第七章 非线性系统
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例7-1 非线性系统如图7－7所示，绘制相轨迹。 解 系统线性部分的微分方程为
系统非线性部分特性为
为使系统的平衡点移至相平面原点,可令 则可得到
于是有
xoBox
初始状态确定后，例如 ，将状态变量值代入上式就可开始绘图 了，由于非线性特性f(e)有三种可能的值， 因此在计算斜率时，要根据χ1 的大小正 确选用f(e)三种取值中的一个。绘出的相 轨迹如图7-8 例7-1的相轨迹所示。 用xoBox软件绘制相轨迹非常简单，只需输入非线性特性的 特征值、线性部分的传递函数及初始状态值即可。上例用 xoBox软件绘制的相轨迹与图7-8一样。由图可知，系统稳定， 并且无振荡。稳态误差0.05 。
如前所述，取两个状态变量
，则状态方程为
xoBox
将以上两个状态方程相除，可以得到下式
很显然这是相轨迹的斜率，从其关系式可知，相轨迹的斜 率完全取决于它的微分方ຫໍສະໝຸດ Baidu，因此不同的系统有不同的相轨 迹，与线性系统的根轨迹、频率特性一样，相轨迹完全反映 系统的特性。 根据式（7-2）可以得到绘制相轨迹的方法。若要绘制从初 始状态开始的相轨迹，只要把状态变量值代入式（7-2）算出 该点相轨迹的斜率，由于在小范围内，曲线的切线与曲线是 重合的，因此沿着该点的切线画一小段，这段也近似为相轨 迹上的一小段，得到新的状态变量值后，重复以上步骤就可 绘出系统的相轨迹了。 xoBox分析软件包含了用上述方法编制的绘制相轨迹子程序 ，下面举一个例子来说明相轨迹的绘制方法及xoBox软件绘制 相轨迹子程序的使用方法。
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下面将讨论如何由已知非线性微分方程画出相轨迹的方法。 二、相轨迹的绘制方法 根据已知系统的初始条件和微分方程，绘制系统相轨迹的方 法可以是解析法和图解法。对于可以对微分方程实行分段积分 的非线性系统，应用解析法是方便的，这实质上是非钱性系统 的分段线性化，但这究竟是属于少数的情况。就一的般非线性 系统而言，常需要用图解法来绘制相轨迹。图解法常用的方法 有两种、即等倾线法和δ法。本书只介绍等倾线法。 设巳知系统微分方程为
§7—3
描述函数法
一、概述 如果非线性系统的阶数高于二阶则相轨迹法不再适用，对 此可以用描述函数法进行分析。
xoBox
描述函数法是线性系统频率特性法在一定条件下在非线性 系统分析中的推广应用，实际上是采用了谐波线性化来近似 分析非线性系统的方法。下面概略地说明它的含义。 对于线性元件或系统，当输入正弦函数时，它的输出也是 正弦函数，而且频率完全相同，输出与输入的幅值比和相位 差是频率的函数，它也就是元件或系统的频率特性。线性元 件或系统的频率特性与输入函数的幅值无关，因为线性元件 具有叠加性和均匀性，这些都是众所周知的。 非线性元件输入正弦函数时，它的输出将是一个周期函数 ，除了有和输入相同频率的正弦函数外，还存在其它频率的 所谓谐波成分。按照谐波分析的方法，可以把输出分解为和 输入同频率的基波和其它频率的谐波。如果现在忽略各次谐 波，只讨论输出的基波正弦函数与输入正弦函数的关系，这 就是谐波线性化的基本出发点。在这种情况下，同样可以讨 论非线性元件输出与输入正弦函数的幅值比和相位差，但显 然可知，这个幅值比和相位差与输入正弦函数的幅值有关，
若a1 、a2是χ的函数，那么微分方程就是非线性的。取两 个状态变量 ，则二阶系统可用如下两个一阶微 分方程来表示，即
当t变化时，以解出的χ1为横坐标 ;χ2为纵坐标绘出的轨迹称为状态平面 轨迹。对于 这种特定形式的状态 平面，称为相平面。对应的轨迹称为相轨迹。某系统的相轨迹 如图7－6所示。由于 即为系统的输出量，因此，从图中 可以看出，该系统是衰减振荡的，最终系统输出为零。故系统 稳定。也就是说，相轨迹包含了二阶非线性系统的时间响应的 许多信息。只要绘出了相轨迹，就可以对二阶非线性系统进行 时域分析了。
