第五章回归模型中的变量问题
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工具变量法的基本思路：当解释变量与随机项相关时，则寻 找另一个变量，该变量与随机解释变量高度相关，但与随机 误差项不相关，则称该变量为工具变量，用其替代随机解释 变量。
选择为工具变量的变量必须满足以下条件： （1）工具变量必须具有实际经济意义； （2）与所替代的随机解释变量高度相关，但与随机误差 项不相关； （3）与模型中其它解释变量不相关，以避免出现多重共 线性； （4）模型中多个工具变量之间不相关。
(4.77)
由古典假定u和x不相关，即Cov(u,x)=0,因此有：
15
2、工具变量的应用
yi* 1xi*ui*
用O以L一S估元计回归模模型型，的离由差形式ˆ1为例说(x明xi*i*如y)i*2下可：得：
xi*yi*ˆ1 (xi*)2
用 x i*去乘模型 yi*1xi*ui*两边、对i从1到n求和得到：
x i * y i * 1 (x i * ) 2 u i * x i *
即：
Plni m ˆn 1 简记为： Plnimˆn
则称 ˆn 为θ的一致估计量。
可以证明：ˆn 为θ的一致估计量，当且仅当：
P liE m (ˆ n ), P liV m (ˆ a n ) 0 r
7
概率极限有以下运算法则：
Plim(cx)clim(x) c为一常数
Plim (x1x2)Plim x1Plim x2
E
xi*ui ( xi* ) 2
0
E(ˆ1) 1
最小二乘估计量是有偏的。
11
但由于Cov(x,u)=0, 即
Plim1 n
xi*ui 0
对式(4.70)两边取概率极限：
Plim ˆ1)(1Plim([xxi* i*u)i2]
1
P lim P lim
1
n 1
n
xi*ui
1
( xi* )2
说明最小二乘估计量具有一致性。也就是说，如果
x是随机变量，且x与u不相关但也不独立，虽然小
样本的无偏性Leabharlann Baidu不到满足，但在样本容量增加时，
OLSE会逐渐逼近真实的总体参数，即在样本足够
大时，OLSE仍然是有意义的。
12
4. x是随机变量，x与u相关，即使在大样本条件下，
仍然存在 Cov(xi,ui)0
不管自变量x是否是随机变量，对上式应用OLS，参数的 估计量都是
ˆ1
(xi x)(yi y) (xi x)2
xi* yi* ( xi* )2
1
xi*ui* (xi*)2
1
xi*ui (xi*)2
9
E(ˆ1)1E[ (xxi*i*u)i2]
我们分下列四种情况进行讨论 1. x 是非随机变量，x与u自然不相关
要求满足古典假设4：随机项u与解释变量x之间不相关，即：
Cov(xi, ui)=0 i=1,2, …, n 只要解释变量x1, x2,…, xk是确定性变量，则上述假设自动满 足。
3
在许多经济现象中，自变量的非随机性假定有时是不符合实际 的。因为，
⑴ 许多经济变量是不能用控制的方法进行观测的，所以作 为模型中的解释变量其取值就不可能是确定的，而是随机的。
lni mE(ˆn)
则称 ˆn 为θ的渐近无偏估计量。
有时，在小样本的情况下，ˆn 是有偏的，但随着样本 容量的逐步增大，ˆn 与θ的系统偏差越来越小，逐渐
趋于0。通过增加样本容量，可以改善参数估计的精 度。
6
2. 渐近一致性
本容对量真n实充值分θ大在时样，本容ˆ n值量趋为近n时于的真估值计θ值的概ˆ n率，接如近果于当1。样
模型中出现随机解释变量且与随机误差项相关时，OLS估计量 是有偏的。
如果随机解释变量与随机误差项异期相关，则可以通过增大样 本容量的办法来得到一致的估计量；
但如果是同期相关，即使增大样本容量也无济于事。这时，最 常用的估计方法是工具变量法（Instrument variables）。
14
1、工具变量的选取
4
一、估计量的渐近性质
线性、无偏性和有效性是评价一个估计量优 劣的标准。在有的情况下，小样本的估计量不具 有某种统计特性，但随着样本容量的增大，估计 量逐渐有了这种统计性质，此时称之为估计量的 渐近统计性质。 1 .渐近无偏性 2. 渐近一致性
5
1. 渐近无偏性
记 ˆn 为样本容量为n时参数θ的估计量，如果满足
