现代测试技术课件(矿大) 第2章 测量误差分析
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第二章 测量误差分析
第一节 测量误差基本概念 误差公理——一切测量都具有误差，误差自始至终 存在于所有科学试验的过程之中。 一、测量误差名词术语 真值——表征物理量与给定的特定量的定义一致的 量值。真值客观存在，不可测量。 理论真值——三角形内角之和=180o。 约定真值——单位基准。 相对真值——实际值。 测量值——测量仪器给出的量值(指示值)。 准确度——测量结果中系统误差和随机误差的综合， 表示测量结果与真值的一致程度。
第四节 测量结果误差估计
y C xi
y C x
i
C C 分别为绝对误差、相对误差传递系数。
2. 误差传递系数确定 微分确定法、计算机仿真确定法、实验确定法 微分确定法——利用函数各自变量的微分确定误 差传递系数的方法。 f
y
xi
xi
y y / y
第三节 粗大误差剔除 测量值Ak的剩余误差δk，当
ˆ k 3
时，测量值Ak是含有粗大误差的异常值，予以剔除。 测量次数n≤10时，准则失效。 2. 格拉布斯准则(Grubbs) 当测量数据中，测量值Ak的剩余误差满足
ˆ k g(n, )
时，测量值Ak是含有粗大误差的异常值，予以剔除。
第一节 测量误差基本概念
测量不确定度： 表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相 联系的参数。不确定度可以是标准差或其倍数，或是说明 了臵信水准的区间的半宽度。 以标准差表示的不确定度称为标准不确定度，以标准 差的倍数表示的不确定度称为扩展不确定度。 标准不确定度依据其评定方法的不同，分为A、B两 类。用统计分析的方法来评定观测值的标准不确定度称为 A类不确定度评定，简称A类不确定度；用非统计分析的 其他方法来评定观测值的标准不确定度称为B类不确定度 评定，简称B类不确定度。
第二节 随机误差处理
一、随机误差统计特性和概率分布
1. 统计特性 有界性、单峰性、对称性、补偿性 2. 概率分布 正态分布——处理大样本的测量数据；
均匀分布——仪表盘刻度引起的误差，仪器最小 分辨率限制引起的误差，数字仪表的量化误差，数字 计算中的舍入误差…… t分布——主要用来处理小样本的测量数据。
第五节 测量不确定度 一、基本概念
为了统一对测量不确定度的表述和估计，国际不确定度工 作组于1993年制定了《测量不确定度表达导则》，由国际标准 化组织公布执行。国内相应制定了技术规范JJFl059—1999―测 量不确定度的表述及评定”。 1. 测量不确定度 与测量结果相关联的参数，表征合理地 赋于被测量值的分散性。 2. 标准不确定度 用标准偏差表示的不确定度，用u表示。 对于不确定度的各个分量，加下标表示，如u1,u2,…un,等。 标准不确定度有两种评定方法：A类评定和B类评定。A类 评定是用统计方法得到的不确定度，用uA表示。B类评定是用 非统计方法得到的不确定度，即用不同于对测量样本统计分析 的其他方法进行不确定度评定，如依据资料和有关信息用估计 的标准偏差表示的不确定度，用uB表示。
x1
m1 300 0.5% 100% 100% 1.875% Ax 80
1级表测量时，可能出现的最大示值误差为
x2
m2 100 1.0% 100% 100% 1.25% Ax 80
计算结果表明：用1.0级表比用1.5级表的示值相对 误差小，更合适。
二、测量不确定度的评定
(一) 测量不确定度的评定步骤
(1)明确被测量定义及其测量条件，明确测量的原理、方法 及所用的测量标准、测量设备； (2)建立被测量的数学模型； (3)分析不确定度来源，列出标准不确定度分量； (4)定量评定各标准不确定度分量； (5)计算合成标准不确定度； (6)确定扩展不确定度； (7)报告测量结果。
1
U
2
(±3/200)×100%=±1.5%
U
3
(±3/100)×100%=±3.0%
