04平面任意力系
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对ADB杆受力图
M A 0 FBx 2a FDx a 0
得 FBx F 40
例 4-4-9 已知：a ,b ,P, 各杆重不计，C,E处光滑； 求证： AB杆始终受压，且大小为P.
解： 取整体，画受力图.
Fix 0
FAx 0
ME 0 P (b x) FAy b 0
得
31
§4-4 刚体系的平衡
32
一、几个概念： 1、刚体系 ——由若干个刚体通过约束组成的系统 2、外 力 ——刚体系以外任何物体作用于该系统的力 3、内 力 ——刚体系内部各物体间相互作用的力 二、刚体系平衡方程的数目：
由n个刚体组成的刚体系，总共有不多于3n个独立
的平衡方程。
33
空间一般力系 空间平行力系 空间汇交力系
7
§4-2 平面任意力系向一点简化
8
1、力系向给定点O 的简化 应用力的平移定理，可将刚体上平面任意力系中各个力
的作用线全部平行移到作用面内某一给定点O 。从而这力
系被分解为平面共点力系和平面力偶系。这种变换的方法称
为力系向给定点O 的简化。点O 称为简化中心。
F1 F1 M1 M0 (F1)
合成结果并画在图上。
y
F 2 (4,3)
F3
3
4 (1,2)
F1
x o
解：(一)将力系向原点O简化
1. 主矢
F F F ' Rx
Fx
4 25
5 4 3 7 (kN )
3
5
F F F ' Ry
Fy
1
3 4 5 3 7 (kN )
25
5
FR'
F '2 Rx
F '2 Ry
72 72 7 2 (kN )
第4章 平面任意力系
1
平面任意力系实例
2
§4-1力的平移
3
1、力的平移定理（平面） 作用于刚体某平面上任一点的力，
可平移到此平面上的任意点而不改变 对刚体的作用效应，但需增加一附加 力偶，附加力偶的力偶矩等于原力对 新的作用点之矩.
MB MB (F ) Fd
4
• 应用
F'
F
M
FM F
F'=F,M=Fd
解：取坐标系Oxy。
y
F2
60°
A
B
F3
2m
1、求向O点简化结果：
①求主矢FR：
F1
O
3m
F4 C 30° x
FRx Fx F2 cos 60o F3 F4 cos30o 0.598
19
FRy Fy F1 F2 sin 60o F4 sin 30o y
1 2 3 3 1 0.768
36
例 4-4-7
已知：P=10kN , a , 杆，轮重不计；
求： A ,C支座处约束力. 解：取整体，受力图能否这样画？
取整体，画受力图.
MC 0 4aFAx 8.5aP FT a 0
解得 FAx 20kN
FAx FCx 0 解得 FCx 20kN
37
取BDC杆（带着轮） MB 0 4aFCy FT 3a FT1 a FCx 4a 0
平衡 合力 合力偶
在平面任意力系中，力偶的方位恒垂直于该力系的所在平 面，只有顺时针、逆时针两种转向，可视为代数量。
v nv nv
FR' Fi' Fi
i 1
i 1
v M o M M o(F i) 代数量
17
合力矩定理
平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩，等于 这个力系中的各个力对同一点的矩的代数和。
的方向
r rr F= F= -F
平移的距离为 d = M F
6
几个性质： 1、当力平移时，力的大小、方向都不改变，但附加力偶的
矩的大小与方向一般要随指定O点位置的不同而不同。
2、力平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内的一个力 和一个力偶，总可以归纳为一个和原力大小相等的平行 力。
3、力的平移定理是把刚体上任意力系分解为一个汇交力系 和一个力偶系的依据。
FEx
5 8
P
Fiy 0 FEy P FA sin 450 0
解得
FEy
13 8
P
取DCE杆,画受力图.
