关于幂的不等式问题

幂平均不等式：22122221)...(1...n n a a a n

a a a +++≥+++ 注：例如：22222()()()ac bd a

b

c

d +≤++. 常用不等式的放缩法：①2

1111111

(2)1(1)

(1)1n n

n n n n n n n n

-

=

=-≥++-- ②

11111(1)

1

21

n n n n n n n n

n n +-=

=--≥+++-

（2）柯西不等式： 时取等号

当且仅当（则

若n

n n n n n n n

b a b a b a

b a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a

a a a ====+++++++≤++++∈∈ 3322112

232221223222123322113213

2

1

)

)(();,,,,,,,,

（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点

1212,(),x x x x ≠有

12121212()()

()()

(

)(

).22

22

x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或

则称f(x)为凸（或凹）函数. 5.不等式证明的几种常用方法

比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根轴法）.

步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；

②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.

（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

()()0()

()

0()()0;0()0

()

()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩

（3）无理不等式：转化为有理不等式求解 ○1()0()()()0()()f x f x g x g x f x g x ⎧≥⎫

⇒⎪⎬>⇔≥⎨⎭

⎪>⎩

定义域

○2

⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0

)(0)()]

([)(0)(0

)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ○3

⎪⎩⎪

⎨⎧<≥≥⇔<2

)]

([)(0

)(0

)()()(x g x f x g x f x g x f

（4）.指数不等式：转化为代数不等式

()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b

>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>

（5）对数不等式：转化为代数不等式

()0

()0log ()log ()(1)()0;

log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪

⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩

⎩

（6）含绝对值不等式

○

1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○

3应用化归思想等价转化 ⎩

⎨⎧>-<>≤⇔>⎩

⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)

()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为

⑴n n n qa pa a +=++12（p 、q 为二阶常数）→用特证根方法求解. 具体步骤：①写出特征方程q Px x +=2（2x 对应2+n a ，x 对应1+n a ），

并设二根21,x x ②若21x x ≠可设n n n x c x c a 2211.+=，若21x x =可设n

n x n c c a 121)(+=；

③由初始值21,a a 确定21,c c .

⑵r Pa a n n +=-1（P 、r 为常数）→用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n 转化为n n n qa Pa a +=++12的形式，再用特征根方法求n a ；④121-+=n n P c c a （公式法），21,c c 由21,a a 确定.

①转化等差，等比：1)(11-=⇒-+=⇒+=+++P r x x Px Pa a x a P x a n n n n . ②选代法：=++=+=--r r Pa P r Pa a n n n )(21x P x a P r P P r a a n n n -+=---+=⇒--1111)(1)1(

r

r P a P n n +++⋅+=--Pr 211 .

③用特

征

方

程

求

解

：

⇒⎭

⎬⎫

+=+=-+相减，

r Pa a r Pa a n n n n 111+n a 1111-+--+=⇒-=-n n n n n n Pa a P a Pa Pa a ）（. ④

由选代法推导结果：

P

r P P r a c P c a P r a c P r c n n n -+-+=+=-+=-=

--111111112121）（，，.

6. 几种常见的数列的思想方法：

⑴等差数列的前n 项和为n S ，在0 d 时，有最大值. 如何确定使n S 取最大值时的n 值，有两种方法：

一是求使0,01 +≥n n a a ，成立的n 值；二是由n d

a n d S n )2

(212-+=利用二次函数的性质求n 的值.

⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n 项和可依照等比数列前n 项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：, (2)

1)

12,...(4

13,2

11n

n -⋅

⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差

21d d ，的最小公倍数.

2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n ≥2的任意自然数,验证)(

1

1---n n

n n a a a a 为同一常数。

(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证212-++=n n n a a a N n a a a n n n ∈=++)(221都成