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(2)线性系统暂态过程的形式与初始条件或外作用的大小无 关，如果线性系统在某一初始条件或某一输入幅值下的时间 响应是衰减振荡的形式，那么它在任何初始条件或同一形式 输入的任何幅值下的时间响应将仍是衰减振荡的形式。对于 非线性系统，它的暂态过程的形式与初始条件有关。 (3)定常线性系统在没有外作用时，只有在阻尼系数ζ＝0 时才可能发生等幅的周期振荡，而实际上，任何真实的物理 系统都存在不同程度的阻尼，即阻尼系数不可能为零。退一 步说，即使系统能达到ζ＝0的临界状态，由于各种扰动，等 幅的周期振荡也是不可能维持的。对于非线性系统，在没有 外作用时，也可能会产生频率、振幅不变的稳定的周期运动 ，而且在系统参数一定的变化范围内仍能维持。这种产生于 非线性系统内部的稳定的周期运动，叫做自振荡或自持振荡 ，简称自振。通常认为自振是不好的，强烈的自振会对系统 起破坏作用。但是，自振也被用来改善系统的某些性能，如 用高频小振幅的颤振克服摩擦和间隙等的影响。自振问题是 研究非线性系统的重要内容之一。
二阶非线性系统解的轨迹能用平面上的曲线表示，因此非 线性系统的许多概念都能有简单、明确的几何解释。相平面 法是一种求解二阶非线性方程的图解方法，是状态空间法在 二维空间情况下的应用。用这种方法不但能判定非线性系统 的稳定性，还可以给出系统的时间响应。
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§7－2
相平面法
设二阶系统的微分方程为
点附近对非线性系统进行线性化的方法。这种方法前面已经作 过介绍。线性化后的系统就可按线性系统的方法来分析计算。 当然不要忘记，这种分析计算的结果只是在限制条件下才是有 效的。如果系统的非线性因素既不能忽略，又不符合线性化处 理的条件，则就要按非线性系统的概念来进行讨论了。对非线 性系统的分析计算还是要采用近似的或数值计算的方法，而且 往往是具体情况要具体处理。本章介绍的描述函数法和相平面 法，用于分析非线性系统是相当烦琐和困难的，因此，只是提 供一些基本的概念和方法，对非线性系统的分析主要使用 xoBox分析软件的非线性仿真功能。 系统的非线性一般会对系统的工作产生不利的影响，但在某 些情况下，人为地使系统非线性也可以使控制系统结构简化而 又改善系统的某些性能。因此正确运用非线性系统的概念，在 系统没计中也是至关重要的。
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4．继电特性 一般的继电特性的输入 输出关系如图7－4所示。它相当于上述三 种特性的综合：输出存在死区，当输入达 某值时，输出立即跃变为定值，相当于饱 和，而在输出饱和区中又存在回环。电器。 中的继电器的工作特性就是典型的例子，由于吸合、释放电 压的不同而形成这种特性。继电特性一般是人为的，可以用 来改善系统性能，但也可能带来不利的作用。
第七章
§7—1
非线性系统
非线性系统的基本概念
一、概述 当系统中所有元件都具有线性的输入输出关系时，它就是 线性系统，否则就是非线性系统。线性系统和非线性系统在 输入输出特性上的本质区分是前者具有叠加性和齐次性，而 后者则不具有这些性质。 由于元件和系统总存在一些非线性的因素，因此在实际处 理系统的线性、非线性问题时是按下述方式考虑的。系统在 以下两种条件下工作时，可按线性系统来处理，一是系统中 的非线性因素对系统的工作影响极小，完全可以忽略不计， 例如以前所讨论的所谓线性系统实际就是这样的系统。二是 系统具有非线性的性质，但在某些限制条件下，如在某一工 作点上工作，输入小信号，使系统在小范围内工作，而在此 范围内，系统的输入输出增量间具有线性关系。则可以把系 统在此限制条件下的工作特性按线性系统处理，这就是在工 作 xoBox
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(4)线性系统在正弦输入下的输出是同频率的正弦函数。而 非线性系统在正弦输入下的输出是比较复杂的，它可以包含 高次谐波，系统可能产生除与输入频率相同的振荡外，还会 产生其它频率的振荡。当输入频率由小到大变化时，其幅频 的数值可能会发生跳跃式的突变，出现所谓跳跃谐振和多值 响应。非线性系统还有许多其它奇特现象，在此不再一一列 举。 本章首先讨论非线性系统的相平面法的基本思想、特点和 应用情况。然后介绍非线性系统的描述函数法及其在分析非 线性系统稳定性问题中的应用，最后结合xoBox软件对各典型 非线性环节进行分析。
