用分离变量法解常微分方程
用分离变量法解常微分方程
重庆师范大学涉外商贸学院 数学与数学应用（师范）2012级3班 邓海飞
指导教师 申治华
摘 要 变量可分离的方程是常微分中一个基本的类型，分离变量法是解决微分方程的初等解法。本文研究了变量分离方程的多种类型和解法，通过适当的变量替换把方程化为变量分离方程，例如齐次方程、线性方程、Riccati 方程。并且通过相应的例题具体演绎分离变量法解微分方程。最后本文通过实际例子给出了分离变量在求解常微分方程的具体应用，凸显微分方程与实际问题的密切相关性。 关键词 变量分离；齐次方程；线性方程；常微分方程
微分方程是自变量、未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，而自变量仅有一个的微分方程是常微分方程。常微分方程的实质是解方程，即求常微分方程的解。微分方程的类型多种多样，他们的解法也各不相同，但都是把微分方程的求解问题转化成积分问题，其解的表达式由初等函数或超越函数表示。
在反映客观现实世界运动规律的量与量之间的关系中，很多实例存在满足常微分方程的数学模型。而我们可以通过求解方程得出未知函数的性质，所以求解常微分方程在生活中特别重要。本文主要研究用分离变量法解常微分方程，很多教材和期刊中都有相应的归纳和总结，本文列出几类可化为分离变量法解常微分方程。
1直接分离变量的微分方程
1.1标准的分离变量方程
形如
()()dy
f x y dx ?= （1.1） 的方程，称为变量分离方程，这里()f x 、()y ?分别是x ，y 的连续函数。
如果()0y ?≠，我们可以把（1.1）改写成
()dy
f x dx dx
= 这样，变量就“分离”开来了，两边同时积分，则有
()()dy
f x dx c y ?=+?? （1.2）
这里我们把积分常数c 明确写出来，而把()dy y ??
，()f x dx ?分别理解为1
()
y ?，()f x 的原函数。常数c 的取值必须保证（1.2）有意义。
若0y y =时，使0()0y ?=，则0y y =也是方程（1.1）的解。
例1 求解方程
dy x dx y
= 解 将变量分离，可得
ydy xdx =
两边积分，有
22222
y x c =+ 所以整理可得通解为
22y x c -=
这里的c 为任意常数。或者解出y ，写出显函数形式的解
y =1.2变量可分离方程的微分形式
形如
()()()()0M x N y dx P x Q y dy += （1.3）
的方程为变量可分离方程的微分形式。
当()N y ，()P x 0≠时，方程（1.3）的通积分为
()()
()()M x Q y dx dy c P x N y +=??
当()N y ，()P x 0=时，也是方程的解。 例2求解方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 解 若21y -0≠，210x -≠，则方程化为
22
011
x y dx dy x y +=-- 两边积分并整理可得通解
22(1)(1)x y c --=
这里的c 为任意常数。
若210x -=，210y -=，即1x =±，1y =±也是原方程的解。
2 可化为分离方程的类型
通过上面的介绍，我们已经了解了什么方程是变量分离方程。下面，我们继续介绍几种可化为变量分离方程的类型。
2.1齐次方程
形如
()dy y
f dx x
= （2.1） 的方程，称为齐次微分方程，这里()f u 是u 的连续函数。 作变量变换
y
u x
=
（2.2） 得y ux =，于是
dy du x u dx dx
=+ （2.3） 将（2.2）、（2.3）带入（2.1），则原方程变为
()du x u g u dx
+= 整理后可得
()du g u u dx x
-= （2.4） 方程（2.4）是一个变量分离方程，可按（1.1）的方法求解，然后代回原来的变量，得到（2.4）的解。 例3 求解方程
cos dy y y
dx x x =+ （2.5） 解 这是齐次微分方程，令y u x =，则
dy du
x u dx dx =+代入方程（2.5）化为 cos du x u u u dx
+=+ 分离变量有
cos du dx
u x
= 两边积分
ln |cos |ln ||u x c
=+ 这里的c
是任意常数，整理后则有 cos u cx = （2.6）
此时的c c e =± 。
此外，如果（2.6）允许c 0=，则cos 0u =也是（2.5）的解。则方程（2.5）的通解是（2.6），代回原来的变量，得到原方程的通解为
cos y
cx x
=
或者可以写成显函数解
arccos()y x cx =
齐次方程可以通过变量代换化为变量分离方程来求解。与此同时，一些线性变量方程一样可以通过变量代换化为变量分离方程，从而用变量分离法解方程。
2.2线性方程
形如
()dy
f ax by c dx
=++ （2.7） 的方程，其中,,a b c 为常数。
作变量代换u ax by c =++，则
du dy
a b dx dx =+，把它们代入方程（2.7）变为 ()du
a bf u dx
=+ （2.8） 这是一个分离可变量的方程，可用（1.1）的方法求其解。
例4 求解方程2dy
x y dx
=+ 解 令2u x y =+，则2du dy dx dx
=+，将两者代入原方程得到分离方程 2du
dx u
=+ 两边积分
ln(2)u x c
+=+ 这里的c
是任意常数，整理后可得 2x u ce =-
此时的c c e =
，代回原变量得其通解为
22x y ce x =--
2.3 线性分式方程
形如
111
222
a x
b y
c dy dx a x b y c ++=
++ （2.9） 的方程，也可经变量代换为变量分离方程，这里的121212,,,,,a a b b c c 均为常数。下面分三种情况讨论 （1）
111
222
a b c k a b c ===（常数）情况 此时方程变为
dy
k dx
= 有通解y kx c =+，其中c 为任意常数。
（2）1
12
20a b a b ??=?