⑵ 又由于随机项包含了模型中略去的解释变量，而略去的解 释变量同模型中保留的解释变量往往是相关的。
⑶ 自回归模型中，因变量作为解释变量也必定是随机变量了。 因此，我们必须对模型中的解释变量为随机变量且与随机项相 关的情形进行讨论。
如果存在一个或多个随机变量作为解释变量，则称原模 型出现随机解释变量问题。 下面我们就对解释变量为随机变量且与随机项相关的情形 进行讨论。
对式(4.68)，设 Var(x)x2 ，x与u之间的相关系数
为ρ，则式(4.75)变为：
Plim(ˆ1)1CVoavr((xx,u))
1
u x
2 x
1
u x
1
由此可以看出，ˆ1 是β1的非一致估计量。这时OLS
失效，必须引进其他方法估计参数和进行统计推
论推论。
13
三、随机解释变量模型的经济计量方法
E (xxi*i*u)i2 (xxi*i*)2E(ui)0
E(ˆ1) 1
最小二乘估计量是无偏的。
10
2. x是随机变量，但x与u不相关，且相互独立
E (xxi* i*u)i2 E(xxi*i*)2E(ui)0
E(ˆ1) 1
最小二乘估计量仍然是无偏的。
3. x是随机变量，x与u不相关，但也不独立
Plim(x1) Plim(x1) x2 Plim(x2)
Plim(x2) 0
1
Plim(x1)Plim(x)
8
二、随机解释变量模型OLS估计
特性 以一元线性回归模型为例 说明。设给定的模型为
yi 01xiui
采用离差形式即为:
yi* 1xi*ui*
式中： y i * y i y , x i * x i x , u i * u i u
第五章 回归模型中的 变量问题
第一节 解释变量为随机变量
第二节 多重共线性问题
第三节 虚拟变量
第四节 滞后变量
第一节 随机解释变量
一、估计量的渐近性质 二、随机解释变量模型OLS估计特性 三、随机解释变量模型的经济计量方法 四、案例
2
对于模型
y i 0 1 x 1 i 2 x 2 i k x k iu i i=1,2,…,n
选择为工具变量的变量必须满足以下条件： （1）工具变量必须具有实际经济意义； （2）与所替代的随机解释变量高度相关，但与随机误差 项不相关； （3）与模型中其它解释变量不相关，以避免出现多重共 线性； （4）模型中多个工具变量之间不相关。
(4.77)
由古典假定u和x不相关，即Cov(u,x)=0,因此有：
15
2、工具变量的应用
yi* 1xi*ui*
用O以L一S估元计回归模模型型，的离由差形式ˆ1为例说(x明xi*i*如y)i*2下可：得：
xi*yi*ˆ1 (xi*)2
用 x i*去乘模型 yi*1xi*ui*两边、对i从1到n求和得到：
x i * y i * 1 (x i * ) 2 u i * x i *
即：
Plni m ˆn 1 简记为： Plnimˆn
则称 ˆn 为θ的一致估计量。
可以证明：ˆn 为θ的一致估计量，当且仅当：
P liE m (ˆ n ), P liV m (ˆ a n ) 0 r
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概率极限有以下运算法则：
Plim(cx)clim(x) c为一常数
Plim (x1x2)Plim x1Plim x2
E
xi*ui ( xi* ) 2
0
E(ˆ1) 1
最小二乘估计量是有偏的。
11
但由于Cov(x,u)=0, 即
Plim1 n
xi*ui 0
对式(4.70)两边取概率极限：
Plim ˆ1)(1Plim([xxi* i*u)i2]
1
P lim P lim
1
n 1
n
xi*ui
1
( xi* )2
说明最小二乘估计量具有一致性。也就是说，如果
x是随机变量，且x与u不相关但也不独立，虽然小
样本的无偏性Leabharlann Baidu不到满足，但在样本容量增加时，
OLSE会逐渐逼近真实的总体参数，即在样本足够
大时，OLSE仍然是有意义的。
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4. x是随机变量，x与u相关，即使在大样本条件下，
仍然存在 Cov(xi,ui)0
不管自变量x是否是随机变量，对上式应用OLS，参数的 估计量都是
ˆ1
(xi x)(yi y) (xi x)2
xi* yi* ( xi* )2