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二、典型非线性特性 常见的非线性元件或系统的特性可划分为以下几种。 1．死区(不灵敏区)特性 死区特性的输入输出关系如图7—1所示， 输入在低于某值时无输出。例如测速发电 机的输出电压与输入转速应成正比，但由 于有电刷压降的存在，只有在转速超过某 一值后，才会有电压的输出，形成了一定 的转速、电压关系的死区。二极管正向开 放电压、机械运动中的静摩擦等都能产生死区。 死区的存在会使系统的稳态误差增大，在调速系统中使低 速运动的不平滑性增大。
2．饱和特性 饱和特性的输入输出关系 如图7－2，有时为简化，可把它近似为理想 饱和特性，即由两条直线来表示。也就是说， 当输入低于某值时，输出与输入成正比，而
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当输入超过此值后，输出就保持定值而不再变化。例如电机的 磁化特性曲线，线性放大器设置限幅时都具有这种饱和特性。 饱和特性使系统在大信号时增益降低，稳态误差增大，还可能 影响系统的稳定性。但饱和特性也可以起保护等有利的作用。 3．间隙(回环)特性 间隙特性的输入输 出关系如图7-3所示。输出在输入增加、减 少时与输入成不同的直线关系，当输入x在 不断增大时，输出y与输入x的关系由图7-3 中箭头向右的线段确定，当输入x在不断减 小时，输出y与输入x的关系由图7-3中箭头 向左的线段确定。即输出不仅与输入量的大小有关，而且还与 输入量的变化状态有关。例如齿轮传动中的间隙，这是由于制 造精度所限和为保证转动灵活而不卡死所必需的，它使齿轮传 动时在由正向变反向时，必须经转动了间隙间距后，才会有力 矩传递的作用，在铁心中，由于磁滞的存在，磁化曲线也具有 这种特性。
5．变增益特性 变增益特性的输入输 出关系如图7－5所示。这种特性表明，在 输入信号不同范围时，元件或系统的增益 也不同，小信号时增益低，大信号时增益 高(当然也可以相反)。 这种特性一般是人为设置的，可以用来影响系统的性能；还 可以起抑制高频低振幅噪音的作用。
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上述各种非线性特性都是典型和理想的，实际的情况可能 还要更复杂些，也可能是各种典型特性的组合，改变上述五 种非线性特性的特征参数可以得到几十种不同形状的非线性 特性，但利用典型特性作为例子来分析讨论非线性系统的问 题是比较方便而又不失一般性。 三、非线性系统的工作特点 描述非线性系统运动过程的数学模型是非线性微分方程， 它不能使用叠加原理，因而设有一个通用的方法来处理所有 非线性问题。非线性系统的运动规律也与线性系统有许多不 同之处。例如 (1)线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，而与输 入信号的大小及系统的初始条件无关。但非线性系统的稳定 性，除了和系统的结构和参数有关外，还与输入信号的大小 及系统的初始条件有关。因此，在非线性系统中必须针对具 体的某一运动来讨论系统的稳定性问题。有些系统可能在小 信号作用下是稳定的，而在大信号下则可能是不稳定的。对 于初始条件也存在着这种类似的可能性。下面将要提到的例 子可以说明这个问题。
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或者说它是输入幅值的函数。如果用复数来表示幅值比和相 位差与输入幅值的函数关系，那么这个复变函数就称为非线 性元件的描述函数。 用描述函数只能反映非线性元件在输入正弦函数时输出的 基波部分，但考虑到非线性系统中同时存在很多线性元件， 而这些元件一般都具有低通特性，故非线性元件输出的高次 谐波将被线性元件衰减，最后使谐波对整个系统的工作不会 发生很大的影响。因此，把描述函数代表非线性元件放在系 统中，然后用频率特性法来分析系统就是完全可行的了。当 然，描述函数是输入幅值的函数，因而用描述函数法分析非 线性系统时，既应用了频率特性的一些基本概念，又有不完 全相同的分析方法。 综上所述，若把描述函数用复函数表示出来，它的幅值等 于非线性元件输出信号的基波分量的幅值与输入正弦信号的 幅值之比，它的相角等于上述两个正弦函数的相角差，即