???，即111
222
a b c k a b c ==≠情况，则 12a ka =，12b kb =
于是
221221
222222
()ka x kb y c k a x b y c dy dx a x b y c a x b y c ++++==
++++ 令22u a x b y =+，有
22du dy
a b dx dx
=+，将两者代入上式可得 122
2
ku c du
a b dx u c +=++ 是变量可分离方程，接下来根据变量分离的求法易求其通解。
（3）1
12
20a b a b ??≠?
???，即11
22
a b a b ≠情况 若方程（2.9）中1c ，2c 至少有一个不为零，方程右端分子，分母全是x ，y 的一次多项式，那么
111222
0a x b y c a x b y c ++=??
++=? （2.10）
代表0xy 平面上两条相交的直线，设交点为00(,)x y ，如果令
那么（2.10）化为
从而（2.9）化为其次型
11
22()a X bY dY Y f dX a X b Y X
+==+ 那么，求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原方程（2.9）的通解。 若方程（2.9）中的120c c ==，则方程（2.9）化为齐次型
11
112222
y a b a x b y dy x dx a x b y a b x
++==
++ 令y
u x
=
即可求解。 例5 求解方程31
dy x y dx x y -+=+- （2.11） 解 解方程组
得1x =-，2y =，令
代入原方程，得到关于新变量的齐次方程
dY X Y
dX X Y
-=+ 再令Y u X =,则
dY du
X u dX dX
=+，将齐次方程再化为变量可分离的方程 11du u X u dX u
-+=+ 分离变量
2(1)21u du dX
u u X -+=+-
当2210u u +-≠时，两边积分得
22ln(21)ln u u c
X -+-+= 整理后可得
22(21)c
X u u e +-=±
记1c
e c ±= ，且代回原变量可得到
2212Y XY X c +-=
221(2)2(1)(2)(1)y x y x c -++--+=
此外，容易验证2
210u u +-=，即2
2
20Y XY X +-=也是方程（2.11）的解，因此方程（2.11）的通解为
22226y x xy y x c -+--=
其中c 为任意常数。
上述解题的方法和步骤同样适用于比方程（2.12）更一般的方程类型
111222
()a x b y c dy
f dx a x b y c ++=++ 3 其他几类可化为变量分离的方程
3.1形如
2
()dy
x f xy dx
=的方程 作变量替换，令 u xy =，即u y x =
，则2xdx udx dy x
-=，代入原方程得 11
()du dx u f u x
=+
是变量分离方程。
3.2 形如2()dy y xf dx
x
=的方程
对于这种类型的方程，引入新变量2y u x =，即2
y ux
=，则22dy du x xu dx dx
=+代入，则原方程化为
11()2du dx f u u x
=-
是分离变量方程。
3.3 形如dy
ax by dx
αβ=+（其中,αβ满足αβαβ=-）的方程 作变量替换，令1y z α+= ，则(1)dy dz z dx dx
αα=+代入原方程可得 (1)dz
x ax bz dx
αααα+=+
即
1dx x
α+再令z
u x
=
，则可将上式化为分离变量方程。 除此之外，还有一些一般形式，比如(,)()(,)()0M x y xdx ydy N x y xdy ydx ++-=（其中,M N 为,x y 的齐次函数，次数可以不一样）的方程。可通过适当的代换化为变量可分离方程。
例6 求解方程
2
2
2()dy x
dx x y =+ 解 令新变量2
u x y =+，那么有
2du dy x dx dx
=+，代入原方程可得 222du x x dx u
=+ 分离变量
2
2
21u du xdx u
=+ 两边积分
2arctan u u x c -=+
将新变量代入上式得原方程的通解
222arctan()x y x y x c +-+=+
即
2arctan()y x y c =++
3.4 Riccati 方程
形如
2()()()dy
p x y q x y f x dx
=++ （3.1） 的微分方程称为Riccati 方程。
Riccati 方程一般情况下不能用初等积分法求出其通解，但针对一些比较特殊的情况，可以求出它的通解。
（1）当()p x 、()q x 、()f x 全为常数时，方程（3.1）为变量可分离的方程，可以用分离变量法求解。
（2）当Riccati 方程的形式为
22dy l b
ay y dx x x
+=+ （3.2） 时，可令z xy =，将方程（3.2）化为变量分离方程
dx
定理1 设Riccati 方程为
2m dy
ay bx dx
+= （3.3） 其中a 、b 、m 都是常数，且设0a ≠，又设0x ≠和0y ≠，则当
440,2,
,2121
k k
m k k --=-+-(1,2,)k = 时，方程（3.3）可通过适当的变换化为变量可分离的方程。 证 不妨设a=1，因此原方程（3.3）化为
22dy
y bx dx
+= （3.4） 当0m =时，方程（3.4）是一个变量可分离的方程，即
2dy
b y dx
