第四讲离散图像变换

[bi ( x)bn1i (u )bi ( y)bn1i (v)]
W (u, v)
f (x, y) (1) i0
N x0 y0
i0
n 1
f (x, y)
1
N 1 N 1
n1
[bi ( x)bn1i (u )bi ( y)bn1i (v)]
W (u, v) (1) i0
N u0 v0
i0
沃尔什变换在图像处理中的应用 ▪ 例1：一个二维数字图像信号矩阵为
▪ 看MATLAB的DEMO
小波变换在图像处理中的应用
▪ 图像压缩：压缩比很高。 ▪ 图像增强：通过改变小波域中的某些系数
的幅度，提升感兴趣的分量，而忽略不需 要的东西。 ▪ 图像融合：将两幅图像中，取各自幅度最 大的系数进行组合，产生完美结果。
v)
c
os
M
u(x
12)
cos
N
v(
y
12)
这 些 函 数 被 成 为 DCT 的 基 本 函 数 （ 图 像 ） 。 一 幅 8×8的图像，是由64个基本图像的线性组合。
▪ % DCT coefficient function
▪ close all
▪ clear all
▪
▪ M=8;N=8;
▪ figure,
▪ 沃尔什函数有三种排列或编号方式，以哈达玛排 列最便于快速计算，采用哈达玛排列的沃尔什函 数进行的变换称为沃尔什-哈达玛变换，简称 WHT或简称哈达玛变换。
3.3.1 哈达玛变换
我们定义元素仅由＋1和－1组成的正 交方阵为哈达玛矩阵。所谓正交方阵，即 指它的任意两行（或两列）都彼此正交， 或者说它们对应元素之和为零。哈达玛变
3.2.1 一维离散余弦变换（DCT）
将一个信号通过对折延拓成实偶函数，然后
进行傅里叶变换，我们就可用2N点的DFT来产
生N点的DCT。信号f(n)的离散余弦变换的定义
式为：
F(k) C(k) 2 N1 f (n) cos (2n 1)k
N n0
2N
式中
C(k)
1 2
,
1,
k 0 1 k N 1
第四讲 离散图像变换
3.2 二维离散余弦变换（DCT）
▪ 离 散 余 弦 变 换 DCT (Discrete Cosine Transform) 是图像数据压缩中常用的一 个变换编码方法。
▪ 任何实对称函数的傅里叶变换中只含余弦 项 ，余弦变换是傅里叶变换的特例，余弦 变换是简化傅里叶变换的重要方法。
▪ imshow(f,'notruesize')
▪ J = dct2(I); ▪ figure, ▪ imshow(log(abs(J)),[]), colormap(jet(64)),
colorbar
6 4 2 0
▪ J(abs(J)<0.03e+003) = 0 ▪ K = idct2(J); ▪ figure, imshow(K,[],'notruesize')
有序的变换就成为沃尔什（Walsh）变换。如N
＝4时的矩阵：
1 1 1 1 0
H4
1 1
1 1 1 1
1 1 1 2
1 1
1
1
3
一维Walsh变换核为
n 1
g(x, u)
1
N 1
bi ( x)bn1i (u )
(1) i0
N i0
二维沃尔什正变换和反变换为
n 1
1 N 1 N 1
n1
▪ J(abs(J)<0.5) = 0 ▪ K = idct2(J); ▪ figure, imshow(K,[],'notruesize')
▪ J(abs(J)<1) = 0 ▪ K = idct2(J); ▪ figure, imshow(K,[],'notruesize')
▪ f=imread('C:\MATLAB701\toolbox\imag es\icons\hand.gif');
▪ 因此，二维沃尔什变换可应用于图像压缩。
3.5 二维离散小波变换
▪ 近几年来，小波变换的数学理论和方法已 经引起科学技术界的广泛兴趣和注意。
▪ 小波分析是一个数学分支，是泛函分析、 傅立叶分析、数学分析的完美结晶。
▪ 小波变换在信号处理、图像处理、语音分 析、模式识别、量子物理及众多非线性领 域，在工具和方法上都有重大突破。
M×N。
▪ close all ▪ clear all ▪ ▪ f = zeros(10,10); ▪ f(2:2,1:10) = 1;f(5:5,1:10) = 1;f(8:8,1:10) = 1; ▪ imshow(f,'notruesize') ▪ ▪ J = dct2(f)； ▪ figure, ▪ imshow(log(abs(J)),[],'notruesize'),
J(abs(J)<0.08e+003) = 0
▪ 看MATLAB中的demo
3.3 二维离散沃尔什-哈达玛变换（DHT）
▪ 余弦型变换的基函数是余弦型函数。
▪ 沃尔什变换是由＋1或者－1的基本函数的级数展 开而成的 ，它也满足完备正交特性 。由于沃尔 什函数是二值正交函数，与数字逻辑中的二个状 态相对应，因此它更适用于计算机技术、数字信 号处理。
换要求图像的大小为N＝2n。
最低阶的哈达玛矩阵为:
1 1 H2 1 1
高阶哈达玛矩阵可以通过如下方法求得：
HN
H H
N N
/2 /2
H N /2
H
N
/
2
N＝4的哈达玛矩阵为:
1 1 1 1 0
H4
1 1
1 1
1 1
1 3 1 1
1 1 1 1 2
3.3.2 沃尔什变换
哈达玛变换矩阵，其列率的排列是无规则的。 将无序的哈达玛核进行列率的排序，之后得到的
3.2.2 二维离散余弦变换（DCT2）
▪ 二维信号同样可以推出它的离散余弦变换
F(u,v) C(u)C(v)
2 MN
M 1N 1 x0 y0
f
(x,
y) c os
M
u(x
1 2
)
cos
N
v( y
12 )
DCT逆变换为
f (x, y)
2 M 1 MN u0
N 1 v0
C
(u)C
(v)F
(u,
▪ number=1;
▪ for u=1:1:M
▪ for v=1:1:N
▪
for i=1:1:M
▪
for j=1:1:N
▪
f(i,j)=cos(pi/M.*(i+0.5).*(u-1)).*cos(pi/N.*(j+0.5).*(v-1));
▪
endห้องสมุดไป่ตู้
▪
end
▪
I=mat2gray(f);
▪
subplot(M,N,number),imshow(I);
▪
number=number+1;
▪ end
▪ end
二维离散余弦变换的应用
▪ DCT的典型应用是进行数据压缩编码，可 以进行图像数据压缩，目前的国际压缩标 准JPEG的格式中就应用了DCT变换。
▪ DCT的MATLAB函数：dct2，idct2。 ▪ B=dct2(A); ▪ %A是M×N的矩阵，B是A的DCT系数，大小为
▪ 该图像的的二维DWT：W=1/N2×GFG
▪ 例2：一幅均匀分布的数字图像
▪ 该图像的的二维DWT：W=1/N2×GFG
▪ 得到W后，可以通过公式F=GWG得到图 像矩阵。
▪ 由此可看出，二维沃尔什变换具有能量集 中的作用，而且，原始数据中数字越是均 匀分布，经变换后的数据越集中于矩阵的 边角上。
▪ 小波分析结合了三角函数系和Haar函数系的优点， 满足了时频分析的要求。
▪ 三角函数在频域上是局部化的，但在时间域上没 有局域性；而Haar函数在时间上是完全局部化， 但在频域上的局部性很差。
▪ 小波由基小波构造，包含了平移和伸缩银子。
▪ 小波变换在实现上有S.Mallat提出的快速算法。 S.Mallat提出的多分辨分析的概念，给出了小波 构造的方法，并将小波变换应用于图像分解和重 构，是小波变换理论上的一个突破性进展。