精 品 教 学 设 计3.5.1 对数函数和反函数

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5.1 对数函数和反函数

一、问题探究

对于一般的指数函数(0,1)x y a a a =>≠中的两个变量，能不能把y 当作自变量，使得x 是y 的函数？

指数函数(0,1)x y a a a =>≠，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值和它对应；

并且当12x x ≠时，12y y ≠.即指数函数反映了数集R 与数集{}0y y >之间的一一对应的关系.

对于任意的(0,)y ∈+∞，在R 中都有唯一的数x 满足x y a =.如果把y 当作自变量，那么x 就是y 的函数，且log (0,1)a x y a a =>≠.

函数log (0,1)a x y a a =>≠叫做对数函数，自变量0y >.

习惯上自变量用x 表示，则写成log (0,1)a y x a a =>≠.

二、要点梳理

1、对数函数的定义：函数log (0,1,0)a y x a a x =>≠>叫做对数函数，其中x 是自变量.

2、指数函数x y a =和对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的关系：

共性：指数函数x y a =和对数函数log a x y =刻画的是同一对变量,x y 之间的关系；

个性：在指数函数x y a =中，x 是自变量，y 是x 的函数，其定义域是R ，值域是(0,)+∞；在对数函数log a x y =中，y 是自变量，x 是y 的函数，其定义域是(0,)+∞，值域是R .

3、反函数的定义：一般地，设函数()()y f x x A =∈的值域是C ，根据函数中,x y 的关系，用y 表示x ，得()x y ?=.若对于y 取C 中的任何一个值，通过()x y ?=，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，()x y ?=就表示y 是自变量，x 是自变

量y 的函数，这样的函数()x y ?=（y C ∈）叫做函数()y f x =()x A ∈的反函数，记作1()x f y -=，习惯上写成1().y f x -=

注：(1)原函数的定义域是反函数的值域，反函数的定义域是原函数的值域；

（2）1()()y f x y f x -==函数与互为反函数；

（3）.y x =互为反函数的两函数的图像关于直线 对称

4、常用对数函数，自然对数函数：lg ,

ln .y x y x ==

三、例题解析 21 (1)log 1,24 (2)lg 110100,0.1.

y x x y x x ==例计算：

计算对数函数对应于取，时的函数值；

计算常用对数函数对应于取，，时的函数值

222(1)1log 10; 2log 21;

4log 4 2.

x y x y x y =========解：当时，当时，当时， (2)1lg10; 10lg101;

100lg1002; 0.1lg0.1 1.x x x x ========-当时，当时，当时，当时， 132 2 (1)lg ; (2)log ;

(3)5;(4)().3

x x y x y x y y ====例写出下列对数函数的反函数： 5231(1)10;(2)();(3)log ;

(4)log .3x x y y y x y x ====解：

2(21)(1)3 (1)log (54); (2)log (164).

x x x y x x y -+=-=-例求下列函数的定义域： 22104(,1)(1,);2115540x x x x x ->??∈+∞-≠??->?

解：(1)由得 10(2)11(1,0)

(0,2).1640x x x x +>??+≠∈-??->?

由得 24 log (1).1

x y x x =>-例求函数的反函数