=- 当2m =-时，令z xy =，并代入方程（3.4）可得到分离变量方程。
21
()dz b z z dx x
=+- 当421k m k -=+时，令1
1m x ξ+=，11
b
y m η-=
+，其中ξ为新的自变量，η为未知函数，那么方程（3.4）变为
22(1)
n d b
d m ηηξξ+=+ （3.5） 其中421k n k -=
-，再令1t
ξ=，2
t zt η=-，则方程（3.5）变为 22(1)
l dz b
z t dt m +=+ 其中4(1)
2(1)1
k l k --=
-+。
只要将上述变换的过程重复k 次，就可把方程（3.5）转变成0m =的情况。即可得到变量可分离方程。
当421k m k -=
-时，求解方法类似42+1
k
m k -=的情况。 例7 求Riccati 方程
221
=2dy y dx x
+ （3.6） 的通解。
解 原方程（3.6）变形为
2212
dy y x dx --= 所以1a =-，1
2
b =
，2m =-。故此Riccati 方程满足定理1的条件，则可利用变量替换化为变量可分离的方程。 令1
z y
=
，即1zy =，则有0dz dy y z dx dx +=，代入（3.6）式并整理可得齐次方程
211()2dz z
dx x
=-- （3.7） 再令z
u x
=
，即z ux =，代入（3.7）式整理并化简得分离变量方程 211
222du dx u u x
=-++
两边积分
1
arctan(1)ln 2
u x c +=-+
把新变量代入上式得方程（3.6）的通解为
1
1
(1tan(ln ))
2
y x c x =
---
4应用举例
例8 设有两种化学物质A 和B ，它们反应后生成另一物质C.设反应速度与物质A 和B 当时剩余量之积成正比，而且在反应过程中，每克的物质B 需要2g 的物质A 与之反应而生成3g 的物质C 。已知原有的A 、B 物质分别是10g 和20g ，而且在20分钟内反应生成的物质C 为6g ，求在任意时刻物质C 的质量。
解 设()x t 表示t 时刻所生成物质C 的总量，则dx
dt
为反应速度。根据题意知，生成x g 的物质C 需要
23x g 的物质A 和1
3
x g 的物质B 。此时物质A 和物质B 的剩余量分别为2(10)3x -和1
(20)3
x -，那么由题意得
21(10)(20)33
dx k x x dt =-- (0)0x =，(20)6x =
为了简便计算，令2
9r k =
，那么此微分方程变形为 (15)(60)dx
r x x dt
=-- （4.1） 分离变量
(15)(60)
dx
rdt x x =--
两边积分
160ln 4515x
rt c
x
-=+- 即
456015rt x ce x
-=-，45c c e =
利用初始条件(0)0x =得14c =。又因为(20)6x =，所以13
ln 9002
r =。把c 与r 代入上式，得到
3ln 202
3ln 202
60(1)
()14t t e x t e
-=
-
这就是此化学反应过程中生成物C 质量随时间变化的规律。据此式子可以算出
lim ()15t x t →+∞
=
用分离变量法解常微分方程
用分离变量法解常微分 方程 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
用 分离变量法解常微分方程 . １ 直接可分离变量的微分方程 形如 dx dy = ()x f ()y ? 的方程，称为变量分离方程，这里()x f ，()y ?分别是的连续函数. 如果?(y)≠0，我们可将（）改写成 ) (y dy ?= ()x f ()x d , 这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到 通解：? )(x dy ?=? dx x f )(+c. 其中，c 表示该常数，? )(x dy ?，?dx x f )(分别理解为) (1y ?，()x f 的原函数.常数c 的取值必须保证（）有意义.使()0=y ?的0y y =是方程的解. 例1 求解方程01122=-+-dx y dy x 的通解. 解：(1)变形且分离变量： (2)两边积分： c x dx y dy +-=-? ? 2 2 11 ， 得 c x y +-=arcsin arcsin . 可以验证1±=y 也是原方程的解，若视x 和y 是平等的，则1±=x 也是原方程的解. 我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题.
例2 曲线L 上的点),(y x P 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.求曲线L 的方程. 分析:这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线PQ 的方程，用大写的),(Y X 表示法线上的动点，用小写的表示曲线L 上的点，法κ为过点),(y x P 的法线的斜率. 解：由题意得 y '- =1法κ. 从而法线PQ 的方程为 )(1 x X y y Y -' - =-. 又PQ 被y 轴平分，PQ 与y 轴交点M 的坐标为?? ? ??2,0y ，代入上式，得 )0(1 2x y y y -' -=-. 整理后，得 x y y 2-='， 分离变量，解得 x +2 其中c 为任意正数，如图1. ２ 变量可替换的微分方程 种可化为变量分离方程的类型: 齐次方程 形如 ?? ? ??=x y dx dy ?
