第五章 偏微分方程解和特殊函数
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第五章 平面与空间中的波动和扩散方程及特殊函数 本章讨论二维和三维空间中的波动和扩散方程。在利用分离变量法处 理这些方程时，会用到特殊函数。
5.1 空间和平面中的波动方程 首先讨论三维空间中的波动方程 对是关于球面对称的函数，即，，，，可以把问题转化为一维波动
方程。 此时，，，，，，； ，，
类似， ，。
， 或 因此，。 从随机过程的角度看：
。 定理 扩散方程的解为
。
直接验证。 平面的情形类似。
§5.3 平面和空间波动和扩散方程的分离变量方法 对于有限区域上的波动方程，，可以讨论各类齐次边值的初值问题
的解。仍可类似直线情形采用时空变量分离形式的解：？ 如可以，则必须成立 。
对于，可确定特征值序列使方程具有非零解，相应的特征函数。那么， ，
【end】 如果退化为平面上的波动方程，只要 把平面嵌入三维空间，认为是在时，三维波动方程的解，那么Kirchhoff 公式仍可用： 此处仍为：，但被积函数不依赖于。 这时，把锥面写为（即为参数）， 则 所以， 物理意义：从因果律角度看，平面园内的点对解均有影响。 考虑非齐次方程
。 由齐次方程
， 如一维的情形，可由其解定义算子半群 而方程 的解则可表示为
然后利用初始条件确定系数。 例1 （鼓面振动问题）。
§5.4 热传导方程柯西问题的解：傅里叶变换方法 考虑柯西问题的解。利用线性叠加原理和齐次化原理，分别求
(I)和(II) 的解即可。 对（I）的两端进行傅里叶变换（）得：， 因此。利用傅里叶逆变换 利用卷积性质： 而，所以
。 再解问题(II)：，其中是下面方程的解：
因此， ，或。
解一维反射波动方程， 。
则 注 对称中心若不在原点，在任意给定点，适当平移后，结论仍成立。
对不对称情形，由可构造函数： 其中是以为球心，为半径的球面。显然，此是在球面上的平均值，该函 数是关于中心球面对称的。 注意到
， 即知
。 因此Байду номын сангаас只要求出后取极限。
下面利用高斯公式推导满足的方程。对两端在球体内进行体积分， 。
。 可证原来的非齐次方程的解为 注意到， 对于球面，，故可把积分改写为 在，时，可验证满足初始条件：
，。 而均为齐次方程的解，是方程 的解。 （详细：p.32） 习题
1. Solve the wave equation in three dimensions with the initial data ,. 2. Solve the wave equation with the initial data ,. 3. §5.3 空间和平面的扩散方程 考虑三维空间中的Brown运动，其特征为：在时间内位移转移概率 为均值为0，协方差矩阵为的正态分布。在时刻处于的概率密度记为， 则
， 为。故， 因此，一般问题的解为：
§4 极值原理，定解问题解的唯一性和稳定性 定理（极值原理）设在矩形上连续，并且在矩形内部满足热传导方程， 则它在矩形的两个侧边和及底边上取到最大和最小值。 证 只要考虑最大值情形。如果在内点初取到最大值，而在侧底边界上 的最大值为。那么构造函数，则该函数在侧底边上的值一定小于：，但 在内点处，因此该函数的最大值在内部取到，在该点应该有：（固定 时，关于是抛物线形），所以，但，因此
左边直接利用球标计算， 右边利用高斯公式， 此处，利用的法向即是沿半径的方向，所以。 由此得
。 两端关于求导得， 因此，是满足对称性的波动方程解。初始条件
， ， 所以 所以， 定理（Kirchhoff）波动方程的解为 。 与该方程解有密切关系的是圆锥面：，波动方程的解是由锥面决定 的，与锥内部的点无关。 （物理意义：因果律）
5.1 空间和平面中的波动方程 首先讨论三维空间中的波动方程 对是关于球面对称的函数，即，，，，可以把问题转化为一维波动
方程。 此时，，，，，，； ，，
类似， ，。
， 或 因此，。 从随机过程的角度看：
。 定理 扩散方程的解为
。
直接验证。 平面的情形类似。
§5.3 平面和空间波动和扩散方程的分离变量方法 对于有限区域上的波动方程，，可以讨论各类齐次边值的初值问题
的解。仍可类似直线情形采用时空变量分离形式的解：？ 如可以，则必须成立 。
对于，可确定特征值序列使方程具有非零解，相应的特征函数。那么， ，
【end】 如果退化为平面上的波动方程，只要 把平面嵌入三维空间，认为是在时，三维波动方程的解，那么Kirchhoff 公式仍可用： 此处仍为：，但被积函数不依赖于。 这时，把锥面写为（即为参数）， 则 所以， 物理意义：从因果律角度看，平面园内的点对解均有影响。 考虑非齐次方程
。 由齐次方程
， 如一维的情形，可由其解定义算子半群 而方程 的解则可表示为
然后利用初始条件确定系数。 例1 （鼓面振动问题）。
§5.4 热传导方程柯西问题的解：傅里叶变换方法 考虑柯西问题的解。利用线性叠加原理和齐次化原理，分别求
(I)和(II) 的解即可。 对（I）的两端进行傅里叶变换（）得：， 因此。利用傅里叶逆变换 利用卷积性质： 而，所以
。 再解问题(II)：，其中是下面方程的解：
因此， ，或。
解一维反射波动方程， 。
则 注 对称中心若不在原点，在任意给定点，适当平移后，结论仍成立。
对不对称情形，由可构造函数： 其中是以为球心，为半径的球面。显然，此是在球面上的平均值，该函 数是关于中心球面对称的。 注意到
， 即知
。 因此Байду номын сангаас只要求出后取极限。
下面利用高斯公式推导满足的方程。对两端在球体内进行体积分， 。
。 可证原来的非齐次方程的解为 注意到， 对于球面，，故可把积分改写为 在，时，可验证满足初始条件：
，。 而均为齐次方程的解，是方程 的解。 （详细：p.32） 习题
1. Solve the wave equation in three dimensions with the initial data ,. 2. Solve the wave equation with the initial data ,. 3. §5.3 空间和平面的扩散方程 考虑三维空间中的Brown运动，其特征为：在时间内位移转移概率 为均值为0，协方差矩阵为的正态分布。在时刻处于的概率密度记为， 则
， 为。故， 因此，一般问题的解为：
§4 极值原理，定解问题解的唯一性和稳定性 定理（极值原理）设在矩形上连续，并且在矩形内部满足热传导方程， 则它在矩形的两个侧边和及底边上取到最大和最小值。 证 只要考虑最大值情形。如果在内点初取到最大值，而在侧底边界上 的最大值为。那么构造函数，则该函数在侧底边上的值一定小于：，但 在内点处，因此该函数的最大值在内部取到，在该点应该有：（固定 时，关于是抛物线形），所以，但，因此
左边直接利用球标计算， 右边利用高斯公式， 此处，利用的法向即是沿半径的方向，所以。 由此得
。 两端关于求导得， 因此，是满足对称性的波动方程解。初始条件
， ， 所以 所以， 定理（Kirchhoff）波动方程的解为 。 与该方程解有密切关系的是圆锥面：，波动方程的解是由锥面决定 的，与锥内部的点无关。 （物理意义：因果律）