第一节 测量误差基本概念 例 压力表精度等级为2.5级，量程为0～1.5MPa，测 量结果显示为0.70MPa，求： 1)可能出现的最大引用相对误差； 2)可能出现的最大绝对误差； 3)示值相对误差 。 解 1)可能出现的最大引用相对误差从精度等级直接得到
第一节 测量误差基本概念
三、测量误差分类
按性质分 1. 系统误差(装臵误差) 反映测量值偏离真值的程度。 凡误差值固定/按一定规律变化——系统误差。 根据误差表现特点分恒值误差和变值误差。 恒值误差在整个测量过程中，数值和符号保持不 变。如：刻度盘分度差错/刻度盘移动——仪表刻度引 起误差。 变值误差，如：环境温度变化，电子元件老化、 机械零件移位、仪表零点漂移…… 系统误差有规律性，通过实验方法/引入修正值方 法进行修正。
3. 合成标准不确定度 由各个不确定度分量合成的标准不 确定度，当测量结果由若干其他量得来时，合成标准不确定度 是这些量的方差或协方差加权之和的正平方根，用uc表示。 4. 扩展不确定度 由合成标准不确定度的倍数表示的不确 定度，它是测量结果的取值区间的半宽度，用U表示。通常测 量结果的不确定度都是用扩展不确定度表示。 5. 包含因子(臵信因子) 为获得扩展不确定度而用作合成 标准不确定度的倍乘因子，用k表示。 6. 自由度 计算总和中的独立项个数，即总和的项数减去 其中受约束的项数，用v表示。 7. 有效自由度 合成标准不确定度的自由度，用veff表示。 8. 臵信概率 与臵信区间或统计包含区间有关的概率值。 当测量值服从某一分布时，落于某区间的概率P即为臵信概率。 臵信概率是介于(0，1)之间的数，常用百分数表示。
(二)不确定度的评定方法
1. 标准不确定度的A类评定方法
A类标准不确定度是用统计方法获得的，对被测量x的试验 标准偏差s(x)计算方法：
(1)贝塞尔法
对被测量x进行了n次独立重复测量，测量值为xi(i=1,2,…,n)，算 术平均值为
x xi / n
标准差为
i 1
n
s( x)
1 n ( xi x ) 2 n 1 i 1
第一节 测量误差基本概念 电工仪表中的模拟仪表准确度等级指数a为：0.1， 0.2，0.5，1.0，1.5，2.5，5.0级，最大引用误差不超 过仪表准确度等级指数a的百分数 。
max a%
仪表的准确度习惯称精度，准确度等级称精度等级 。
例 1.0级电压表，量程300V，当测量值分别为300V、 200V、100V时，求测量值的绝对误差和示值相对误 差。
第四节 测量结果误差估计
三、测量系统误差估计 独立误差因素(随机分量)
i 1
n
2 i
测量不确定度与误差关系 从定义上讲：误差是测量结果与真值之差，以真值或约 定真值为中心；测量不确定度是以被测量的估计值为中 心——误差是理想概念，难以准确定量；不确定度是反映 人们对测量认识不足的程度，可以定量评定。 从分类上，误差分系统误差、随机误差和粗大误差，但 由于各误差间并不存在绝对界限→在分类判别和误差计算 时不易准确掌握。测量不确定度不按性质分类，只是按评 定方法分为A类和B类评定，两类评定方法不分优劣，按 实际情况的可能性加以选用，便于评定计算。 不确定度与误差间联系：误差是不确定度的基础，首先 研究误差的性质、规律，才能更好地估计不确定度分量。 不确定度是对经典误差理论的补充，是现代误差理论的 内容之一，仍需进一步完善和发展。
第一节 测量误差基本概念 测量仪表产生的示值测量误差：仪表等级指数a、仪 表量程有关。 量程和测量值相差越小，测量准确度越高。选择仪 表量程，测量值尽可能接近仪表满刻度值，一般不小 于满刻度值的2/3。 3. 容许误差 ——测量仪器在使用条件下可能产生的最大误差范围， 衡量测量仪器的最重要指标。 容许误差常用绝对误差表示。测量仪表的各刻度值 的绝对误差特征： 1)有与指示值无关的固定值，当被测量为零时可以 发现它； 2)绝对误差随指示值线性增大。