3-5 -可分离变量型方程及其解法
2.1 可分离变量型方程的解法 [教学内容] 1. 介绍导数、不定积分公式表及其意义; 2.介绍求导和求不定积分的法则; 3. 引入齐次方程的概念及其求解方法; 4. 介绍其他可分离变量型方程及其解法. [教学重难点] 重点是知道齐次方程如何引入新的因变量化为分离变量型方程，难点是如何根据方程的形式引入新的变量变换使得新方程为可分离变量型方程. [教学方法] 自学1、2；讲授3、4，5课堂练习 [考核目标] 1. 会熟记、记准导数公式和积分公式; 2. 知道求导法则和积分法则，并熟练、正确计算函数的导数和不定积分; 3. 知道齐次方程的形式 )x y f (dx dy =，并会用变换x y u =，将原方程化为 变量可分离型方程; 4. 知道探照灯形状设计问题及其求解步骤和方法; 5. 知道如何将函数 方程或积分方程求解问题化归为微分方程来求解. 1. 导数公式和积分表的意义 小学时大家熟记乘法口诀表，这是小学、中学数学乘、除运算的基础，要不然，买2斤苹果3斤梨子，都不知道该付给商贩多少钱。 大学时大家关心的是函数，其中求导和求积分是两个重要的运算，函数的不少性质需要求助于这两种运算的结果，比如单调性、凸凹性、曲线的长度等.（导数表参见《数学分析上》P101基本初等函数的导数公式，积分表参见《数学分析上》P180 列表） 练习17. （1） 合上书本，写出基本初等函数的导数公式和不定积分公式. （2）双曲正弦2e e sh x x x --=，双曲余弦2 e e ch x x x -+=，(有的教材用sinh x 和 cosh x 表 示). 证明：1x sh x ch ch x,(sh x)' sh x,(ch x)'2 2 =-==. 2. 求导法则和积分法则 碰到的函数成千上万，不可能记住所有这些函数的导数(积分)公式，但你要会将这些函数的导数（积分）转化为上面基本初等函数的导数（积分）来算，这就要知道求导（积分）法则. 对于一元函数f(x)y =而言，可导性和可微性是等价的， (x)' f dx dy =(x)dx ' f dy =?，导数也称为微商，原因是(x)' f 是y 的微分与x 微分的商. 下面就给出求导、求微分、求积分 法则. 设g(x) v f(x), u ==均可导，则 (x)' g (x)' f g(x))'(f(x)+=+, dv du v)d(u +=+； 相应（1）???+=+dv du v)d(u ; (x)' g )f(x (x)g(x)' f g(x))'(f(x)+=?, dv u du v v)d(u +=?；于是相应地有 （2） ???+=?dv u du v v)d(u ; (x)g' (g(x))' f (g(x)) (f dx d =，g(x) v dv, )v ('f d(f(g(x)))==；于是相应地有
高数可分离变量的微分方程教案
§7. 2 可分离变量的微分方程 观察与分析: 1. 求微分方程y '=2x 的通解. 为此把方程两边积分, 得 y =x 2+C . 一般地, 方程y '=f (x )的通解为C dx x f y +=?)((此处积分后不再加任意常数). 2. 求微分方程y '=2xy 2 的通解. 因为y 是未知的, 所以积分? dx xy 22无法进行, 方程两边直 接积分不能求出通解. 为求通解可将方程变为 xdx dy y 212 =, 两边积分, 得 C x y +=-21, 或C x y +-=21, 可以验证函数C x y +-=21是原方程的通解. 一般地, 如果一阶微分方程y '=?(x , y )能写成 g (y )dy =f (x )dx 形式, 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G (y )=F (x )+C , 由方程G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数就是原方程的通解 对称形式的一阶微分方程: 一阶微分方程有时也写成如下对称形式: P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0 在这种方程中, 变量x 与y 是对称的. 若把x 看作自变量、y 看作未知函数, 则当Q (x ,y )≠0时, 有 ) ,(),(y x Q y x P dx dy -=. 若把y 看作自变量、x 看作未知函数, 则当P (x ,y )≠0时, 有 ) ,(),(y x P y x Q dy dx -=.
可分离变量的微分方程: 如果一个一阶微分方程能写成 g (y )dy =f (x )dx (或写成y '=?(x )ψ(y )) 的形式, 就是说, 能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy , 另一端只含x 的函数和dx , 那么原方程就称为可分离变量的微分方程. 讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1) y '=2xy , 是. ?y -1dy =2xdx . (2)3x 2+5x -y '=0, 是. ?dy =(3x 2+5x )dx . (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0, 不是. (4)y '=1+x +y 2+xy 2, 是. ?y '=(1+x )(1+y 2). (5)y '=10x +y , 是. ?10-y dy =10x dx . (6)x y y x y +='. 不是. 可分离变量的微分方程的解法: 第一步 分离变量, 将方程写成g (y )dy =f (x )dx 的形式; 第二步 两端积分:??=dx x f dy y g )()(, 设积分后得G (y )=F (x )+C ; 第三步 求出由G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数y =Φ(x )或x =ψ(y ) G (y )=F (x )+C , y =Φ (x )或x =ψ(y )都是方程的通解, 其中G (y )=F (x )+C 称为隐式(通)解. 例1 求微分方程xy dx dy 2=的通解. 解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得 xdx dy y 21=, 两边积分得 ??=xdx dy y 21, 即 ln|y |=x 2+C 1, 从而 2 112x C C x e e e y ±=±=+. 因为1C e ±仍是任意常数, 把它记作C , 便得所给方程的通解 2 x Ce y =. 例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比. 已知t =0时铀的含量为M 0, 求在衰变过程中铀含量M (t )随时间t 变化的规律.
