平面几何的26个定理

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D C B A 高一数学竞赛班二试讲义

第1讲 平面几何中的26个定理

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一、知识点金 1. 梅涅劳斯定理：若直线l 不经过ABC ∆的顶点，

并且与ABC ∆的三边,,BC CA AB 或它们的延长线

分别交于,,P Q R ，则1BP CQ AR PC QA RB

⋅⋅= 注：梅涅劳斯定理的逆定理也成立

（用同一法证明）

2. 塞瓦定理： 设,,P Q R 分别是ABC ∆的三边,,BC CA AB 或它们的延长线上的点，

若,,AP BQ CR 三线共点，则

1BP CQ AR PC QA RB

⋅⋅= 注：塞瓦定理的逆定理也成立

3. 托勒密定理：在四边形ABCD 中，有AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅≥⋅，并且当且仅当四边形ABCD 内接于圆时，等式成立。 ()

ABCD E BAE CAD ABE ACD

AB BE ABE ACD AB CD AC BE AC CD AB AE BAC EAD ABC AED AC AD

BC ED AD BC AC ED AC AD

AB CD AD BC AC BE ED AB CD AD BC AC BD E BD A B C D ∠=∠∠=∠∆∆∴

=⇒⋅=⋅=∠=∠∴∆∆∴=⇒⋅=⋅∴⋅+⋅=⋅+∴⋅+⋅≥⋅证：在四边形内取点，使，则：和相似又且和相似且等号当且仅当在上时成立，即当且仅当、、、四点共圆时成立；

注：托勒密定理的逆定理也成立

4. 西姆松定理：若从ABC ∆外接圆上一点P 作,,BC AB CA 的垂线，

垂足分别为,,D E F ，则,,D E F 三点共线。

西姆松定理的逆定理：从一点P 作,,BC AB CA 的垂线，垂足分别为,,D E F 。若,,D E F 三点共线，则点P 在ABC ∆的外接圆上。

5． 蝴蝶定理：圆O 中的弦PQ 的中点M ，过点M 任作两弦AB ，CD ，弦AD 与BC 分别交PQ 于X ，Y ，则M 为XY 之中点。

证明：过圆心O 作AD 与BC 的垂线，垂足为S 、T ， 连接OX ，OY ，OM ，SM ，MT 。 ∵△AMD ∽△CMB ∴AM/CM=AD/BC

∵AS=1/2AD ，BT=1/2BC ∴AM/CM=AS/CT

又∵∠A=∠C ∴△AMS ∽△CMT

∴∠MSX=∠MTY

∵∠OMX=∠OSX=90° ∴∠OMX+∠OSX=180°

∴O ，S ，X ，M 四点共圆

同理，O ，T ，Y ，M 四点共圆

∴∠MTY=∠MOY ，∠MSX=∠MOX

∴∠MOX=∠MOY ， ∵OM ⊥PQ ∴XM=YM

注：把圆换成椭圆、抛物线、双曲线蝴蝶定理也成立

6． 坎迪定理：设AB 是已知圆的弦，M 是AB 上一点，弦,CD EF

过点M ，连结,CF ED ，分别交AB 于,L N ，则

1111LM MN AM MB

-=-。 7． 斯特瓦尔特定理：设P 为ABC ∆的BC 边上任一点，则有

2222PC BP BP PC AP AB AC BC BC BC BC BC

=⋅+⋅-⋅⋅。 注：斯特瓦尔特定理的逆定理也成立

8．张角定理： 设,,A C B 顺次分别是平面内一点P 所引三条射线,,AB AP AC 上的点，线段,AC CB 对点P 的张角分别为,αβ，且180αβ+<，则,,A C B 三点共线的充要条件是：

sin()sin sin PC PB PA

αβαβ+=+ 9．九点圆定理：三角形的三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点， 共九点共圆。此圆称为三角形的九点圆，或称欧拉圆。ABC ∆的九点圆的圆心是其外心与垂心所

