直接证明方法

综合法、分析法的定义
定义
综合法
一般地,利用已知条件和某些数 学定义、公理、定理等,经过一 系列的推理论证,最后推导出所 要证明的结论成立,这种证明方 法叫做综合法
分析法 一般地,从要证明的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件, 直至最后,把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件(已 知条件、定理、定义、公理等) 为止,这种证明方法叫做分析法
特点
(P 表示已知条件、已有的定义、
公理、定理等,Q 表示所要证明
的结论)
顺推证法或由因导果法
逆推证法或执果索因法
分析法与综合法都是直接证明问题常用的两种方法,两者有 着怎样的区别与联系呢? ((1)综合法与分析法的区别:综合法是从已知条件出发,逐步推向未知, 每步寻找的是必要条件;分析法是从待求结论出发,逐步靠拢已知,每步 寻找的是充分条件. (2)在解题过程中,分析法和综合法是统一的,我们经常把综合法和分析 法结合起来使用;根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论 Q′; 根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论 P′,若由 P′可以推出 Q′成立,就可以证明结论成立,命题“若 P,则 Q”的推演过程可用框图 表示为:
a2
1 a2
1
+ 2 )2≥( a +
+
a
1
a 即 a 2+
2 +4
a2
1 a2
+4
1
≥a2 + 2 +
+2
a2
1
2 (a+
) + 2,
a
2 )2 ,
从而只需证 2
a2 1 ≥ a2
1
2 (a+
),
a
1
1
1
a a a 只需证 4(a2+
2 ) ≥2 ( a2+ 2 + 2 ) ,即 a2 +
2 ≥2 ,
∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A, ∴CD⊥平面 PAC, 而 AE⊂平面 PAC, ∴CD⊥AE.
分析法的应用
【例 2】 已知 a>0,求证:
a2
1 a2
-
2 ≥a+ 1 -2.
a
证明: 要证
a2 1 a2
1
2 ≥a+
-2,
a
只需证
a2 1 a2
1
+ 2≥a +
a
+
2.
因为 a > 0 ,只需证 (
而上述不等式显然成立,
故原不等式成立.
综合 法与分 析法的 综合运 用
【例 3】 (12 分)已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数 列,对应的三边为 a,b,c,求证: 1 + 1
ab bc =3.
abc
abc abc
证明: 要证原式, 只需证
+
= 3 ,…3 分
ab
bc
c
a
即证
+
= 1 ,………………………………5 分
)
综合法的应用
【例 1】 如图,在四棱锥 P ABCD 中,PA⊥底面 ABCD, AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°, PA=AB=BC,E 是 PC 的中点. (1)证明:CD⊥AE; (2)证明:PD⊥平面 ABE.
证明:(1)在四棱锥P ABCD 中, ∵PA⊥底面ABCD,CD⊂底面 ABCD,
ab bc
bc c2 a2 ab
即只需证
= 1 ,…………………6 分
ab b2 ac bc
而由题意知 A + C =2B ,
π
∴B =
,
3
∴b2 = a2 + c2- a c ,……………………………………9 分
bc c2 a2 ab
bc c2 a 2 ab
∴ ab b2 ac bc = ab a2 c2 ac ac bc
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
Байду номын сангаас
1.结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两 种基本方法——综合法和分析法. 2.了解综合法、分析法的思考过程、特点. 3.会综合运用综合法、分析法解决数学问题.
【实例】 已知 a、b∈R,求证:a2+b2≥2ab.
证明:法一:∵a、b∈R,∴a-b∈R. 又(a-b)2≥0,即 a2+b2-2ab≥0,∴a2+b2≥2ab. 法二:要证 a2+b2≥2ab,只需证:a2-2ab+b2≥0, 即证(a-b)2≥0. ∵a、b∈R,∴(a-b)2≥0 成立.故 a2+b2≥2ab.
bc c2 a2 ab
=
= 1 ,…………………………1 1 分
ab a2 c2 bc
1
1
3
∴原等式成立,即
+
=
.……1 2 分
ab bc abc
通过本节课的学习,你有哪些收获?
1.了解了分析法和综合法的实质. 2.初步掌握了在不同情况下采用何种思维方式证 明问题的一些技巧.
分层演练 1，3，9，11,12 分层演练 2, 3, 5, 7，9