第二章 分离变量法(§2.1)
第二章 分离变量法 偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。 解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数 一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 §2.1 有界弦的自由振动 什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。 定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==><
北邮数理方程课件第三章的分离变量法
第三章 分离变量法 3。2 基础训练 3.2.1 例题分析 例1 解下列定解问题： ???? ?????=??-==??=><
其中A ，B 为积分常数，（7）代入（6）中边界条件，得 00 A B Ae +=???-+=?? （8） 由（8）得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故不可能有0λ<。 (2) 当0λ=时，（6）式中方程的通解是 ()X x Ax B =+ 由边界条件得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故也不可能有0λ=。 （3）当 02 >=βλ时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为 x B x A x X ββsin cos )(+= 代入条件（6）中边界条件，得 0cos ,0==l B A β 由于 0≠B ，故 0cos =l β，即 ),2,1,0(212Λ=+= n l n πβ 从而得到一系列固有值与固有函数 2 2 24)12(l n n πλ+= ),2,1,0(2)12(sin )(Λ=+=n x l n B x X n n π 与这些固有值相对应的方程（3）的通解为 ),2,1,0(2)12(sin 2)12(cos )(Λ=+'++'=n t l a n D t l a n C t T n n n ππ 于是，所求定解问题的解可表示为 x l n t l a n D t l a n C t x u n n n 2)12(sin 2)12(sin 2)12(cos ),(0πππ+??? ? ? +++=∑∞ = 利用初始条件确定其中的任意常数n n D C ,，得 0=n D
2019年数学物理方程-第二章分离变量法.doc
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第二章 分离变量法 分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换 法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论. §2?1 特征值问题 2．1.1 矩阵特征值问题 在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设A 为一n 阶实矩阵，A 可视为n R 到自身的线性变换。该变换的特征值问题（eigenvalue problem ）即是求方程： ,n Ax x x R λ=∈， （1.1） 的非零解，其中C λ∈为待定常数. 如果对某个λ，问题（1.1）有非零解n x R λ∈，则λ就称为矩阵A 的特征值(eigenvalue)，相应的n x R λ∈称为矩阵A 的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（1.1）有不多于n 个相异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一n 阶矩阵都有n 个线性无关的广义特征向量，以此n 个线性无关的广义特征向量作为n R 的一组新基，矩阵就能够化为Jordan 标准型. 若A 为一n 阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正交矩阵T 使得 1T AT D -=， （1.2） 其中D =diag 12(,,...,)n λλλ为实对角阵. 设12[ ... ]n T T T T =，i T 为矩阵T 的第i 列向量(1)i n ≤≤，则式（1.2）可写为如下形式 1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =， 或 , 1.i i i A T T i n λ=≤≤ （1.3） 上式说明，正交矩阵T 的每一列都是实对称矩阵A 的特征向量，并且这n 个特征向量是相互正交的. 由于此结论在一定意义下具有普遍性，我们以定理的形式给出. 定理1.1 设A 为一n 阶实对称矩阵，考虑以下特征值问题 ,n Ax x x R λ=∈， 则A 的所有特征值为实数，且存在n 个特征向量,1i T i n ≤≤，它们是相互正交的（正交性orthogonality ），可做为n R 的一组基（完备性completeness ）. 特征值问题在线性问题求解中具有重要的意义，下面举例说明之. 为简单起见，在下面两个例子中取A 为n 阶非奇异实矩阵，故A 的所有特征值非零，并且假设A 有n 个线性无关的特征向量,i T 相应的特征值为, 1i i n λ≤≤. 例1.1 设n b R ∈，求解线性方程组 Ax b =. 解 由于向量组{1}i T i n ≤≤线性无关，故可做为n R 的一组基. 将,x b 按此
第二章 分离变量法(§2.2,§2.3)
§2.2 有限杆上的热传导 定解问题：一均匀细杆，长为l ，两端坐标为l x x == ,0。杆的侧面绝热，且在端点0=x 处温度为零，而在l x = 处杆的热量自由发散到周围温度为0的介质中。初始温度为)(x ?，求杆上的温度变化情况，即考虑下定解问题： .0 ),(u 0, ,0hu ,0u 0, l,0 ,0002 2 2l x x t x u t x x u a t u t l x x ≤≤=>=+??=><<=??-??===? 仍用分离变量法求解。此定解问题的边界条件为第三类边界条件。类似§2.1中步骤，设)()(),(t T x X t x u =，代入上面的方程可得 ?????=+=+?-==. 0)()(,0)()() ()()()( 2 ' '22'2 2'''x X x X t T a t T x T a x T x X x X βββ 从而可得通解 x B x A x X ββsin cos )(+= 由边界条件知 .0)()(,0)0('=+=l hX l X X 从而 ?? ???-=?=+=.tan 0sin cos , 0h l l h l A βββββ 令 αγ γαβγ=?- ==tan 1 ,hl l 上方程的解可以看作曲线γtan 1=y ，αγ=2y 交点的横坐标，显然他们有无穷多个，于是方程有无穷多个根。用下符号表示其无穷多个正根 ,,21n γγγ 于是得到特征值问题的无穷个特征值
1,2,3...) (n ,2 2 2== l n n γβ 及相应的特征函数 x B x X n n n βsin )(= 再由方程0)()(22'=+t T a t T β， 可得 t a n n n e A t T 2 2)(β-=， 从而我们得到满足边界条件的一组特解 x e C t x u n t a n n n ββsin ),(2 2-= 由于方程和边界条件是齐次的，所以 ∑∞ =-=1 sin ),(2 2n n t a n x e C t x u n ββ 仍满足此方程和边界条件。 下面研究一下其是否满足初始条件。 )(sin 1 x x C n n n ?β=∑∞ = 可以证明}{sin x n β在区域[0,l]上具有正交性，即 ?≠=l m n xdx x 0 n m ,0sin sin ββ 证明： ) )((sin cos cos sin ))((2)sin()()sin()( ) (2)sin()(2)sin( ))cos()(cos(2 1sin sin 00=+--- =+-+---+=++- --=--+- =??m n m n m n n m n m m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n l m n m n l m n l l l l l l l l dx x x xdx x ββββββββββββββββββββββββββββββββββββ 完成。 令 ?=l n n n xdx x L 0 ,sin sin ββ 于是， ?= l n n n xdx x L C 0 sin )(1β ?