连线段的中点，九点圆的半径是ABC ∆的外接圆半径的12

。 证明：ABC ∆的九点圆与ABC ∆的外接圆，以三角形的垂心为外位似中心，又以三角形的重心为内位似中心。位似比均为1:2。

10．欧拉线：ABC ∆的垂心H ，

重心G ，外心O 三点共线。此线称为欧拉线，且有关系：2HG GO = 11．欧拉公式：设三角形的外接圆与内切圆的半径分别为R 和r ，则这两圆的圆心距

(2)OI R R r =-。由此可知，2R r ≥。 证明：设外心为O ，内心为I ，连结OI ，延长交外接圆于,N P 两点，令d OI =，AI 交外接

圆于L ，则()()2sin

22sin 2

A r R d R d NI IP LI IA L

B IA R Rr A

-+=⋅=⋅=⋅=⋅= 12．笛沙格定理;在ABC ∆和A B C '''∆中，若,,AA BB CC '''相交于一点O ，则AB 与A B ''，BC 与B C ''，AC 与A C ''的交点,,F D E 共线。

证明：OBC ∆和梅尼线B C D ''，1OB BD CC B B DC C O ''⋅⋅=''；OAB ∆和梅尼线A B F ''，1OA AF BB A A FB B O

''⋅⋅=''； OAC ∆和梅尼线A C E ''，1OC CE AA C C EA A O ''⋅⋅=''，三式相乘，得1BD CE AF DC EA FB ⋅⋅=。得证

13．牛顿（Newton）定理1：

圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。

证法1：设四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA与内切圆分别切于点E,F,G,H.

首先证明,直线AC,EG,FH交于一点.设EG,FH分别交AC于点I,I'.

显然∠AHI‘=∠BFI ’ ，因此易知AI'*HI'/FI'*CI'=S(AI'H)/S(CI'F)=AH*HI'/CF*FI'

故AI'/CI'=AH/CF. 同样可证:AI/CI=AE/CG

又AE=AH,CF=CG. 故AI/CI=AH/CF=AI'/CI'.

从而I,I'重合.即直线AC,EG,FH交于一点.

同理可证:直线BD,EG,FH交于一点. 因此直线AC,BD,EG,FH交于一点。

证法2：外四边形为ABCD，对应内切四边形为EFGH。连接EG，FH交于P。

下面证明BD过P即可。

过D座EG的平行线交BA与S，过D做FH的平行线交BC于T。由于弦切角及同位角，角BEG=角CGE=角CDS=角BSD。所以SEGD四点共圆，且为等腰梯形。设此圆为圆M，圆M与圆O，内切圆交于EG，所以其根轴为EG，同理对圆N，DHFT，与圆O交于HF。HF为此两圆的根轴。由根轴定理，只需证明BD为圆M与圆N的根轴即可证明BD，EG，HF共于点P。

D在圆M和圆N上，所以其为根轴一点。由于SEGD，和DHFT为等腰梯形，所以ES=DG，DH=FT。由切线长定理，DH=DG，BE=BF；所以BE=BF，ES=FT，BS=BT。若B为圆M与圆N 的根轴上一点，则BE*BS=BF*BT，其为割线长。明显等式成立。所以BD为圆M与圆N的根轴，则BD，EG，HF共于点P。同理AC，EG，HF共于点P。命题得证。

14．牛顿（Newton）定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。

证明：设四边形ABCD是⊙I的外切四边形，E和F分别是它的对角线AC和BD的中点，连接EI只需证它过点F，即只需证△BEI与△DEI面积相等。

显然，S△BEI=S△BIC+S△CEI-S△BCE，而S△DEI=S△ADE+S△AIE-S△AID。

注意两个式子，由ABCD外切于⊙I，AB+CD=AD+BC，S△BIC+S△AID=1/2*S四边形ABCD，S△ADE+S△BCE=1/2*S△ACD+1/2*S△ABC=1/2*S四边形ABCD

即S△BIC+S△AID=S△ADE+S△BCE，移项得S△BIC-S△BCE=S△ADE-S△AID，由E是AC中点，S△CEI=S△AEI，故S△BIC+S△CEI-S△BCE=S△ADE+S△AIE-S△AID，即S△BEI=△DEI，而F是BD中点，由共边比例定理EI过点F即EF过点I，故结论成立。15．牛顿（Newton）定理3：完全四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。

证明：四边形ABCD,AB∩CD=E,AD∩BC=F,BD中点M,AC中点L,EF中点N 取BE 中点P,BC中点R,PN∩CE=Q