第九章 拉普拉斯变换分解

例
1 X (s ) (s 1)(s 2)
求其可能有的所有的收敛域
Im s平面 Im s平面 Re
× × -2 -1
× × -2 -1
Re
1 X (s ) (s 1)(s 2)
Imபைடு நூலகம்s平面
Im
s平面
Re × × -2 -1 Re
× × -2 -1
1 X (s ) (s 1)(s 2)
Im
S-plane
R
Im
Re Im
L Re
R
L Re
性质7：如果x(t)的拉氏变换X(s)是有理的，那么它的 ROC是被极点所界定或延伸到无限远。
性质8： 如果x(t)的拉氏变换X(s)是有理的，若 x(t) 是右边信号，则其ROC在s平面上位于最右边极 点的右边；若x(t) 是左边信号，则其ROC在s平面上 位于最左边极点的左边。
能应用拉氏变换分析具体电路。
9.0 引言 Introduction

连续时间对应的复频域是用直角坐标 s j 表示的复数平面，简称为S平面或 连续时间复频域（s域）.
• S平面上的每一个点s都代表一个复指数信号 e st , 整个S平面上所有的点代表了整个复指数信号集。
S平面
j 0
第九章 拉普拉斯变换 The Laplace Transform

掌握拉氏变换定义及其基本性质； 牢记常用典型信号的拉氏变换； 掌握运用拉氏变换分析LTI系统的方法； 掌握系统的典型表示方法：H(s)、h(t)、微分方程、模拟
框图、信号流图、零极点+收敛域图，以及它们之间的转换。

掌握采用单边拉氏变换对初始状态非零系统的分析方法。
ROC : 1 Re{s} 2
9.3 拉氏反变换
The Inverse Laplace Transform
信号x(t)的拉氏变换为：
X( + j ) = F{x(t)e
利用傅立叶反变换：
- t
} = [x(t)e- t ]e-jt dt
R
Im
S-plane Re
性质2：对有理拉氏变换来说，ROC内不包括任何极点。 性质3：如果x(t)是有限持续期，并且是绝对可积的，那 么ROC就是整个s平面。
Im
s平面
Re
性质4：如果x(t)是右边信号，而且如果Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么 Re{s} 0 的全部s值都一定在ROC内。
例
4 1 x(t ) (t ) e t u (t ) e 2t u (t ) 3 3
L{ (t )} (t )e st dt 1


X ( s) 1
4 1 1 1 3 s 1 3 s 2 ( s 1) 2 , Re{s} 2 ( s 1)(s 2)
L
X ( s) L{x(t )}
几个典型信号的拉氏变换
(1) x(t ) e u(t )
at
1 X ( s) sa 1 X ( s) sa
Re{ s} a Re{ s} a
(2) x(t ) e u(t )
at
1 (3) x(t ) u (t ) X ( s ) s
j
s0 0 j0
0

• S平面上虚轴上的所有点代表整个周期复指 jt 数信号集 {e }
9.1 拉氏变换 The Laplace Transform
一个信号x(t)的拉氏变换定义如下：

X (s) x(t )e dt
st
记作：
或
x(t ) X ( s)
Im(s)
a
Re(s)
Im S-plane
Im S-plane
-a
Re
-a
Re
零极点：Poles

and Zeros of X(s)
只要x(t)是实指数或复指数信号的线性组合， X(s)就一定是有理的,具有如下形式：
N ( s) X ( s) D( s )
• N(s)和D(s)分别为分子多项式和分母多项式。 • 使N(s)=0的根为X(s) 的零点，在s平面上用“O”表 示。 • 使D(s)=0的根为X(s) 的极点，在s平面上用“×” 表示。
Im
-1
x
1 2
x
Re
请问：x(t)的傅立叶变换存在吗?
9.2 拉氏变换收敛域的性质： The Region of Convergence for Laplace Transform 性质1:拉氏变换收敛域的形状：
X(s)的ROC在s平面内由平行于jω轴的带状区域所组成。
Im Im s平面 Im × × LRe R L Re Re
2 L{2e u (t )} s 1 1 2t L{e u (t )} s2
t
ROC : Re{s} 1
ROC : Re{s} 2
2 1 s 5 X ( s) s 1 s 2 ( s 1)(s 2)
Im{s} Re{s} × -1 × 2 5
Im s平面 × × -2 -1 Re × × -2 -1
Im
s平面
Re
时域信号x(t)的特点
拉氏变换X(s)的ROC
有限长
左边时间信号 右边时间信号 双边时间信号
整个S平面
某一左半平面 某一右半平面 某一带状收敛域
例：
x(t ) 2et u(t ) e2t u(t )
求其拉氏变换X(s)，并画零极点图以及收敛域。 解：
0
Im s平面 Re
• 性质5：如果x(t)是左边信号，而且如果 • Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么 • Re{s} 0 的全部s值都一定在ROC内。
Im x(t) e-1t e-0t
0
s平面 Re
T2
t
性质6：如果x(t)是双边信号，而且如果 Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么ROC 就一定是由s平面的一条带状区域所组成， Re{s} 0 直线 位于带中。
Re{ s} 0
(4) x(t ) (t ) X (s) 1
Re{s}为整个s平面
拉普拉斯变换的收敛域与零极点 收敛域：Region of Convergence ( ROC )
一般把使积分 X ( s)



x(t )e st dt
收敛的s值的范
围称之为拉普拉斯变换的收敛域，简记为ROC。