第三章-行波法与积分变换法Word版
第三章 行波法与积分变换法 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ? ? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 22 2 2 2 22 2))((,ηηξξηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2 2222222ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对η求积分，再对ξ求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知
). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3） 由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x += -?0)(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得 .2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 二、特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程 02=+++++Fu Eu Du Cu Bu Au y x yy xy xx 称下常微分方程为其特征方程 0)(2)(22=+-dx C Bdxdy dy A 。 由前面讨论知道，直线常数=±at x 为波动方程对应特征方程的积分曲线，称为特征线。已知，左行波)(at x F +在特征线1C at x =+上取值为常数值)(1C F ，右行波)(at x G -在特征线2C at x =-上取值为常数值)(2C G ，且这两个值随着特征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换（2）为特征变换，因此行波法又称特征线法。 注：此方法可以推广的其他类型的问题。 三、公式的物理意义 由 )()(),(at x G at x F t x u -++= 其中)(at x F +表示一个沿x 轴负方向传播的行波， )(at x G -表示一个沿x 轴正方向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个 方向传播出去，其传播速度为a 。因此此法称为行波法。
可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程 观察与分析: 1. 求微分方程y '=2x 的通解. 为此把方程两边积分, 得 y =x 2+C . 一般地, 方程y '=f (x )的通解为C dx x f y +=?)((此处积分后不再加任意常数). 2. 求微分方程y '=2xy 2 的通解. 因为y 是未知的, 所以积分? dx xy 22无法进行, 方程两边直 接积分不能求出通解. 为求通解可将方程变为 xdx dy y 212=, 两边积分, 得 C x y +=-21, 或C x y +-=21, 可以验证函数C x y +-=21是原方程的通解. 一般地, 如果一阶微分方程y '=?(x , y )能写成 g (y )dy =f (x )dx 形式, 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G (y )=F (x )+C , 由方程G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数就是原方程的通解 对称形式的一阶微分方程: 一阶微分方程有时也写成如下对称形式: P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0 在这种方程中, 变量x 与y 是对称的. 若把x 看作自变量、y 看作未知函数, 则当Q (x ,y )≠0时, 有 ) ,(),(y x Q y x P dx dy -=. 若把y 看作自变量、x 看作未知函数, 则当P (x ,y )≠0时, 有 ),(),(y x P y x Q dy dx -=. 可分离变量的微分方程: 如果一个一阶微分方程能写成
g (y )dy =f (x )dx (或写成y '=?(x )ψ(y )) 的形式, 就是说, 能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy , 另一端只含x 的函数和dx , 那么原方程就称为可分离变量的微分方程. 讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1) y '=2xy , 是. ?y -1dy =2xdx . (2)3x 2+5x -y '=0, 是. ?dy =(3x 2+5x )dx . (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0, 不是. (4)y '=1+x +y 2+xy 2, 是. ?y '=(1+x )(1+y 2). (5)y '=10x +y , 是. ?10-y dy =10x dx . (6)x y y x y +='. 不是. 可分离变量的微分方程的解法: 第一步 分离变量, 将方程写成g (y )dy =f (x )dx 的形式; 第二步 两端积分:??=dx x f dy y g )()(, 设积分后得G (y )=F (x )+C ; 第三步 求出由G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数y =Φ(x )或x =ψ(y ) G (y )=F (x )+C , y =Φ (x )或x =ψ(y )都是方程的通解, 其中G (y )=F (x )+C 称为隐式(通)解. 例1 求微分方程xy dx dy 2=的通解. 解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得 xdx dy y 21=, 两边积分得 ??=xdx dy y 21, 即 ln|y |=x 2+C 1, 从而 2 112x C C x e e e y ±=±=+. 因为1C e ±仍是任意常数, 把它记作C , 便得所给方程的通解 2 x Ce y =. 解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得
用分离变量法解常微分方程
用分离变量法解常微分方程 . １直接可分离变量的微分方程 1.1形如 dx dy =()x f ()y ?(1.1) 的方程，称为变量分离方程，这里()x f ，()y ?分别是的连续函数. 如果?(y)≠0，我们可将（1.1）改写成 ) (y dy ?=()x f ()x d , 这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到 通解：?)(x dy ?=?dx x f )(+c. (1.2) 其中，c 表示该常数，?)(x dy ?，?dx x f )(分别理解为) (1y ?，()x f 的原函数.常数c 的取值必须保证（1.2）有意义.使()0=y ?的0y y =是方程(1.1)的解. 例1求解方程01122=-+-dx y dy x 的通解. 解：(1)变形且分离变量： (2)两边积分： c x dx y dy +-=-??2211， 得 c x y +-=arcsin arcsin . 可以验证1±=y 也是原方程的解，若视x 和y 是平等的，则1±=x 也是原方程的解. 我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题. 例2曲线L 上的点),(y x P 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.求曲线L 的方 程. 分析:这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线PQ 的方程，用大写的),(Y X 表示法线上的动点，用小写的表示曲线L 上的点，法κ为过点),(y x P 的法线的斜率.