第三节 粗大误差剔除 判断粗大误差，定性、定量 定性： 对测量条件、测量仪器、测量步骤进行分析，是 否有引起粗大误差的因素——无严格原则，慎重。 定量： 以由统计学原理和有关专业知识建立起来的粗差 准则为依据，对异常值进行剔除。 1. 拉依达准则——3准则 正态分布的等精度重复测量，随机误差大于3倍标准 差的概率为0.27%，属于小概率事件。
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第一节 测量误差基本概念 2)随机误差 同一测量条件下，多次测量同一被测量，误差的 绝对值及正、负以不可预见的方式变化——随机误差 服从统计规律——正态分布，统计处理。 3)粗大误差(过失误差) 由于测量人员的粗心、测量仪器受到突然、强大 干扰引起 测错、读错、记错 粗大误差明显超过正常条件下的误差——剔除。 四、有效数字 数据舍入规则： 小于5舍去，大于5进1，等于5应用偶数法则。
第一节 测量误差基本概念 例 1.0级电压表，量程300V，当测量值分别为300V、 200V、100V时，求测量值的绝对误差和示值相对误 差。 解 绝对误差
U1 U 2 U 3=±300×1.0%=±3 V
U (U1 / U1 ) 100% =(±3/300)×100%=±1.0%
A 100% A0
2)示值相对误差 绝对误差与被测量Ax之比的百分数表示。
x 100% Ax
第一节 测量误差基本概念 3)引用相对误差 测量下限为零的引用相对误差用绝对误差与仪器满 度值之比的百分数表示。
m
100% Am
——评价测量仪表的准确度等级。 测量仪表指示值的绝对误差正、负，确定测量仪 表的准确度等级用最大引用误差。 测量下限不为零的仪表，用量程Amax - Amin代替Am 。
第四节 测量结果误差估计 2. 已知仪器仪表的基本误差或允许误差Δ的测量结 果，测量误差：
A
A 100 % A
二、间接测量结果的误差估计 1. 误差合成一般公式 测量结果y是独立变量的函数，即 y f ( x1 , x2 ,, xn ) 各独立变量产生的绝对误差为Δxi，相对误差为δx，则 函数误差
第二节 随机误差处理 二、随机变量的特征参数 数学期望(均值)、方差和标准差 测量数据的数学期望是在测量次数足够的情况下 定义的，实际测量中根据有限的测量数据求得数学期 望的估计值/近似值； 方差和标准差的估计值 等精度测量、不等精度测量时测量结果的估计， 测量结果的臵信度(臵信区间和臵信概率)——数理统 计
m 2.5%
2)
m m Am
=2.5%×1.5=0.0375MPa
m 100% =0.0375/0.70×100%=5.36% 3) x Ax
第一节 测量误差基本概念 例 现有0.5级0～300℃和1.0级0～100℃的两个温度计， 要测量80℃的温度，问：采用哪一个温度计好？ 解 0.5级表测量时，可能出现的最大示值误差为
自由度v=n - 1，n≥6时推荐使用该式。
(2)极差法
s( x) ( xmax xmin ) / dn
式中 dn——极差系数(查表)，n<6时推荐使用该式。
(3)最小二乘法
当被测量x的估计值是由试验数据用最小二乘法拟合的一条直线 或曲线得到时，任意预期的估计值或表示曲线拟合参数的标准不确 定度可用己知的统计程序得到。 在确定A类评定的标准不确定度是用单次测量值作为测量结果时， 标准不确定度为
g (n, ) 和测量次数、显著性水平有关，查表。
第四节 测量结果误差估计 一、直接测量结果的误差估计 1. 以量程%表示准确度等级的仪器仪表的测量结果， 测量误差： 绝对误差
A aAm %
Am A a% A
相对误差
ΔA、δA——测量结果A的绝对误差和相对误差；a、 Am仪器仪表的准确度等级和量程。
第一节 测量误差基本概念 二、测量误差的表示 1. 绝对误差 指示/测量值与真值之差，可正可负。
Ax A0
2. 相对误差 绝对误差与真值之比，%形式表示，一般多取正值。 真值用约定真值/相对真值代替。 相对误差越小，准确度越高——常用相对误差评价测量 结果准确度。