MC 0 FDB cos 450 2l FK l FEx 2l 0
解得
FDB
32 8
P
(拉)
29
例 4-4-6 已知： P1 4kN, P2 10kN, 尺寸如图；
F2 F2 M2 M0 (F2 )
Fn Fn
Mn M0 (Fn )
FR Fi Fi
MO Mi MO (Fi )
9
汇交力系的合成结果为一作用点在点O
的合力，称为原平
面任意力系的主矢。
主矢 FR Fi
附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力偶，称为
原平面任意力系对简化中心O 的主矩。 主矩 MO
整体（用较少）
35
解题步骤与技巧
解题步骤
解题技巧
①选研究对象
①选坐标轴最好是未知力 投影轴；
② 画受力图（受力分析） ②取矩点最好选在未知力的交叉点上；
③选坐标、取矩点、列 ③充分发挥二力杆的直观性；
平衡方程。
④解方程求出未知数
④灵活使用合力矩定理。
注意问题 力偶在坐标轴上投影不存在； 力偶矩M =常数，它与坐标轴与取矩点的选择无关。
Mo R Mo F
y
Mo F Mo Fx Mo Fy
Fy
B
F
Mo Fx yFx
Mo Fy xFy
A y
Fx
Ox
x
18
例 4-2-1
例题 在长方形平板的O、A、B、C 点上分别作用着有四个力： F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试求以上四个力构成的 力系对点O 的简化结果，以及该力系的最后的合成结果。
60°
A
2m
2F2 cos 60 2F3 3F4 sin 30 0.5
F1
2、求合成结果：合成为一个合力R，R的
O
3m
大小、方向与R’相同。其作用线与O点的
y
垂直距离为：
A
d Mo 0.51m FR
Mo O d
FR FR
B
F3
F4 C 30° x
B
C
x
21
例 4-2-3
已知：平面一般力系 ，F1=4kN, F2=5kN, F3=3kN, 分别作用在图中 各点，长度单位为米。求此力系
求：BC杆受力及铰链A受力.
解： 取AB 梁，画受力图.
Fix 0 FAx FT cos 30o 0
Fiy 0 FAy P1 P2 FT sin 30o 0
M A 0 FT sin 30o 6 4P2 3P1 0
解得
FT 17.33kN
FAx=4.62KN
FAy 5.33kN
FRx Fix Fix Fx
FRy Fiy Fiy Fy
主矢大小 方向 作用点
FR ( Fix )2 ( Fiy )2
r cos(F
'R ,
r i
)
Fix FR
r cos(F
'R ,
r j)
Fiy FR
作用于简化中心上
主矩
MO MO (Fi )
12
平面固定端约束
FAB
P
x b
P
x b
P
0
解得 FAB P(压）
42
例 4-4-10
已知：q ,a ,M , 且M qa2, P作用于销钉B上；
求：固定端A处的约束力和销钉B对
BC杆,AB杆的作用力.
解：取CD杆，画受力图.
MD 0
a FCx a qa 2 0
FAy
P b
(b
x)
取销钉A，画受力图
Fix 0 FAx FADCx 0
得
FADCx 0
41
取ADC杆，画受力图.
取BC，画受力图.
MB 0 FC' b Px 0
得
FC'
x b
P
对ADC杆 M D 0
得
F' ADCy
FC
x b
P
F' ADCy
b 2
FC
b 2
0
对销钉A
Fy 0 FAB FAy FADCy 0
FRy 7
22
§4-3 平面任意力系的平衡条件
wenku.baidu.com23
1、平面任意力系的平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
即 FR 0 Mo 0
因为
F R
(
F x
)2
(
F y
)2
M O
M
O
(
F i
)
平面任意力系的平衡方程
Fx Fy
0 0
Mo 0
平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选
2. 主矩
tg
FR' y FR' x
1
450
M
o
mo
F
F
2
3 5
1
F
2
4 5
2
F
3
3
5 3 1 5 4 2 33 14 (kN gm)
5
5
y
FR
FR
o'
d
Mo
θ
θ
x
Ax
o
(二)力系的合成结果——合力
FR FR' 7 2
450
d
oo '
Mo FR'
14 72
2
(m)
or x M o 14 2 (m)
30
2、平面平行力系的平衡方程
F x
0
000 0
F x
0
F cos F cos F cos 0
1
2
3
F y
0
F sin F sin F sin 0
1
2
3
平面平行力系的方程为两个，有两种形式
F y
0
M A 0
各力不得与投影轴垂直
M M
A B
0 0
A, B 两点连线不得与各力平行
空间力偶系
平面一般力系 平面平行力系 平面汇交力系
平面力偶系
单个物体
6 3 3 3
3 2 2 1
n个物体组成的物 体系统
6n
3n
3n
3n
3n 2n 2n n
34
物系平衡的特点： ①物系静止 ②物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个 平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中 有n个物体）
解物系问题的一般方法： 由整体 局部（常用），由局部
F
F
M
5
2、力的平移定理（空间）
作用于刚体上任一点的力，可平移到刚体上任一点而不改
变对刚体的作用效应，但需增加一附加力偶，附加力偶的力偶
矩矢等于原力对新的作用点之矩矢.
