分形树叶脉络建模算法研究
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作者简介：王海涛 （1980-），男，讲师，硕士，研究方向： 计算机科学与技术。 收稿日期：2011-10-10
8
2011. 24
SOFTWARE DEVELOPMENT AND DESIGN
软件开发与设计
y
当 d=0 时，x'=x+by，y'=y，此时图形的 y 坐标不变，x 坐
标随初值 （x，y) 及变换系数 b 作线性变化。
参考文献
[1] B.B.Mandelbrot.Fractals:From,Chance and Dimension.World
Publishing Company,1975.
[2] 杨展如. 分形物理学. 上海科技教育出版社，1996.
[3] 张树兵，王建中. 基于 L-系统的植物建模方法改进. 中国
此类变换可以用一个 3×3 的矩阵来表示，其最后一行为 (0, 0, 1)。该变换矩阵将原坐标 (x, y) 变换为新坐标 (x', y')， 这里原坐标和新坐标皆视为最末一行为 (1) 的三维列向量， 原列向量左乘变换矩阵得到新的列向量。
几种典型的仿射变换： （1） 平移变换，将每一点移动到 (x+tx, y+ty)，变换矩阵为：
考虑到分形的自相似性和压缩映射的不动点原理， Hutchinson 于 1981 年首先提出可以用压缩映射方法产生分形， 继而美国 Georgia 理工学院的数学教授 M.Barnsley 于 1985 年 发明了迭代函数系统 IFS (Iterated Function System)。IFS 不仅 是描绘分形的强有力的数学方法，也是分形图形学的基本工 具。
（1） 满足下式条件： Dim (A) >dim (A) 的集合 A，称为分形集。其中，Dim (A) 为集合 A 的 Hausdoff 维数 （或分维数），dim (A) 为其拓 扑维数。一般说来，Dim (A) 不是整数，而是分数。 （2） 部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。
2 基于分形的树叶脉络建模
电脑编程技巧与维护
分形树叶脉络建模算法研究
王海涛
（沈阳理工大学信息科学与技术学院信息技术实验中心，沈阳 110168） 摘 要：研究分形理论在计算机图形学中的应用，基于分形关于生成技术的自然景物模拟。 关键词：分形学； 树叶形态； 图形学
Research on the Separate Shape of Leaf Choroids Modeling Algorithm
2
植物建摸领域的研究内容繁多复杂，要获得一个非常逼真的
p’
1
p
0 1
x
2
图 2 缩放变换
（3） 错切变换，变换矩阵为：
植物图形，不仅仅是建摸算法的问题，还与光照、纹理映射 等许多因素有关。本文所做工作是对建摸方法进行了一定程 度的研究主要包括：如何在设计的过程中将惯用的直线用自 然特征曲线来取缔，如何将 L 系统有二维平面几何向三维空 间扩展等核心问题的研究。
。
P∈X (X) 被称为 IFS 的吸引子，该吸引子就是一个分形。
拼贴定理的意义在于对一类压缩变换给出了衡量一个基
于相应不变集近似程度的方法。
当 sx=sy 时，称为尺度缩放，sx 不等于 sy 时，就是平时 所说的拉伸变换。
y
3 结语பைடு நூலகம்
基于分形几何学的 L-方法和 IFS 法在树叶等植物的计算 机模拟方面有其明显的优势。本文探讨了植物形态的计算机 模拟及其基本方法，并针对不同的方法进行了计算机实现。
2
当 b=0 时，x'=x+by，y'=y+dx，此时图形的 x 坐标不变，y
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1
p x
0
1
2
图 1 平移变换
（2） 缩放变换，将每一点的横坐标放大 （缩小） 至 sx 倍，纵
坐标随初值 （x，y) 及变换系数 d 作线性变化。 一个迭代函数系统由一个完备度量空间 (X, d) 和一个有
限压缩映射集 Wn:X→X,n =1,2,…,N 组成，用 IFS {X;Wn,n =1,
错切变换相当于一个横向剪切与一个纵向剪切的复合。
y
2
p’
图象图形学报，2002. [4] Alan Watt.3D Computer Graphics,2nd Edition.Addison -Wes－
ley,1993. [5] 李水根，吴纪桃. 分形与小波 [M] . 北京:科学出版社.