第一节 测量误差基本概念 1)实际相对误差 绝对误差与被测量真值之比的百分数表示。
第一节 测量误差基本概念 误差公理——一切测量都具有误差，误差自始至终 存在于所有科学试验的过程之中。 一、测量误差名词术语 真值——表征物理量与给定的特定量的定义一致的 量值。真值客观存在，不可测量。 理论真值——三角形内角之和=180o。 约定真值——单位基准。 相对真值——实际值。 测量值——测量仪器给出的量值(指示值)。 准确度——测量结果中系统误差和随机误差的综合， 表示测量结果与真值的一致程度。
第四节 测量结果误差估计
y C xi
y C x
i
C C 分别为绝对误差、相对误差传递系数。
2. 误差传递系数确定 微分确定法、计算机仿真确定法、实验确定法 微分确定法——利用函数各自变量的微分确定误 差传递系数的方法。 f
y
xi
xi
y y / y
第三节 粗大误差剔除 测量值Ak的剩余误差δk，当
ˆ k 3
时，测量值Ak是含有粗大误差的异常值，予以剔除。 测量次数n≤10时，准则失效。 2. 格拉布斯准则(Grubbs) 当测量数据中，测量值Ak的剩余误差满足
ˆ k g(n, )
时，测量值Ak是含有粗大误差的异常值，予以剔除。
第一节 测量误差基本概念
测量不确定度： 表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相 联系的参数。不确定度可以是标准差或其倍数，或是说明 了臵信水准的区间的半宽度。 以标准差表示的不确定度称为标准不确定度，以标准 差的倍数表示的不确定度称为扩展不确定度。 标准不确定度依据其评定方法的不同，分为A、B两 类。用统计分析的方法来评定观测值的标准不确定度称为 A类不确定度评定，简称A类不确定度；用非统计分析的 其他方法来评定观测值的标准不确定度称为B类不确定度 评定，简称B类不确定度。
第二节 随机误差处理
一、随机误差统计特性和概率分布
1. 统计特性 有界性、单峰性、对称性、补偿性 2. 概率分布 正态分布——处理大样本的测量数据；
均匀分布——仪表盘刻度引起的误差，仪器最小 分辨率限制引起的误差，数字仪表的量化误差，数字 计算中的舍入误差…… t分布——主要用来处理小样本的测量数据。
第五节 测量不确定度 一、基本概念
为了统一对测量不确定度的表述和估计，国际不确定度工 作组于1993年制定了《测量不确定度表达导则》，由国际标准 化组织公布执行。国内相应制定了技术规范JJFl059—1999―测 量不确定度的表述及评定”。 1. 测量不确定度 与测量结果相关联的参数，表征合理地 赋于被测量值的分散性。 2. 标准不确定度 用标准偏差表示的不确定度，用u表示。 对于不确定度的各个分量，加下标表示，如u1,u2,…un,等。 标准不确定度有两种评定方法：A类评定和B类评定。A类 评定是用统计方法得到的不确定度，用uA表示。B类评定是用 非统计方法得到的不确定度，即用不同于对测量样本统计分析 的其他方法进行不确定度评定，如依据资料和有关信息用估计 的标准偏差表示的不确定度，用uB表示。
x1
m1 300 0.5% 100% 100% 1.875% Ax 80
1级表测量时，可能出现的最大示值误差为
x2
m2 100 1.0% 100% 100% 1.25% Ax 80
计算结果表明：用1.0级表比用1.5级表的示值相对 误差小，更合适。
二、测量不确定度的评定
(一) 测量不确定度的评定步骤
(1)明确被测量定义及其测量条件，明确测量的原理、方法 及所用的测量标准、测量设备； (2)建立被测量的数学模型； (3)分析不确定度来源，列出标准不确定度分量； (4)定量评定各标准不确定度分量； (5)计算合成标准不确定度； (6)确定扩展不确定度； (7)报告测量结果。
1
U
2
(±3/200)×100%=±1.5%
U
3
(±3/100)×100%=±3.0%