r F
dr rvBA
F
v M
=
rvBA
v F
正过程
r F
力
平移
力（平移）+v
M
附加力偶
平面
逆过程
力Fr
平移的方向为Fr
v M
取ADB杆，画受力图
取DEF杆，画受力图
MD 0 FE sin 45o a F 2a 0
得 FE sin 45o 2F
39
Fix 0 FE cos 45o FD' x 0 得 FD' x FE cos 45o 2F
MB o FD' x a F 2a 0
得 FD' x 2F
解得 FCy 15kN 对整体受力图
Fiy 0 FAy FCy FT P 0
解得 FAy 10kN 取BDC 杆（不带着轮） 取ABE（带着轮） 取ABE杆（不带着轮）
38
例 4-4-8 已知：F , a ,各杆重不计； 求：B 铰处约束反力. 解：取整体，选坐标系，画受力图
MC 0 FBy 2a 0 解得 FBy 0
27
例 4-4-5
已知: DC=CE=CA=CB=2l, R=2r=l,
P, 450,各构件自重不计.
求: A,E支座处约束力及BD杆受力.
解: 取整体,画受力图.
ME 0
FA
2 2l P 5 l 0 2
解得
FA
52 8
P
28
Fix 0
FEx FA cos 450 0
解得
MO (Fi )
10
结论： 平面任意力系向面内任一点的简化结果，是一个作用
在简化中心的主矢；和一个对简化中心的主矩。 几点说明：
1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位 置无关。
2、平面任意力系的主矩与简化中心O 的位置有关。因 此，在说到力系的主矩时，一定要指明简化中心。
11
如何求出主矢、主矩?
A
F2 60°
22
2m
FR FR2x FR2y 0.794
cos FR
、x
FRx F R
0.614
FR , x 526'
cos FR、y
FRy F R
0.789
FR , y 3754'
F1
O
3m
y
A
FR
O
B
F3
F4 C 30° x
B
C 20
x
② 求主矩：
MO Mo F
y
F2
的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意
一点的矩的代数和也等于零. 24
平面任意力系平衡方程的三种形式
一般式
F x
0
F y
0
M A 0
25
例 4-3-2
已知： P1 10kN, P2 40kN, 求： 轴承A、B处的约束力.
尺寸如图；
解： 取起重机，画受力图.
F x
0
FAx FB 0
1
Fy 0 FAy P1 P2 0
2
MA 0
解得
FB 5 1.5 P1 3.5 P2 0
FAy 50kN FB 31kN FAx 31kN
26
二矩式 三矩式
F x
0
M A 0
M B 0
A, B 连线不得垂直于x轴
M A 0 M B 0 M C 0
A, B,C 三个取矩点，不得共线
13
14
=
=
≠
=
15
2、 平面任意力系的简化结果分析
=
主矢
FR 0 FR 0
主矩
MO 0
MO 0 MO 0
MO 0
最后结果
说明
合力 合力作用线过简化中心
合力 合力偶
合力作用线距简化中心M O FR
与简化中心的位置无关
平衡
与简化中心的位置无关
16
平面任意力系的 最终简化结果只 有三种情形：
M A 0 FBx 2a FDx a 0
得 FBx F 40
例 4-4-9 已知：a ,b ,P, 各杆重不计，C,E处光滑； 求证： AB杆始终受压，且大小为P.