例7-1 非线性系统如图7－7所示，绘制相轨迹。 解 系统线性部分的微分方程为
系统非线性部分特性为
为使系统的平衡点移至相平面原点,可令 则可得到
于是有
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初始状态确定后，例如 ，将状态变量值代入上式就可开始绘图 了，由于非线性特性f(e)有三种可能的值， 因此在计算斜率时，要根据χ1 的大小正 确选用f(e)三种取值中的一个。绘出的相 轨迹如图7-8 例7-1的相轨迹所示。 用xoBox软件绘制相轨迹非常简单，只需输入非线性特性的 特征值、线性部分的传递函数及初始状态值即可。上例用 xoBox软件绘制的相轨迹与图7-8一样。由图可知，系统稳定， 并且无振荡。稳态误差0.05 。
如前所述，取两个状态变量
，则状态方程为
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将以上两个状态方程相除，可以得到下式
很显然这是相轨迹的斜率，从其关系式可知，相轨迹的斜 率完全取决于它的微分方ຫໍສະໝຸດ Baidu，因此不同的系统有不同的相轨 迹，与线性系统的根轨迹、频率特性一样，相轨迹完全反映 系统的特性。 根据式（7-2）可以得到绘制相轨迹的方法。若要绘制从初 始状态开始的相轨迹，只要把状态变量值代入式（7-2）算出 该点相轨迹的斜率，由于在小范围内，曲线的切线与曲线是 重合的，因此沿着该点的切线画一小段，这段也近似为相轨 迹上的一小段，得到新的状态变量值后，重复以上步骤就可 绘出系统的相轨迹了。 xoBox分析软件包含了用上述方法编制的绘制相轨迹子程序 ，下面举一个例子来说明相轨迹的绘制方法及xoBox软件绘制 相轨迹子程序的使用方法。
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下面将讨论如何由已知非线性微分方程画出相轨迹的方法。 二、相轨迹的绘制方法 根据已知系统的初始条件和微分方程，绘制系统相轨迹的方 法可以是解析法和图解法。对于可以对微分方程实行分段积分 的非线性系统，应用解析法是方便的，这实质上是非钱性系统 的分段线性化，但这究竟是属于少数的情况。就一的般非线性 系统而言，常需要用图解法来绘制相轨迹。图解法常用的方法 有两种、即等倾线法和δ法。本书只介绍等倾线法。 设巳知系统微分方程为
§7—3
描述函数法
一、概述 如果非线性系统的阶数高于二阶则相轨迹法不再适用，对 此可以用描述函数法进行分析。
xoBox
描述函数法是线性系统频率特性法在一定条件下在非线性 系统分析中的推广应用，实际上是采用了谐波线性化来近似 分析非线性系统的方法。下面概略地说明它的含义。 对于线性元件或系统，当输入正弦函数时，它的输出也是 正弦函数，而且频率完全相同，输出与输入的幅值比和相位 差是频率的函数，它也就是元件或系统的频率特性。线性元 件或系统的频率特性与输入函数的幅值无关，因为线性元件 具有叠加性和均匀性，这些都是众所周知的。 非线性元件输入正弦函数时，它的输出将是一个周期函数 ，除了有和输入相同频率的正弦函数外，还存在其它频率的 所谓谐波成分。按照谐波分析的方法，可以把输出分解为和 输入同频率的基波和其它频率的谐波。如果现在忽略各次谐 波，只讨论输出的基波正弦函数与输入正弦函数的关系，这 就是谐波线性化的基本出发点。在这种情况下，同样可以讨 论非线性元件输出与输入正弦函数的幅值比和相位差，但显 然可知，这个幅值比和相位差与输入正弦函数的幅值有关，
若a1 、a2是χ的函数，那么微分方程就是非线性的。取两 个状态变量 ，则二阶系统可用如下两个一阶微 分方程来表示，即
当t变化时，以解出的χ1为横坐标 ;χ2为纵坐标绘出的轨迹称为状态平面 轨迹。对于 这种特定形式的状态 平面，称为相平面。对应的轨迹称为相轨迹。某系统的相轨迹 如图7－6所示。由于 即为系统的输出量，因此，从图中 可以看出，该系统是衰减振荡的，最终系统输出为零。故系统 稳定。也就是说，相轨迹包含了二阶非线性系统的时间响应的 许多信息。只要绘出了相轨迹，就可以对二阶非线性系统进行 时域分析了。