2003：11-33.
AffineTransform 类描述了一种二维仿射变换的功能，它是 一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，保持二维图形的 “平直性”和“平行性”。仿射变换可以通过一系列的原子变 换的复合来实现，包括：平移 （Translation）、缩放 （Scale）、 翻转 （Flip）、旋转 （Rotation） 和错切。
2,…,N} 表示。则变换 W 定义为:W (B) =
对 B （X）
是完备空间 (X (X) ,h (d)) 上具有压缩因子 s 的压缩映射,即 h ( W ( A) ,W ( B) ) ≤sh ( A,B) , 对 A,B ∈X ( X) , 且 P =
坐标放大 （缩小） 至 sy 倍，变换矩阵为：
[6] 龙世滔，吴信才，郑晓峰. 基于 ANTLR 的 XML 解释器的
200191. 24 9
WANG Haitao
（Shenyang Ligong University Information Science and Technology Institute Information Technology Experiment Center , Shenyang 110168）
Abstract: In this paper, fractal theory applications in computer graphics, fractal-based simulation of the natural scenery on the leaves of generated technologies is studied. Key words：fractal theory ; shape of leaf ; graphics
2.1 分形植物的生成 分形提供了描述自然形态的几何学方法，使得在计算机
上可以从少量数据出发，对复杂的自然景物进行逼真的模拟， IFS 方法和 L 系统便是典型的代表。前者通过选定若干仿射变 换，将整体形态变换到局部，并将这一过程迭代进行下去， 直到得到满意的造型。IFS 是一套在理论上非常完美的系统。 而后者是一种文法系统，由若干产生式和一个表示植物种子 的简单字符串组成，从种子字符串开始，产生式通过并行回 写方法生成表示植物结构的字符串，然后由字符串获得植物 的模型。 2.2 分形树叶脉络的生成及原理
Programming Environment. Computers and Education, 1987, 11 (1) : 11-19. [5] McElory Hoffmann.The Plagiarism Detector COPY-D-TEC
isms amonga set of p rograms. echnical Report, Fakult3/4t für Inform3/4tik, Univer2sitat Karlsruhe, Germany, 2000.
作为 IFS 迭代系统的重要组成部分的仿射变换，它的概念 引入意蕴非常。在有限维的情况，每个仿射变换可以由一个 矩阵 A 和一个向量 b 给出，它可以写作 A 和一个附加的列 b。 一个仿射变换对应于一个矩阵和一个向量的乘法，而仿射变 换的复合对应于普通的矩阵乘法，只要加入一个额外的行到 矩阵的底下，这一行全部是 0 除了最右边是一个 1，而列向量 的底下要加上一个 1。
1 分形的定义
一个名词的产生，势必会带动一个领域的认同点，而 “分形”一词的由来，需要追溯到 1973 年 曼 德 勃 罗 （B.B.
Mandelbro）t 在法兰西学院任教授课之时。分形一词是曼德勃 罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义。分形 是具有扩展对称性的几何对象。分形几何学是一门以非规则 几何形态为研究对象的几何学。而对“分形”一词的解释， 曼德勃罗曾经下过两个定义：
[4] FAIDHI, J. A. W. AND S. K. ROBINSON. An Empirical App-
设计与实现. 现代计算机，2004，06 （189）：6-9.
roach for Detecting Program Similarity within a University [7] Prechelt L,Malpohl G, Phipp senM. Jp lag: Finding p lagiar-
自然界中树叶的形态各式各样，叶脉的结构也千奇百怪， 但是，叶面脉络中，分脉都是按一定角度在主脉左右两侧， 每一个分脉再继续分下去，具有典型的分形特征。通过对某 一数树叶的实际观测统计，得出分叉角度与分割有关系。再 根据此规律采用分形理论将叶片的计算机模二维点绘制方法， 经过计算机试验给出 IFS 码，并可以从不同形态和参量进行多 方位观察。
1
[6] 刘向东，廖欣，于海，朱伟国. 迭代函数系 IFS 吸引子的
p
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参数控制与树木的模拟 [J] . 计算机工程与应用，2000.