解： 取整体，画受力图.
Fix 0
FAx 0
ME 0 P (b x) FAy b 0
得
31
§4-4 刚体系的平衡
32
一、几个概念： 1、刚体系 ——由若干个刚体通过约束组成的系统 2、外 力 ——刚体系以外任何物体作用于该系统的力 3、内 力 ——刚体系内部各物体间相互作用的力 二、刚体系平衡方程的数目：
由n个刚体组成的刚体系，总共有不多于3n个独立
的平衡方程。
33
空间一般力系 空间平行力系 空间汇交力系
7
§4-2 平面任意力系向一点简化
8
1、力系向给定点O 的简化 应用力的平移定理，可将刚体上平面任意力系中各个力
的作用线全部平行移到作用面内某一给定点O 。从而这力
系被分解为平面共点力系和平面力偶系。这种变换的方法称
为力系向给定点O 的简化。点O 称为简化中心。
F1 F1 M1 M0 (F1)
合成结果并画在图上。
y
F 2 (4,3)
F3
3
4 (1,2)
F1
x o
解：(一)将力系向原点O简化
1. 主矢
F F F ' Rx
Fx
4 25
5 4 3 7 (kN )
3
5
F F F ' Ry
Fy
1
3 4 5 3 7 (kN )
25
5
FR'
F '2 Rx
F '2 Ry
72 72 7 2 (kN )
第4章 平面任意力系
1
平面任意力系实例
2
§4-1力的平移
3
1、力的平移定理（平面） 作用于刚体某平面上任一点的力，
可平移到此平面上的任意点而不改变 对刚体的作用效应，但需增加一附加 力偶，附加力偶的力偶矩等于原力对 新的作用点之矩.
MB MB (F ) Fd
4
• 应用
F'
F
M
FM F
F'=F,M=Fd
解：取坐标系Oxy。
y
F2
60°
A
B
F3
2m
1、求向O点简化结果：
①求主矢FR：
F1
O
3m
F4 C 30° x
FRx Fx F2 cos 60o F3 F4 cos30o 0.598
19
FRy Fy F1 F2 sin 60o F4 sin 30o y
1 2 3 3 1 0.768
36
例 4-4-7
已知：P=10kN , a , 杆，轮重不计；
求： A ,C支座处约束力. 解：取整体，受力图能否这样画？
取整体，画受力图.
MC 0 4aFAx 8.5aP FT a 0
解得 FAx 20kN
FAx FCx 0 解得 FCx 20kN
37
取BDC杆（带着轮） MB 0 4aFCy FT 3a FT1 a FCx 4a 0
平衡 合力 合力偶
在平面任意力系中，力偶的方位恒垂直于该力系的所在平 面，只有顺时针、逆时针两种转向，可视为代数量。
v nv nv
FR' Fi' Fi
i 1
i 1
v M o M M o(F i) 代数量
17
合力矩定理
平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩，等于 这个力系中的各个力对同一点的矩的代数和。
的方向
r rr F= F= -F
平移的距离为 d = M F
6
几个性质： 1、当力平移时，力的大小、方向都不改变，但附加力偶的
矩的大小与方向一般要随指定O点位置的不同而不同。
2、力平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内的一个力 和一个力偶，总可以归纳为一个和原力大小相等的平行 力。
3、力的平移定理是把刚体上任意力系分解为一个汇交力系 和一个力偶系的依据。
FEx
5 8
P
Fiy 0 FEy P FA sin 450 0
解得
FEy
13 8
P
取DCE杆,画受力图.