第一节 测量误差基本概念 例 压力表精度等级为2.5级，量程为0～1.5MPa，测 量结果显示为0.70MPa，求： 1)可能出现的最大引用相对误差； 2)可能出现的最大绝对误差； 3)示值相对误差 。 解 1)可能出现的最大引用相对误差从精度等级直接得到
第一节 测量误差基本概念
三、测量误差分类
按性质分 1. 系统误差(装臵误差) 反映测量值偏离真值的程度。 凡误差值固定/按一定规律变化——系统误差。 根据误差表现特点分恒值误差和变值误差。 恒值误差在整个测量过程中，数值和符号保持不 变。如：刻度盘分度差错/刻度盘移动——仪表刻度引 起误差。 变值误差，如：环境温度变化，电子元件老化、 机械零件移位、仪表零点漂移…… 系统误差有规律性，通过实验方法/引入修正值方 法进行修正。
3. 合成标准不确定度 由各个不确定度分量合成的标准不 确定度，当测量结果由若干其他量得来时，合成标准不确定度 是这些量的方差或协方差加权之和的正平方根，用uc表示。 4. 扩展不确定度 由合成标准不确定度的倍数表示的不确 定度，它是测量结果的取值区间的半宽度，用U表示。通常测 量结果的不确定度都是用扩展不确定度表示。 5. 包含因子(臵信因子) 为获得扩展不确定度而用作合成 标准不确定度的倍乘因子，用k表示。 6. 自由度 计算总和中的独立项个数，即总和的项数减去 其中受约束的项数，用v表示。 7. 有效自由度 合成标准不确定度的自由度，用veff表示。 8. 臵信概率 与臵信区间或统计包含区间有关的概率值。 当测量值服从某一分布时，落于某区间的概率P即为臵信概率。 臵信概率是介于(0，1)之间的数，常用百分数表示。
(二)不确定度的评定方法
1. 标准不确定度的A类评定方法
A类标准不确定度是用统计方法获得的，对被测量x的试验 标准偏差s(x)计算方法：
(1)贝塞尔法
对被测量x进行了n次独立重复测量，测量值为xi(i=1,2,…,n)，算 术平均值为
x xi / n
标准差为
i 1
n
s( x)
1 n ( xi x ) 2 n 1 i 1
第一节 测量误差基本概念 电工仪表中的模拟仪表准确度等级指数a为：0.1， 0.2，0.5，1.0，1.5，2.5，5.0级，最大引用误差不超 过仪表准确度等级指数a的百分数 。
max a%
仪表的准确度习惯称精度，准确度等级称精度等级 。
例 1.0级电压表，量程300V，当测量值分别为300V、 200V、100V时，求测量值的绝对误差和示值相对误 差。
第四节 测量结果误差估计
三、测量系统误差估计 独立误差因素(随机分量)
i 1
n
2 i
测量不确定度与误差关系 从定义上讲：误差是测量结果与真值之差，以真值或约 定真值为中心；测量不确定度是以被测量的估计值为中 心——误差是理想概念，难以准确定量；不确定度是反映 人们对测量认识不足的程度，可以定量评定。 从分类上，误差分系统误差、随机误差和粗大误差，但 由于各误差间并不存在绝对界限→在分类判别和误差计算 时不易准确掌握。测量不确定度不按性质分类，只是按评 定方法分为A类和B类评定，两类评定方法不分优劣，按 实际情况的可能性加以选用，便于评定计算。 不确定度与误差间联系：误差是不确定度的基础，首先 研究误差的性质、规律，才能更好地估计不确定度分量。 不确定度是对经典误差理论的补充，是现代误差理论的 内容之一，仍需进一步完善和发展。
第一节 测量误差基本概念 测量仪表产生的示值测量误差：仪表等级指数a、仪 表量程有关。 量程和测量值相差越小，测量准确度越高。选择仪 表量程，测量值尽可能接近仪表满刻度值，一般不小 于满刻度值的2/3。 3. 容许误差 ——测量仪器在使用条件下可能产生的最大误差范围， 衡量测量仪器的最重要指标。 容许误差常用绝对误差表示。测量仪表的各刻度值 的绝对误差特征： 1)有与指示值无关的固定值，当被测量为零时可以 发现它； 2)绝对误差随指示值线性增大。
