【数学竞赛】2018年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(附答案)

2 2018 年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷

（考试时间：2018 年 6 月 30 日上午 9:00—11:30）

注意：1.本试卷共 12 小题，满分 150 分； 2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；

3.书写不要超过装订线；

4.不得使用计算器.

一、填空题（每题 8 分，共 64 分，结果须化简）

1. 设三个复数1, i , z 在复平面上对应的三点共线，且| z |= 5 ，则 z =

.

2. 设 n 是正整数，且满足 n 5

= 438427732293 ，则 n =

.

3. 函数 f ( x ) =| sin(2x ) + sin(3x ) + sin(4x ) | 的最小正周期 =

.

4. 设点 P , Q 分别在函数 y = 2x

和 y = log x 的图象上，则| PQ | 的最小值 = .

5. 从1, 2,

,10 中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差 s 2 ≤ 1 的概率 =

.

6. 在边长为 1 的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 内部有一小球，该小球与正方体的对角线段 AC 1 相切，则小球

半径的最大值 =

.

7. 设 H 是△ABC 的垂心，且 3HA + 4HB + 5HC = 0 ，则 cos ∠AHB =

.

8. 把1, 2,

, n 2 按照顺时针螺旋方式排成 n 行 n 列的表格T ，第一行是1, 2,

, n .例如：T

⎡1 2 3⎤

= ⎢8 9 4⎥ .

n

设 2018 在T 100 的第 i 行第 j 列，则 (i , j ) =

.

二、解答题（第 9—10 题每题 21 分，第 11—12 题每题 22 分，共 86 分）

3 ⎢ ⎥ ⎢⎣7 6 5⎥⎦

9. 如图所示，设 ABCD 是矩形，点 E , F 分别是线段 AD , BC 的中点，点 G 在线段 EF 上，点 D , H 关于

线段 AG 的垂直平分线 l 对称.求证: ∠HAB = 3∠GAB .

a b a b

10. 设 O 是坐标原点，双曲线 C : x 2 y 2

-

= 1(a > 0, b > 0) 上动点

M 处的切线交 C 的两条渐近线于 A , B a 2 b 2

两点.

（1）求证:△AOB 的面积 S 是定值； （2）求△AOB 的外心 P 的轨迹方程.

11. （1）求证：对于任意实数 x , y , z 都有 x 2 + 2 y 2 + 3z 2 ≥ xy + yz + zx ) .

（2）是否存在实数

k x , y , z 下式恒成立？

x 2 + 2 y 2 + 3z 2 ≥ k (xy + yz +

zx )

试证明你的结论.

12. 在正 2018 边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝

色. 求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.

参考答案和评分标准

一、填空题（每题 8 分，共 64 分）

二、解答题（第 9—10 题每题 21 分，第 11—12 题每题 22 分，共 86 分） 9．由

E ,

F 分别是 AD , BC 的中点，得 EF // AB ⊥ AD ． (3 分) 设 P 是 E 关于l 的对称点，则 EP // A

G ⊥ l ，故四边形 AEPG 是等腰梯形． (8 分) 进而 ∠PAG = ∠EGA = ∠GAB ， ∠APG = ∠GEA ，从而 AP ⊥ HG ． (13 分) 再由 HP = DE = EA = PG ，得 ∠HAP = ∠PAG = ∠GAB ． (18 分) 因此， ∠HAB = 3∠GAB ． (21 分)

10．(1) M ( x 0 , y 0 ) 处的切线方程 x 0 x a 2 - y 0 y b 2 = 1 ． (3 分)

⎛ ⎫ ⎛ - ⎫ ⎪ ⎪

与渐近线方程联立，得 A ( x 1 , y 1 ) = x 0 y 0 , x 0 y 0 ⎪ ， B ( x 2 , y 2 ) = x 0 y 0 , x 0 y 0 ⎪ ．(6 分)

⎝ a + b a + b ⎭ ⎝ a - b a - b ⎭

1 2

4

3

2λ 从而， S = 2 x 1 y 2 - x 2 y 1 = ab 是定值． (9 分)

(2) 由 (1) 可设 A ( λa , λb ), B ( λ ,- λ ),

P ( x , y ) ， λ 为非零常数．

(12 分) a b

由 PA = PO = PB ，得 ( x - λa )2 + ( y - λb )2 = x 2 + y 2 = ( x - a )2 + ( y + b )2

． (15 分) λ λ 从而有 ax + by = λ (a 2 + b 2 ) ， ax - by = 1

(a 2 + b 2 ) ． (18 分) 上述两式相乘，得 P 的轨迹方程为 a 2 x 2 - b 2 y 2 = 1 (a 2 + b 2 )2 ．

(21 分)

11．(1) 由均值不等式， 1 x 2 + 3 y 2 ≥ 3xy ，1 x 2 + 3 z 2 ≥ 3xz ，1 y 2 + 3 z 2 ≥ 3 y z ． 2 2 2 2 2 2

故 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 ≥ 3 xy + yz + zx ) ．

(8 分) (2) x 2 + 2 y 2 + 3z 2 - k (xy + yz + zx ) = (x - k y - k z )2 + (2 - k 2 ) y 2 + (3 - k 2 )z 2 + ( k 2

- k ) y z

(14 分) k 2

k 2

2

k 2

k 2

上式 ≥ 0 恒成立当且仅当 2 - 4 ≥ 0 且 ( 2

- k ) ≤ 4(2 - 4 )(3 - 4

) ． (18 分) 化简得 k ≤ 2 2 且 k 3 - 6k 2 + 24 ≥ 0 ．显然， k = 2 > 3 满足要求．

(22 分)

12．设 N 是此图形中三边颜色都相同的三角形数目， M 是此图形中三边颜色不全相同 的三角形数目， x i 是以第i 个顶点为端点的红色线段数目，则有

2018

M + N = C 2018 ， ∑ x i (2017 - x i ) = 2M ．

(10 分)

i =1

3

2

3

当且仅当每个 x i = 1008或1009 时， N 取得最小值C 2018 - 1009

3

⨯1008 = 2C 1009

． (16 分) N = 2C 1009 是可以取到的，例如把线段i → i ± j mod 2018 (1 ≤ i ≤ 2018, 1 ≤ j ≤ 504) 染成红 色，其它线段染成蓝色． (22 分)