MC 0 FDB cos 450 2l FK l FEx 2l 0
解得
FDB
32 8
P
(拉)
29
例 4-4-6 已知： P1 4kN, P2 10kN, 尺寸如图；
F2 F2 M2 M0 (F2 )
Fn Fn
Mn M0 (Fn )
FR Fi Fi
MO Mi MO (Fi )
9
汇交力系的合成结果为一作用点在点O
的合力，称为原平
面任意力系的主矢。
主矢 FR Fi
附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力偶，称为
原平面任意力系对简化中心O 的主矩。 主矩 MO
整体（用较少）
35
解题步骤与技巧
解题步骤
解题技巧
①选研究对象
①选坐标轴最好是未知力 投影轴；
② 画受力图（受力分析） ②取矩点最好选在未知力的交叉点上；
③选坐标、取矩点、列 ③充分发挥二力杆的直观性；
平衡方程。
④解方程求出未知数
④灵活使用合力矩定理。
注意问题 力偶在坐标轴上投影不存在； 力偶矩M =常数，它与坐标轴与取矩点的选择无关。
Mo R Mo F
y
Mo F Mo Fx Mo Fy
Fy
B
F
Mo Fx yFx
Mo Fy xFy
A y
Fx
Ox
x
18
例 4-2-1
例题 在长方形平板的O、A、B、C 点上分别作用着有四个力： F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试求以上四个力构成的 力系对点O 的简化结果，以及该力系的最后的合成结果。
60°
A
2m
2F2 cos 60 2F3 3F4 sin 30 0.5
F1
2、求合成结果：合成为一个合力R，R的
O
3m
大小、方向与R’相同。其作用线与O点的
y
垂直距离为：
A
d Mo 0.51m FR
Mo O d
FR FR
B
F3
F4 C 30° x
B
C
x
21
例 4-2-3
已知：平面一般力系 ，F1=4kN, F2=5kN, F3=3kN, 分别作用在图中 各点，长度单位为米。求此力系
求：BC杆受力及铰链A受力.
解： 取AB 梁，画受力图.
Fix 0 FAx FT cos 30o 0
Fiy 0 FAy P1 P2 FT sin 30o 0
M A 0 FT sin 30o 6 4P2 3P1 0
解得
FT 17.33kN
FAx=4.62KN
FAy 5.33kN
FRx Fix Fix Fx
FRy Fiy Fiy Fy
主矢大小 方向 作用点
FR ( Fix )2 ( Fiy )2
r cos(F
'R ,
r i
)
Fix FR
r cos(F
'R ,
r j)
Fiy FR
作用于简化中心上
主矩
MO MO (Fi )
12
平面固定端约束
FAB
P
x b
P
x b
P
0
解得 FAB P(压）
42
例 4-4-10
已知：q ,a ,M , 且M qa2, P作用于销钉B上；
求：固定端A处的约束力和销钉B对
BC杆,AB杆的作用力.
解：取CD杆，画受力图.
MD 0
a FCx a qa 2 0
FAy
P b
(b
x)
取销钉A，画受力图
Fix 0 FAx FADCx 0
得
FADCx 0
41
取ADC杆，画受力图.
取BC，画受力图.
MB 0 FC' b Px 0
得
FC'
x b
P
对ADC杆 M D 0
得
F' ADCy
FC
x b
P
F' ADCy
b 2
FC
b 2
0
对销钉A
Fy 0 FAB FAy FADCy 0
FRy 7
22
§4-3 平面任意力系的平衡条件
wenku.baidu.com23
1、平面任意力系的平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
即 FR 0 Mo 0
因为
F R
(
F x
)2
(
F y
)2
M O
M
O
(
F i
)
平面任意力系的平衡方程
Fx Fy
0 0
Mo 0
平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选
2. 主矩
tg
FR' y FR' x
1
450
M
o
mo
F
F
2
3 5
1
F
2
4 5
2
F
3
3
5 3 1 5 4 2 33 14 (kN gm)
5
5
y
FR
FR
o'
d
Mo
θ
θ
x
Ax
o
(二)力系的合成结果——合力
FR FR' 7 2
450
d
oo '
Mo FR'
14 72
2
(m)
or x M o 14 2 (m)
30
2、平面平行力系的平衡方程
F x
0
000 0
F x
0
F cos F cos F cos 0
1
2
3
F y
0
F sin F sin F sin 0
1
2
3
平面平行力系的方程为两个，有两种形式
F y
0
M A 0
各力不得与投影轴垂直
M M
A B
0 0
A, B 两点连线不得与各力平行
空间力偶系
平面一般力系 平面平行力系 平面汇交力系
平面力偶系
单个物体
6 3 3 3
3 2 2 1
n个物体组成的物 体系统
6n
3n
3n
3n
3n 2n 2n n
34
物系平衡的特点： ①物系静止 ②物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个 平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中 有n个物体）
解物系问题的一般方法： 由整体 局部（常用），由局部
F
F
M
5
2、力的平移定理（空间）
作用于刚体上任一点的力，可平移到刚体上任一点而不改
变对刚体的作用效应，但需增加一附加力偶，附加力偶的力偶
矩矢等于原力对新的作用点之矩矢.
