连续映射的性质

。
显然所有这样的领域 之集 是 的一个开覆盖。由于 是紧集，因此在 中必存有限个开集
覆盖了 （即对任意 ，必存在 ，使 ）。
记 ，则对任意 ， ，不妨设
（ ），这时
，
从而
。
因此 在 上一致连续。#
三、连通集与连通集上的连续映射
设 ， ，称点集
为 中连结点 与点 的直线段。
一般地，设 是闭区间 到 的连续映射
定理11.3.6（介值定理）设 是连通的紧集， 是 上的连续函数。则 可以取到它在 上的最小值 与最大值 之间的一切值。换言之， 的值域是闭区间 。
作业（P133）：1，2.
连通的开集称为开区域，简称区域。区域的闭包称为闭区域。
定理11.3.5连续映射将连通集映射成连通集。
证：设 是 中的连通集， 为连续映射，现证明 的像集（即值域）
是连通集，即要证明对于 中的任意两点 与 之间，都存在以 为起点， 为终点的道路。
设 ， ， ，由于 是连通的，所以存在连续映射
，
使得 。于是对于连续（复合）映射 来说，有
设 为像集 中的任意一个点列。对于每个 ，任取一个满足 的 ，则 为紧集 中的点列，所以它必有聚点属于 ，即存在 的子列 满足
。
再由 在 点的连续性得
，
即 是 的一个聚点，因为 ，所以 。因此 是紧集。#
按照这个定理，如果 是 中紧集 的连续函数（ ），
那么 的像集 （数集）是 中的紧集，因此是有界闭集，进而 存在最大数和最小数。于是就可得到以下紧集上多元函数的两个重要性质：
定理11.3.2（有界性）若 是 中的紧集， 是 上的连续函数，则 在 上有界。
定理11.3.3（最值性）若 是 中的紧集， 是 上的连续函数，则 在 上能取得最大值和最小值，即存 ，使得对一切 成立
。
二、映射的一致连续性
定义11.3.2设 是 中的点集， 为映射。如果对任给的 ， 是开集”推广到 上任意点集。
定义11.3.1设点集 ， 为一定点， 是从 到 上的映射（向量值函数）。若 时，成立
（即 ）
则称 在点 连续。
如果映射 在点集 上每一点都连续，就称 在 上连续。这时称映射 为 上的连续映射。
也就说，当 是 的点时，这就是原来的定义11.2. ；当 是 的边界点时，只要求函数在 的 领域中属于 的那些点（即 ）满足不等式 。
下面先给出紧集上的连续映射的一个重要性质。
定理11.3.1连续映射将紧集映射成紧集。
证：设 是 中的紧集， 为连续映射。要证明 的像集（值域）
是紧集，根据定理11.1.10( 是紧集 的任一无限子集都有属于 的聚点)，只要证明 中的任意一个无限点集必有聚点属于 即可。因为每一个无限点集都有可列的无限子集（即点列），所以只要证明像集 中的任意一个点列必有聚点属于 即可。
，
且 ， 。这说明 就是 中以 为起点， 为终点的道路。再由 的任意性即知 是连通集。#
注意到，对于连续映射 ，当 时，它就是 元连续函数 ， 。而我们知道， 上的连通集必是区间，而 上的连通紧集就是闭区间。于是有下面的推论。
推论11.3.1连续函数将连通的紧集映射成闭区间。
由这个推论便得到类似于闭区间上连续函数的介值性定理：
即定义在 的连续函数组
，
若满足
， ，
则称值域
为 上连接点 与点 的连续曲线。
设 是 中的点集，若上述的连续曲线全部落在 中，即 ，则称连续曲线 为点集 中的道路， 与 分别称为道路的起点与终点。
若 中的任意两点 之间，都存在以 为起点， 为终点的道路，则称点集 为连通的，或称 为连通集。
显然，实数集 上的连通集 必是区间，而且 为紧集的充分必要条件是： 为闭区间。
，
则称映射 在点集 上一致连续。
显然，若映射 在点集 上一致连续，则 必在 上连续，但反之不然。不过下面的定理11.3.4告诉我们，在紧集上的连续映射一定是一致连续的映射。
定理11.3.4设 是 中的紧集， 为连续映射，则 在 上一致连续。
证：对任意给定的 ，由于 在 上连续，因此对任意 ，存在 ，使得对任意 ，只要 （即 ），就有
对于一元函数，我们已经讨论了闭区间上的连续函数的性质（有界性、最值性、介值性和一致连续性）。闭区间上是一维空间中的有界闭集，顺理成章地，在讨论 维空间 上的连续函数的性质时，也应该要求函数的定义域是 中的有界闭集，即紧集。这样，一元函数在闭区间上的性质就可以拓展到多元函数，这也是引进紧集概念的一个原因。
§11.3 连续映射的性质
一、紧集上的连续映射
上一节关于连续映射的定义是：
“定义11.2. 设 是 上的开集， 为一定点， 是从 到 上的映射（向量值函数）。如果
，
则称映射 在点 连续。用“ ”语言来说就是：
若对 时，成立
（即 ）
则称 在点 连续。
如果映射 在 上每一点都连续，就称 在 上连续。这时称映射 为 上的连续映射。”