解：由题意得 y ' -=1法κ. 从而法线PQ 的方程为 )(1x X y y Y -'-=-. 又PQ 被y 轴平分，PQ 与y 轴交点M 的坐标为?? ? ??2,0y ，代入上式，得 )0(12x y y y -' -=-. 整理后，得 x y y 2-='， 分离变量，解得 c y x =+22 2 ， 其中c 为任意正数，如图1. ２变量可替换的微分方程 通过上面的介绍，我们已经知道了什么方程是变量分离方程.下面，我们再介绍几种可化为变 量分离方程的类型: 2.1齐次方程 形如?? ? ??=x y dx dy ?(1.3) 的微分方程，称为齐次微分方程.这里)(u ?是u 的连续函数. 对方程(1.3)做变量变换 x y u =，(1.4) 即ux y =，于是 u dx du x dx dy +=.(1.5) 将(1.4),(1.5)代入（1.3），则原方程变为 )(u u dx du x ?=+， 图1
(整理)数学物理方程第二章分离变量法word版
第五讲补充常微分方程求解相关知识。
第二章 分离变量法 偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。 解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数 一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 （第六讲） §2.1 有界弦的自由振动 什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。 定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==><
D微分方程的概念可分离变量的微分方程答案
第七章 微分方程 第一节 微分方程的基本概念 一、单项选择题 1. 下列各式中是常微分方程的为 B . A. 23y y += B. 2y y y '''+= C. 22xy y xy += D. x y x z z y ''++= 2. 微分方程3d d y x y x x =+的通解为y = B . A. 34x C x + B. 32x Cx + C. 33x C + D. 3 4 x Cx + 3. 函数y C x =-(C 为任意常数)是微分方程1xy y '''-=的 C . A. 通解 B. 特解 C. 是解，但既不是通解也不是特解 D. 不是解 4. 微分方程0y y ''+=的通解是y = D . A. sin A x B. cos B x C. sin cos x B x + D. sin cos A x B x + 5． 已知某微分方程的通解为212()e x y C C x =+，且满足01x y ='=,00x y ==， 则有 B . A. 2e x y = B. 2e x y x = C. 2(1)e x y x =+ D. 22e x y = 二、验证满足()ln y xy =的函数()y y x =是微分方程()220xy x y xy yy y '''''-++-=的解. 解：方程ln()y xy =两边同时对x 求导得11y y x y ''=+，整理得y y xy x '=-，两 边再对x 求导得() ()3223()(1) 22y xy x y y xy xy xy xy y xy x xy x ''--+--+-''==--，将,y y '''代入原 方程得()3223222()20()xy xy xy y y y xy x x y xy x xy x xy x xy x -+--++-=----.因此，由 ln()y xy =所确定的函数是微分方程的解.
北邮数理方程课件 第三章 分离变量法
第三章 分离变量法 3。2 基础训练 3.2.1 例题分析 例1 解下列定解问题： ???? ?????=??-==??=><=βλ时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为
x B x A x X ββsin cos )(+= 代入条件（6）中边界条件，得 0cos ,0==l B A β 由于 0≠B ，故 0cos =l β，即 ),2,1,0(21 2Λ=+= n l n πβ 从而得到一系列固有值与固有函数 2 2 24)12(l n n πλ+= ),2,1,0(2)12(sin )(Λ=+=n x l n B x X n n π 与这些固有值相对应的方程（3）的通解为 ),2,1,0(2)12(sin 2)12(cos )(Λ=+'++'=n t l a n D t l a n C t T n n n ππ 于是，所求定解问题的解可表示为 x l n t l a n D t l a n C t x u n n n 2)12(sin 2)12(sin 2)12(cos ),(0πππ+??? ? ? +++=∑∞ = 利用初始条件确定其中的任意常数n n D C ,，得 0=n D 3 32 02)12(322)12(sin )2(2ππ+- =+-=?n l xdx l n lx x l C l n 故所求的解为 x l n t l a n n l t x u n 2)12(sin 2)12(cos )12(132),(0 3 3 2 π ππ++?+- =∑∞ = 例2 演奏琵琶是把弦的某一点向旁边拨开一小段距离，然后放手任其自由振动。设弦 长为l ，被拨开的点在弦长的0 1 n (0n 为正整数)处，拨开距离为h ，试求解弦的振动，即求解定解问题
数学物理方程第三章行波法与积分变换法
第三章 行波法与积分变换法 (第十三讲 ) 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ?? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 222222 22))((,ηηξξ ηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2222222 2ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对求积分，再对求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知 ). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3） 由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x +=-?0 )(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得
.2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 例 求解柯西问题： ?????+∞≤≤-∞==+∞≤≤-∞>=-+==.,0,3,,0,03202 x u x u x y u u u y y y yy xy xx 解：其特征方程为 0)(32)(22=--dx dxdy dy 由此可得特征线方程为 d y x c y x =+=-3 因此作变换 ?? ?+=-=y x y x μξ, 3 从而可得 η ξ???u 2＝0 从而有 )()3(),(y x G y x F y x u ++-= 由初始条件可得 )()3(3)()3(' ' 2=+-=+x G x F x x G x F 所以有 C x G x F =-)(3)3(， 从而可得 C x x G C x x F +=-=4 3)(4 9)3(2 2