r F
dr rvBA
F
v M
=
rvBA
v F
正过程
r F
力
平移
力（平移）+v
M
附加力偶
平面
逆过程
力Fr
平移的方向为Fr
v M
取ADB杆，画受力图
取DEF杆，画受力图
MD 0 FE sin 45o a F 2a 0
得 FE sin 45o 2F
39
Fix 0 FE cos 45o FD' x 0 得 FD' x FE cos 45o 2F
MB o FD' x a F 2a 0
得 FD' x 2F
解得 FCy 15kN 对整体受力图
Fiy 0 FAy FCy FT P 0
解得 FAy 10kN 取BDC 杆（不带着轮） 取ABE（带着轮） 取ABE杆（不带着轮）
38
例 4-4-8 已知：F , a ,各杆重不计； 求：B 铰处约束反力. 解：取整体，选坐标系，画受力图
MC 0 FBy 2a 0 解得 FBy 0
27
例 4-4-5
已知: DC=CE=CA=CB=2l, R=2r=l,
P, 450,各构件自重不计.
求: A,E支座处约束力及BD杆受力.
解: 取整体,画受力图.
ME 0
FA
2 2l P 5 l 0 2
解得
FA
52 8
P
28
Fix 0
FEx FA cos 450 0
解得
MO (Fi )
10
结论： 平面任意力系向面内任一点的简化结果，是一个作用
在简化中心的主矢；和一个对简化中心的主矩。 几点说明：
1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位 置无关。
2、平面任意力系的主矩与简化中心O 的位置有关。因 此，在说到力系的主矩时，一定要指明简化中心。
11
如何求出主矢、主矩?
A
F2 60°
22
2m
FR FR2x FR2y 0.794
cos FR
、x
FRx F R
0.614
FR , x 526'
cos FR、y
FRy F R
0.789
FR , y 3754'
F1
O
3m
y
A
FR
O
B
F3
F4 C 30° x
B
C 20
x
② 求主矩：
MO Mo F
y
F2
的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意
一点的矩的代数和也等于零. 24
平面任意力系平衡方程的三种形式
一般式
F x
0
F y
0
M A 0
25
例 4-3-2
已知： P1 10kN, P2 40kN, 求： 轴承A、B处的约束力.
尺寸如图；
解： 取起重机，画受力图.
F x
0
FAx FB 0
1
Fy 0 FAy P1 P2 0
2
MA 0
解得
FB 5 1.5 P1 3.5 P2 0
FAy 50kN FB 31kN FAx 31kN
26
二矩式 三矩式
F x
0
M A 0
M B 0
A, B 连线不得垂直于x轴
M A 0 M B 0 M C 0
A, B,C 三个取矩点，不得共线
13
14
=
=
≠
=
15
2、 平面任意力系的简化结果分析
=
主矢
FR 0 FR 0
主矩
MO 0
MO 0 MO 0
MO 0
最后结果
说明
合力 合力作用线过简化中心
合力 合力偶
合力作用线距简化中心M O FR
与简化中心的位置无关
平衡
与简化中心的位置无关
16
平面任意力系的 最终简化结果只 有三种情形：