多变的训练。下面，我提出几个实例来分析其引导过程与方法，抛砖引玉，仅供参考。 一、一题多解，多解归一 对于"一题多解"，我是从两个方面来认识和解释的：其一，同一个问题，用不同的方法和途径来解决；其二，同一个问题，其结论是多元的，即结论开放性问题。一题多解，有利于沟通各知识的内涵和外延，深化知识，培养发散性和创造性思维；多解归一，有利于提炼分析问题和解决问题的通性、通法，从中择优，培养聚合思维。 例1：如图，已知D 、E 在BC 上，AB=AC ，AD=AE ， E D C B A 求证：BD=CE. （本题来自《几何》第2册69页例3） 思路与解法一：从△ABC和△ADE是等腰三角形这一角度出发，利用"等腰三角形底边上的三线合一"这一重要性质，便得三种证法，即过点A作底边上的高，或底边上的中线或顶角的平分线。其通法是"等腰三角形底边上的三线合一"，证得BH=CH. 思路与解法二：从证线段相等常用三角形全等这一角度出发，本题可设法证△ABD≌△ACE或证△ABE≌△ACD，于是又得两种证法，而证这两对三角形全等又都可用AAS、ASA、SAS进行证明，所以实际是六种证法。其通性是"全等三角形对应边相等"。 思路与解法三：从等腰三角形的轴对称性这一角度出发，于是用叠合法可证。 例2：已知，如图，在⊙O中，AD是直径，BC是弦，AD⊥BC，E 添加字母，不写推理过程） D 思路与解法一：从相等的线段这一角度出发，可得如下结论： 1.OA=OD； 2.BE=CE； ____________________________________________________________________________________________ 第11题 一道根式函数题的6种解法 设t t =求的取值范围（江苏高考解答题中的一个小题） 解法一：（平方化为二次函数）对t =两边平方得22t =+ 011≤-≤ 224,0t t ∴≤≤≥又 2t ≤≤ ， 故t 的取值范围是?? 解法二：（三角换元法）注意到 ))()211x + =-≤≤， 可用三角换元法，如下： 2sin ,0,2πααα??==∈???? 得 2sin 4t πααα? ?==+ ??? 由 32sin 24 4 424π π ππαα? ?≤+ ≤ ≤+≤ ?? ? t ∴的取值范围是?? 解法三：（三角换元法）[]11,cos ,0,x x θθπ-≤≤∴=∈令， 则有 cos sin cos sin 2222t θθ θθ??==+=+???? 以下解法同解法二，这两种换元法本质上是一样的，只不过是从不同角度看问 题的， 解法二，注意到了平方和为一个常数，解法三则由定义域[]1,1x ∈-入手． 解法四：（双换元法）,u v x ==消去得： 2 2 2u v +=，问题转化为方程组2 2 02 u v t u v u v +=?≤≤≤≤?+=?在条件下有解时， 求t 的取值范围，即动直线u v t +=与圆弧222(0u v u v +=≤≤≤≤有公共点时， 求t 的取值范围，以下用数形结合法解（略）。 解法五：（构造等差数列）由t =22 t =?， 2t 成等差数列。 22 t t d d =-=+， 消去x 得2 22222,442t d t d =+=-，由20d ≥知 22444t d =-≤，得2t ≤。 0。 222 d d ≤≤- ≤≤ 221 444422 t d ∴=-≥-?=2t ≤≤ 解法六：（构造向量法）设向量(1,1),(1p q x ==+，两向量的夹角为α， 则112cos 2t p q t αα=?=+=∴≤ 由图像知：当点位于坐标轴上时，cos α取最小值。 01,01,x t x t =====-=即得即也得 2t ≤≤ 解题反思：上述六种解法一个共同特点，都是从函数式的结构特点出发，或变更形式，或巧妙换元，或数形结合，或构造向量，都是数学转化思想的有效应用，但对六种方法作一对比，不难看出，方法一最为简单，究其原因，仍是平方后的结构简洁的特点所致，因此，函数结构特征决定求解方法。 通过解一道高考题，探索其多种解法，体现了换元法、向量法、解析几何 法以及数形结合、转化与化归等数学思想在求无理函数最值（值域）中的应用。 数学知识有机联系纵横交错，解题思路灵活多变，解题方法途径众多，但最终却能殊途同归，即使一次性解题合理正确，也未必保证一次解题就是最佳思路与最优最简捷的解法，不能解完题就此罢手，应该进一步反思，探求一题多解，开拓思路，勾通知识，掌握规律，权衡解法优劣，培养学生发散思维能力；探求一题多变，做到举一反三，在更高层次更富有创造性地去学习，摸索总结，使自己的解题能力能更上一层楼。 第12题 特值压缩法求解参数取值范围 已知函数()f x ＝2x ax b ++，()g x ＝()x e cx d +，若曲线()y f x =和()y g x =曲线都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+。例谈高中数学一题多解和一题多变的意义
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