第一讲__数列的极限典型例题

第一讲

数列的极限

一、内容提要

1.数列极限的定义

，有.

注1 的双重性.一方面,正数具有绝对的任意性,这样才能有

无限趋近于

另一方面,正数又具有相对的固定性,从而使不等式.还表明数列无限趋近于的渐近过程的不同程度,进而能估算趋近于的近似程度.

注2若存在，则对于每一个正数，总存在一正整数与之对应，但这种不是唯一的，若满足定义中的要求，则取，作为定义中的新的一个也必

须满足极限定义中的要求，故若存在一个则必存在无穷多个正整数可作为定义中的．

注3的几何意义是：对的预先给定的任意邻域，在中至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入．

注4，有.

2.子列的定义

在数列中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为的子列，记为，其中表示在原数列中的项数，表示它在子列中的项数．

注1 对每一个，有．

注2 对任意两个正整数，如果，则．反之，若，则．

注3，有.

注4的任一子列收敛于.

3.数列有界

对数列，若，使得对，有，则称数列为有界数列．4.无穷大量

对数列，如果，，有，则称为无穷大量，记作．

注1只是一个记号，不是确切的数．当为无穷大量时，数列是发散的，即不存在．

注2 若，则无界，反之不真．

注3 设与为同号无穷大量，则为无穷大量．

注4 设为无穷大量，有界，则为无穷大量．

注 5 设为无穷大量，对数列，若，使得对，有，则为无穷大量．特别的，若，则为无穷大量．

5.无穷小量

若，则称为无穷小量．

注1 若，有界，则．

注 2 若，则；若，且使得对，，则．

6.收敛数列的性质

（1）若收敛，则必有界，反之不真．

（2）若收敛，则极限必唯一．

（3）若，，且，则，使得当时，有．

注这条性质称为“保号性”，在理论分析论证中应用极普遍．

（4）若，，且，使得当时，有，则

．

注这条性质在一些参考书中称为“保不等号（式）性”．

（5）若数列、皆收敛，则它们和、差、积、商所构成的数列，

，，（）也收敛，且有

，

，

（）．

7.迫敛性（夹逼定理）

若，使得当时，有，且，则．

8. 单调有界定理

单调递增有上界数列必收敛，单调递减有下界数列必收敛．

9.Cauchy收敛准则

数列收敛的充要条件是：，有．

注Cauchy收敛准则是判断数列敛散性的重要理论依据．尽管没有提供计算极限的方法，但它的长处也在于此――在论证极限问题时不需要事先知道极限值．

10.Bolzano Weierstrass定理

有界数列必有收敛子列．

11.

12.几个重要不等式

(1)

(2)算术－几何－调和平均不等式：

对记

(算术平均值)

(几何平均值)

(调和平均值)

有均值不等式:等号当且仅当时成立.

（3） Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过)

对由二项展开式

（４）Cauchy－Schwarz 不等式:(),有

（５），

13.O. Stolz公式

二、典型例题

1．用“”“”证明数列的极限．（必须掌握）

例１用定义证明下列各式：

（１）；

（２）设，，则；（97，北大，10分）

（３）

证明：（１），欲使不等式

成立，只须，于是，，取，当时，有

即．

（２）由，，知，有，则

于是，，有，

即．

（３）已知，因为

，所以，，欲使不等式成立，只须．于是，，取，当时，有

，

即．

评注１本例中，我们均将做了适当的变形，使得，从而从解不等式中求出定义中的．将放大时要注意两点：①应满足当时，．这是因为要使，必须能够任意小；②不等式

容易求解．

评注２用定义证明，对，只要找到一个自然数，使得当时，有即可．关键证明的存在性．

评注３在第二小题中，用到了数列极限定义的等价命题，即：

（１），有（为任一正常数）.

（２），有.

例２用定义证明下列各式：

（１）；（92，南开，10分）

（２）

证明：（１）（方法一）由于（），可令（），则

（）

当时，，有

即．

，欲使不等式成立，只须．于是，，取，当时，有

，

即．

（方法二）因为

，

所以，

，欲使不等式成立，只须．于是，，取，当时，有

，

即．

（２）当时，由于，可记（），则

（）

当时，，于是有

．

，欲使不等式成立，只须．

对，取，当时，有

．

当时，（），而．

则由以上证明知，有，即

，

故．

评注１在本例中，，要从不等式中解得非常困难．根据的特

征，利用二项式定理展开较容易．要注意，在这两个小题中，一个是变量，一个是定值．

评注２从第一小题的方法二可看出算术－几何平均不等式的妙处．

评注３第二小题的证明用了从特殊到一般的证法．

例用定义证明：（）（山东大学）