1
xi*ui* (xi*)2
1
xi*ui (xi*)2
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E(ˆ1)1E[ (xxi*i*u)i2]
我们分下列四种情况进行讨论 1. x 是非随机变量，x与u自然不相关
要求满足古典假设4：随机项u与解释变量x之间不相关，即：
Cov(xi, ui)=0 i=1,2, …, n 只要解释变量x1, x2,…, xk是确定性变量，则上述假设自动满 足。
3
在许多经济现象中，自变量的非随机性假定有时是不符合实际 的。因为，
⑴ 许多经济变量是不能用控制的方法进行观测的，所以作 为模型中的解释变量其取值就不可能是确定的，而是随机的。
lni mE(ˆn)
则称 ˆn 为θ的渐近无偏估计量。
有时，在小样本的情况下，ˆn 是有偏的，但随着样本 容量的逐步增大，ˆn 与θ的系统偏差越来越小，逐渐
趋于0。通过增加样本容量，可以改善参数估计的精 度。
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2. 渐近一致性
本容对量真n实充值分θ大在时样，本容ˆ n值量趋为近n时于的真估值计θ值的概ˆ n率，接如近果于当1。样
模型中出现随机解释变量且与随机误差项相关时，OLS估计量 是有偏的。
如果随机解释变量与随机误差项异期相关，则可以通过增大样 本容量的办法来得到一致的估计量；
但如果是同期相关，即使增大样本容量也无济于事。这时，最 常用的估计方法是工具变量法（Instrument variables）。
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1、工具变量的选取
4
一、估计量的渐近性质
线性、无偏性和有效性是评价一个估计量优 劣的标准。在有的情况下，小样本的估计量不具 有某种统计特性，但随着样本容量的增大，估计 量逐渐有了这种统计性质，此时称之为估计量的 渐近统计性质。 1 .渐近无偏性 2. 渐近一致性
5
1. 渐近无偏性
记 ˆn 为样本容量为n时参数θ的估计量，如果满足
⑵ 又由于随机项包含了模型中略去的解释变量，而略去的解 释变量同模型中保留的解释变量往往是相关的。
⑶ 自回归模型中，因变量作为解释变量也必定是随机变量了。 因此，我们必须对模型中的解释变量为随机变量且与随机项相 关的情形进行讨论。
如果存在一个或多个随机变量作为解释变量，则称原模 型出现随机解释变量问题。 下面我们就对解释变量为随机变量且与随机项相关的情形 进行讨论。
对式(4.68)，设 Var(x)x2 ，x与u之间的相关系数
为ρ，则式(4.75)变为：
Plim(ˆ1)1CVoavr((xx,u))
1
u x
2 x
1
u x
1
由此可以看出，ˆ1 是β1的非一致估计量。这时OLS
失效，必须引进其他方法估计参数和进行统计推
论推论。
13
三、随机解释变量模型的经济计量方法
E (xxi*i*u)i2 (xxi*i*)2E(ui)0
E(ˆ1) 1
最小二乘估计量是无偏的。
10
2. x是随机变量，但x与u不相关，且相互独立
E (xxi* i*u)i2 E(xxi*i*)2E(ui)0
E(ˆ1) 1
最小二乘估计量仍然是无偏的。
3. x是随机变量，x与u不相关，但也不独立
Plim(x1) Plim(x1) x2 Plim(x2)
Plim(x2) 0
1
Plim(x1)Plim(x)
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二、随机解释变量模型OLS估计
特性 以一元线性回归模型为例 说明。设给定的模型为
yi 01xiui
采用离差形式即为:
yi* 1xi*ui*
式中： y i * y i y , x i * x i x , u i * u i u
第五章 回归模型中的 变量问题
第一节 解释变量为随机变量
第二节 多重共线性问题
第三节 虚拟变量
第四节 滞后变量
第一节 随机解释变量
一、估计量的渐近性质 二、随机解释变量模型OLS估计特性 三、随机解释变量模型的经济计量方法 四、案例
2
对于模型
y i 0 1 x 1 i 2 x 2 i k x k iu i i=1,2,…,n