第二章 分离变量法
第二章 分离变量法 §2.1 有界弦的自由振动 为了了解什么是分离变量法以及使用分离变量法应该具备什么条件，我们选取两端固定的弦的自由振动问题为例，通过具体地求解逐步回答这些问题。 讨论两端固定的弦的自由振动，归结求解下列定解问题： 22222000,0,0 (2.1)0,0,0 (2.2)(),(),0 (2.3)x x l t t u u a x l t t x u u t u u x x x l t ?ψ====???=<<>?????==>????==≤≤??? 这个定解问题的特点是：偏微分方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的。求解这样的问题，可以运用叠加原理。我们知道，在求解常系数线性齐次常微分方程的初值问题时，是先求出足够多个特解（它们能构成通解），再利用叠加原理作这些特解的线性组合，使满足初始条件。这就启发我们，要解问题（2.1～2.3），先寻求齐次方程（2.1）的满足齐次边界条件（2.2）的足够多个具有简单形式（变量被分离的形式）的特解，再利用它们作线性组合使满足初始条件（2.3）。 这种思想方法，还可以从物理模型得到启示。从物理学知道乐器发出的声音可以分解成各种不同频率的单音，每种单音，振动时形成正弦曲线，其振幅依赖于时间t ，即每个单音可以表示成
(,)()sin u x t A t x ω= 的形式，这种形式的特点是：u (x ,t )中的变量x 与t 被分离出来。 根据上面的分析，现在我们就试求方程（2.1）的分离变量形式 (,)()()u x t X x T t = 的非零解，并要求它满足齐次边界条件（2.2），式中X (x )，T （t ）分别表示仅与x 有关及仅与t 有关的待定函数。 由(,)()()u x t X x T t =得 2222()(),()()u u X x T t X x T t x t ??''''==?? 代入方程（2.1）得 2()()()()X x T t a X x T t ''''= 或 2()()()() X x T t X x a T t ''''= 这个式子左端仅是x 的函数，右端仅是t 的函数，只有它们均为常数时才能相等。令此常数为-λ，则有 2()()()() X x T t X x a T t λ''''==- 这样我们得到两个常微分方程： 2()()0T t a T t λ''+= （2.4） ()()0X x X x λ''+= （2.5） 再利用边界条件（2.2），由于u (x ,t )＝X (x ) T （t ），故有 (0)()0,()()0X T t X l T t == 但T （t ）不恒等于零，因为如果T （t ）≡0，则u (x ,t )＝0，这种解称
数学物理方程-第三章分离变量法2
第三章 贝塞尔函数 对两个自变量的情形，在第二章中比较系统地介绍了分离变量法的基本思想 以及求解偏微分方程定解问题的主要步骤. 本章讨论多于两个自变量的情形，其求解过程和两个自变量情形基本相同，区别仅在于特征值问题的求解要用到一类特殊函数—贝塞尔（Bessel ）函数. 本章前两节围绕一类特征值问题的求解，比较系统地介绍二阶常微分方程的幂级数解法，以及Bessel 函数的一些基本性质. 第三节介绍多于两个自变量情形的分离变量法. §3?1 二阶线性常微分方程的幂级数解法 3.1.1 常系数线性方程的基解组 在高等数学中，同学们已学过常微分方程的一些求解方法. 对于常系数线性常微分方程，只要求出特征方程的根，就很容易写出齐次方程的基解组，由此可得齐次方程通解表达式. 例1.1 求解下列齐次微分方程 (1) '''320y y y -+=. (2) '''4130y y y ++=. (3) '''440y y y ++=. 解 (1) 特征方程为 2320λλ-+=， 特征根为121,2,λλ== 故基解组为 2{, }x x e e . （2）特征方程为 24130λλ++=， 特征根为1223, 23i i λλ=-+=--，是一对共轭复数，基解组为(23)(23){, }i x i x e e -+--， 这两个解为复值函数. 为得到实值函数的基解组，利用齐次微分方程解的线性性质得 2(23)(23)1 cos3 (+ )2x i x i x e x e e --+--=， 2(23)(23)1 sin 3 ( )2x i x i x e x e e i --+--=-， 这两个实值函数22cos3, sin3x x e x e x --也是方程（2）的解,由此得方程（2）的基解组为 22{cos3, sin3}x x e x e x --. （3）特征方程为 2440λλ++=，
可分离变量的微分方程
第二节 可分离变量的微分方程 微分方程的类型是多种多样的，它们的解法也各不相同. 从本节开始我们将根据微分方程的不同类型，给出相应的解法. 本节我们将介绍可分离变量的微分方程以及一些可以化为这类方程的微分方程，如齐次方程等. 内容分布图示 ★ 可分离变量微分方程 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 齐次方程 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 可化为齐次方程的微分方程 ★ 例 11 ★ 例 12 ★ 例 13 ★ 例 14 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题8-2 ★ 返回 内容要点： 一、可分离变量的微分方程 设有一阶微分方程 ),(y x F dx dy =, 如果其右端函数能分解成)()(),(x g x f y x F =，即有 )()(y g x f dx dy =. (2.1) 则称方程(2.1)为可分离变量的微分方程，其中)(),(x g x f 都是连续函数. 根据这种方程的特点，我们可通过积分来求解. 求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法. 二、齐次方程：形如 ?? ? ??=x y f dx dy (2.8) 的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称齐次方程.. 三、可化为齐次方程的方程：对于形如 ???? ??++++=222 111c y b x a c y b x a f dx dy 的方程，先求出两条直线 ,0111=++c y b x a 0222=++c y b x a 的交点),(00y x ，然后作平移变换
???-=-=00y y Y x x X 即 ? ??+=+=00y Y y x X x 这时，dX dY dx dy =，于是，原方程就化为齐次方程 ,2211???? ??++=Y b X a Y b X a f dX dY 例题选讲： 可分离变量的微分方程 例1（讲义例1）求微分方程xy dx dy 2=的通解. 例2（讲义例2）求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解. 注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解22)1(1-=-x C y 中. 例3 已知,tan 2cos )(sin 22x x x f +=' 当10<