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(2)线性系统暂态过程的形式与初始条件或外作用的大小无 关，如果线性系统在某一初始条件或某一输入幅值下的时间 响应是衰减振荡的形式，那么它在任何初始条件或同一形式 输入的任何幅值下的时间响应将仍是衰减振荡的形式。对于 非线性系统，它的暂态过程的形式与初始条件有关。 (3)定常线性系统在没有外作用时，只有在阻尼系数ζ＝0 时才可能发生等幅的周期振荡，而实际上，任何真实的物理 系统都存在不同程度的阻尼，即阻尼系数不可能为零。退一 步说，即使系统能达到ζ＝0的临界状态，由于各种扰动，等 幅的周期振荡也是不可能维持的。对于非线性系统，在没有 外作用时，也可能会产生频率、振幅不变的稳定的周期运动 ，而且在系统参数一定的变化范围内仍能维持。这种产生于 非线性系统内部的稳定的周期运动，叫做自振荡或自持振荡 ，简称自振。通常认为自振是不好的，强烈的自振会对系统 起破坏作用。但是，自振也被用来改善系统的某些性能，如 用高频小振幅的颤振克服摩擦和间隙等的影响。自振问题是 研究非线性系统的重要内容之一。
二阶非线性系统解的轨迹能用平面上的曲线表示，因此非 线性系统的许多概念都能有简单、明确的几何解释。相平面 法是一种求解二阶非线性方程的图解方法，是状态空间法在 二维空间情况下的应用。用这种方法不但能判定非线性系统 的稳定性，还可以给出系统的时间响应。
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§7－2
相平面法
设二阶系统的微分方程为
点附近对非线性系统进行线性化的方法。这种方法前面已经作 过介绍。线性化后的系统就可按线性系统的方法来分析计算。 当然不要忘记，这种分析计算的结果只是在限制条件下才是有 效的。如果系统的非线性因素既不能忽略，又不符合线性化处 理的条件，则就要按非线性系统的概念来进行讨论了。对非线 性系统的分析计算还是要采用近似的或数值计算的方法，而且 往往是具体情况要具体处理。本章介绍的描述函数法和相平面 法，用于分析非线性系统是相当烦琐和困难的，因此，只是提 供一些基本的概念和方法，对非线性系统的分析主要使用 xoBox分析软件的非线性仿真功能。 系统的非线性一般会对系统的工作产生不利的影响，但在某 些情况下，人为地使系统非线性也可以使控制系统结构简化而 又改善系统的某些性能。因此正确运用非线性系统的概念，在 系统没计中也是至关重要的。
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4．继电特性 一般的继电特性的输入 输出关系如图7－4所示。它相当于上述三 种特性的综合：输出存在死区，当输入达 某值时，输出立即跃变为定值，相当于饱 和，而在输出饱和区中又存在回环。电器。 中的继电器的工作特性就是典型的例子，由于吸合、释放电 压的不同而形成这种特性。继电特性一般是人为的，可以用 来改善系统性能，但也可能带来不利的作用。
第七章
§7—1
非线性系统
非线性系统的基本概念
一、概述 当系统中所有元件都具有线性的输入输出关系时，它就是 线性系统，否则就是非线性系统。线性系统和非线性系统在 输入输出特性上的本质区分是前者具有叠加性和齐次性，而 后者则不具有这些性质。 由于元件和系统总存在一些非线性的因素，因此在实际处 理系统的线性、非线性问题时是按下述方式考虑的。系统在 以下两种条件下工作时，可按线性系统来处理，一是系统中 的非线性因素对系统的工作影响极小，完全可以忽略不计， 例如以前所讨论的所谓线性系统实际就是这样的系统。二是 系统具有非线性的性质，但在某些限制条件下，如在某一工 作点上工作，输入小信号，使系统在小范围内工作，而在此 范围内，系统的输入输出增量间具有线性关系。则可以把系 统在此限制条件下的工作特性按线性系统处理，这就是在工 作 xoBox
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(4)线性系统在正弦输入下的输出是同频率的正弦函数。而 非线性系统在正弦输入下的输出是比较复杂的，它可以包含 高次谐波，系统可能产生除与输入频率相同的振荡外，还会 产生其它频率的振荡。当输入频率由小到大变化时，其幅频 的数值可能会发生跳跃式的突变，出现所谓跳跃谐振和多值 响应。非线性系统还有许多其它奇特现象，在此不再一一列 举。 本章首先讨论非线性系统的相平面法的基本思想、特点和 应用情况。然后介绍非线性系统的描述函数法及其在分析非 线性系统稳定性问题中的应用，最后结合xoBox软件对各典型 非线性环节进行分析。