图 3 y 方向错切变换
∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈
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SOFTWARE DEVELOPMENT AND DESIGN
软件开发与设计
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当 d=0 时，x'=x+by，y'=y，此时图形的 y 坐标不变，x 坐
标随初值 （x，y) 及变换系数 b 作线性变化。
参考文献
[1] B.B.Mandelbrot.Fractals:From,Chance and Dimension.World
Publishing Company,1975.
[2] 杨展如. 分形物理学. 上海科技教育出版社，1996.
[3] 张树兵，王建中. 基于 L-系统的植物建模方法改进. 中国
此类变换可以用一个 3×3 的矩阵来表示，其最后一行为 (0, 0, 1)。该变换矩阵将原坐标 (x, y) 变换为新坐标 (x', y')， 这里原坐标和新坐标皆视为最末一行为 (1) 的三维列向量， 原列向量左乘变换矩阵得到新的列向量。
几种典型的仿射变换： （1） 平移变换，将每一点移动到 (x+tx, y+ty)，变换矩阵为：
考虑到分形的自相似性和压缩映射的不动点原理， Hutchinson 于 1981 年首先提出可以用压缩映射方法产生分形， 继而美国 Georgia 理工学院的数学教授 M.Barnsley 于 1985 年 发明了迭代函数系统 IFS (Iterated Function System)。IFS 不仅 是描绘分形的强有力的数学方法，也是分形图形学的基本工 具。
（1） 满足下式条件： Dim (A) >dim (A) 的集合 A，称为分形集。其中，Dim (A) 为集合 A 的 Hausdoff 维数 （或分维数），dim (A) 为其拓 扑维数。一般说来，Dim (A) 不是整数，而是分数。 （2） 部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。
2 基于分形的树叶脉络建模
电脑编程技巧与维护
分形树叶脉络建模算法研究
王海涛
（沈阳理工大学信息科学与技术学院信息技术实验中心，沈阳 110168） 摘 要：研究分形理论在计算机图形学中的应用，基于分形关于生成技术的自然景物模拟。 关键词：分形学； 树叶形态； 图形学
Research on the Separate Shape of Leaf Choroids Modeling Algorithm
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植物建摸领域的研究内容繁多复杂，要获得一个非常逼真的
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0 1
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图 2 缩放变换
（3） 错切变换，变换矩阵为：
植物图形，不仅仅是建摸算法的问题，还与光照、纹理映射 等许多因素有关。本文所做工作是对建摸方法进行了一定程 度的研究主要包括：如何在设计的过程中将惯用的直线用自 然特征曲线来取缔，如何将 L 系统有二维平面几何向三维空 间扩展等核心问题的研究。
。
P∈X (X) 被称为 IFS 的吸引子，该吸引子就是一个分形。
拼贴定理的意义在于对一类压缩变换给出了衡量一个基
于相应不变集近似程度的方法。
当 sx=sy 时，称为尺度缩放，sx 不等于 sy 时，就是平时 所说的拉伸变换。
y
3 结语பைடு நூலகம்
基于分形几何学的 L-方法和 IFS 法在树叶等植物的计算 机模拟方面有其明显的优势。本文探讨了植物形态的计算机 模拟及其基本方法，并针对不同的方法进行了计算机实现。
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当 b=0 时，x'=x+by，y'=y+dx，此时图形的 x 坐标不变，y
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图 1 平移变换
（2） 缩放变换，将每一点的横坐标放大 （缩小） 至 sx 倍，纵
坐标随初值 （x，y) 及变换系数 d 作线性变化。 一个迭代函数系统由一个完备度量空间 (X, d) 和一个有
限压缩映射集 Wn:X→X,n =1,2,…,N 组成，用 IFS {X;Wn,n =1,
错切变换相当于一个横向剪切与一个纵向剪切的复合。
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图象图形学报，2002. [4] Alan Watt.3D Computer Graphics,2nd Edition.Addison -Wes－
ley,1993. [5] 李水根，吴纪桃. 分形与小波 [M] . 北京:科学出版社.