第三节 粗大误差剔除 判断粗大误差，定性、定量 定性： 对测量条件、测量仪器、测量步骤进行分析，是 否有引起粗大误差的因素——无严格原则，慎重。 定量： 以由统计学原理和有关专业知识建立起来的粗差 准则为依据，对异常值进行剔除。 1. 拉依达准则——3准则 正态分布的等精度重复测量，随机误差大于3倍标准 差的概率为0.27%，属于小概率事件。
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第一节 测量误差基本概念 2)随机误差 同一测量条件下，多次测量同一被测量，误差的 绝对值及正、负以不可预见的方式变化——随机误差 服从统计规律——正态分布，统计处理。 3)粗大误差(过失误差) 由于测量人员的粗心、测量仪器受到突然、强大 干扰引起 测错、读错、记错 粗大误差明显超过正常条件下的误差——剔除。 四、有效数字 数据舍入规则： 小于5舍去，大于5进1，等于5应用偶数法则。
第一节 测量误差基本概念 例 1.0级电压表，量程300V，当测量值分别为300V、 200V、100V时，求测量值的绝对误差和示值相对误 差。 解 绝对误差
U1 U 2 U 3=±300×1.0%=±3 V
U (U1 / U1 ) 100% =(±3/300)×100%=±1.0%
A 100% A0
2)示值相对误差 绝对误差与被测量Ax之比的百分数表示。
x 100% Ax
第一节 测量误差基本概念 3)引用相对误差 测量下限为零的引用相对误差用绝对误差与仪器满 度值之比的百分数表示。
m
100% Am
——评价测量仪表的准确度等级。 测量仪表指示值的绝对误差正、负，确定测量仪 表的准确度等级用最大引用误差。 测量下限不为零的仪表，用量程Amax - Amin代替Am 。
第四节 测量结果误差估计 2. 已知仪器仪表的基本误差或允许误差Δ的测量结 果，测量误差：
A
A 100 % A
二、间接测量结果的误差估计 1. 误差合成一般公式 测量结果y是独立变量的函数，即 y f ( x1 , x2 ,, xn ) 各独立变量产生的绝对误差为Δxi，相对误差为δx，则 函数误差
第二节 随机误差处理 二、随机变量的特征参数 数学期望(均值)、方差和标准差 测量数据的数学期望是在测量次数足够的情况下 定义的，实际测量中根据有限的测量数据求得数学期 望的估计值/近似值； 方差和标准差的估计值 等精度测量、不等精度测量时测量结果的估计， 测量结果的臵信度(臵信区间和臵信概率)——数理统 计
m 2.5%
2)
m m Am
=2.5%×1.5=0.0375MPa
m 100% =0.0375/0.70×100%=5.36% 3) x Ax
第一节 测量误差基本概念 例 现有0.5级0～300℃和1.0级0～100℃的两个温度计， 要测量80℃的温度，问：采用哪一个温度计好？ 解 0.5级表测量时，可能出现的最大示值误差为
自由度v=n - 1，n≥6时推荐使用该式。
(2)极差法
s( x) ( xmax xmin ) / dn
式中 dn——极差系数(查表)，n<6时推荐使用该式。
(3)最小二乘法
当被测量x的估计值是由试验数据用最小二乘法拟合的一条直线 或曲线得到时，任意预期的估计值或表示曲线拟合参数的标准不确 定度可用己知的统计程序得到。 在确定A类评定的标准不确定度是用单次测量值作为测量结果时， 标准不确定度为
g (n, ) 和测量次数、显著性水平有关，查表。
第四节 测量结果误差估计 一、直接测量结果的误差估计 1. 以量程%表示准确度等级的仪器仪表的测量结果， 测量误差： 绝对误差
A aAm %
Am A a% A
相对误差
ΔA、δA——测量结果A的绝对误差和相对误差；a、 Am仪器仪表的准确度等级和量程。
第一节 测量误差基本概念 二、测量误差的表示 1. 绝对误差 指示/测量值与真值之差，可正可负。
Ax A0
2. 相对误差 绝对误差与真值之比，%形式表示，一般多取正值。 真值用约定真值/相对真值代替。 相对误差越小，准确度越高——常用相对误差评价测量 结果准确度。
第一节 测量误差基本概念 1)实际相对误差 绝对误差与被测量真值之比的百分数表示。