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二、典型非线性特性 常见的非线性元件或系统的特性可划分为以下几种。 1．死区(不灵敏区)特性 死区特性的输入输出关系如图7—1所示， 输入在低于某值时无输出。例如测速发电 机的输出电压与输入转速应成正比，但由 于有电刷压降的存在，只有在转速超过某 一值后，才会有电压的输出，形成了一定 的转速、电压关系的死区。二极管正向开 放电压、机械运动中的静摩擦等都能产生死区。 死区的存在会使系统的稳态误差增大，在调速系统中使低 速运动的不平滑性增大。
2．饱和特性 饱和特性的输入输出关系 如图7－2，有时为简化，可把它近似为理想 饱和特性，即由两条直线来表示。也就是说， 当输入低于某值时，输出与输入成正比，而
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当输入超过此值后，输出就保持定值而不再变化。例如电机的 磁化特性曲线，线性放大器设置限幅时都具有这种饱和特性。 饱和特性使系统在大信号时增益降低，稳态误差增大，还可能 影响系统的稳定性。但饱和特性也可以起保护等有利的作用。 3．间隙(回环)特性 间隙特性的输入输 出关系如图7-3所示。输出在输入增加、减 少时与输入成不同的直线关系，当输入x在 不断增大时，输出y与输入x的关系由图7-3 中箭头向右的线段确定，当输入x在不断减 小时，输出y与输入x的关系由图7-3中箭头 向左的线段确定。即输出不仅与输入量的大小有关，而且还与 输入量的变化状态有关。例如齿轮传动中的间隙，这是由于制 造精度所限和为保证转动灵活而不卡死所必需的，它使齿轮传 动时在由正向变反向时，必须经转动了间隙间距后，才会有力 矩传递的作用，在铁心中，由于磁滞的存在，磁化曲线也具有 这种特性。
5．变增益特性 变增益特性的输入输 出关系如图7－5所示。这种特性表明，在 输入信号不同范围时，元件或系统的增益 也不同，小信号时增益低，大信号时增益 高(当然也可以相反)。 这种特性一般是人为设置的，可以用来影响系统的性能；还 可以起抑制高频低振幅噪音的作用。
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上述各种非线性特性都是典型和理想的，实际的情况可能 还要更复杂些，也可能是各种典型特性的组合，改变上述五 种非线性特性的特征参数可以得到几十种不同形状的非线性 特性，但利用典型特性作为例子来分析讨论非线性系统的问 题是比较方便而又不失一般性。 三、非线性系统的工作特点 描述非线性系统运动过程的数学模型是非线性微分方程， 它不能使用叠加原理，因而设有一个通用的方法来处理所有 非线性问题。非线性系统的运动规律也与线性系统有许多不 同之处。例如 (1)线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，而与输 入信号的大小及系统的初始条件无关。但非线性系统的稳定 性，除了和系统的结构和参数有关外，还与输入信号的大小 及系统的初始条件有关。因此，在非线性系统中必须针对具 体的某一运动来讨论系统的稳定性问题。有些系统可能在小 信号作用下是稳定的，而在大信号下则可能是不稳定的。对 于初始条件也存在着这种类似的可能性。下面将要提到的例 子可以说明这个问题。
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或者说它是输入幅值的函数。如果用复数来表示幅值比和相 位差与输入幅值的函数关系，那么这个复变函数就称为非线 性元件的描述函数。 用描述函数只能反映非线性元件在输入正弦函数时输出的 基波部分，但考虑到非线性系统中同时存在很多线性元件， 而这些元件一般都具有低通特性，故非线性元件输出的高次 谐波将被线性元件衰减，最后使谐波对整个系统的工作不会 发生很大的影响。因此，把描述函数代表非线性元件放在系 统中，然后用频率特性法来分析系统就是完全可行的了。当 然，描述函数是输入幅值的函数，因而用描述函数法分析非 线性系统时，既应用了频率特性的一些基本概念，又有不完 全相同的分析方法。 综上所述，若把描述函数用复函数表示出来，它的幅值等 于非线性元件输出信号的基波分量的幅值与输入正弦信号的 幅值之比，它的相角等于上述两个正弦函数的相角差，即