2003：11-33.
AffineTransform 类描述了一种二维仿射变换的功能，它是 一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，保持二维图形的 “平直性”和“平行性”。仿射变换可以通过一系列的原子变 换的复合来实现，包括：平移 （Translation）、缩放 （Scale）、 翻转 （Flip）、旋转 （Rotation） 和错切。
2,…,N} 表示。则变换 W 定义为:W (B) =
对 B （X）
是完备空间 (X (X) ,h (d)) 上具有压缩因子 s 的压缩映射,即 h ( W ( A) ,W ( B) ) ≤sh ( A,B) , 对 A,B ∈X ( X) , 且 P =
坐标放大 （缩小） 至 sy 倍，变换矩阵为：
[6] 龙世滔，吴信才，郑晓峰. 基于 ANTLR 的 XML 解释器的
200191. 24 9
WANG Haitao
（Shenyang Ligong University Information Science and Technology Institute Information Technology Experiment Center , Shenyang 110168）
Abstract: In this paper, fractal theory applications in computer graphics, fractal-based simulation of the natural scenery on the leaves of generated technologies is studied. Key words：fractal theory ; shape of leaf ; graphics
2.1 分形植物的生成 分形提供了描述自然形态的几何学方法，使得在计算机
上可以从少量数据出发，对复杂的自然景物进行逼真的模拟， IFS 方法和 L 系统便是典型的代表。前者通过选定若干仿射变 换，将整体形态变换到局部，并将这一过程迭代进行下去， 直到得到满意的造型。IFS 是一套在理论上非常完美的系统。 而后者是一种文法系统，由若干产生式和一个表示植物种子 的简单字符串组成，从种子字符串开始，产生式通过并行回 写方法生成表示植物结构的字符串，然后由字符串获得植物 的模型。 2.2 分形树叶脉络的生成及原理
Programming Environment. Computers and Education, 1987, 11 (1) : 11-19. [5] McElory Hoffmann.The Plagiarism Detector COPY-D-TEC
isms amonga set of p rograms. echnical Report, Fakult3/4t für Inform3/4tik, Univer2sitat Karlsruhe, Germany, 2000.
作为 IFS 迭代系统的重要组成部分的仿射变换，它的概念 引入意蕴非常。在有限维的情况，每个仿射变换可以由一个 矩阵 A 和一个向量 b 给出，它可以写作 A 和一个附加的列 b。 一个仿射变换对应于一个矩阵和一个向量的乘法，而仿射变 换的复合对应于普通的矩阵乘法，只要加入一个额外的行到 矩阵的底下，这一行全部是 0 除了最右边是一个 1，而列向量 的底下要加上一个 1。
1 分形的定义
一个名词的产生，势必会带动一个领域的认同点，而 “分形”一词的由来，需要追溯到 1973 年 曼 德 勃 罗 （B.B.
Mandelbro）t 在法兰西学院任教授课之时。分形一词是曼德勃 罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义。分形 是具有扩展对称性的几何对象。分形几何学是一门以非规则 几何形态为研究对象的几何学。而对“分形”一词的解释， 曼德勃罗曾经下过两个定义：
[4] FAIDHI, J. A. W. AND S. K. ROBINSON. An Empirical App-
设计与实现. 现代计算机，2004，06 （189）：6-9.
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自然界中树叶的形态各式各样，叶脉的结构也千奇百怪， 但是，叶面脉络中，分脉都是按一定角度在主脉左右两侧， 每一个分脉再继续分下去，具有典型的分形特征。通过对某 一数树叶的实际观测统计，得出分叉角度与分割有关系。再 根据此规律采用分形理论将叶片的计算机模二维点绘制方法， 经过计算机试验给出 IFS 码，并可以从不同形态和参量进行多 方位观察。
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[6] 刘向东，廖欣，于海，朱伟国. 迭代函数系 IFS 吸引子的
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2x
参数控制与树木的模拟 [J] . 计算机工程与应用，2000.
图 3 y 方向错切变换
∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈
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