试卷1答案(点集拓扑 河北师大)

点集拓扑试题样卷1卷参考答案

一、单项选择题

1、 ②

2、④

3、②

4、④

5、④

6、 ③

7、②

8、④

9、③ 10、④

二、填空题

1、{,}T X φ=

2、可分空间

3、3T 空间

4、有限可积性质

5、商映射

三、名词解释

1、是一个拓扑空间，每一个映射:S Z X +→叫做X 中的一个序列.

2、一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间，简称为1 A 空间.

3、设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X 是正则空间.

4、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称

拓扑空间X 是一个紧致空间.

5、设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射，并且f 和

1:f Y X -→ 都是连续映射，则称f 是一个同胚映射或同胚.

四、证明题

1、证明：如果()f X 是Y 的一个不连通子集，则存在Y 的非空隔离子集,A B 使得()f X A B =⋃ …………………………………………… 3分

于是11(),()f A f B --是X 的非空子集，并且：

111111111(()())(()())

(()())(()())(()())f A f B f B f A f A f B f B f A f A B A B φ

---------⋂⋃⋂⊂⋂⋃⋂=⋂⋃⋂=

所以11(),()f A f B --是

X 的非空隔离子集 此外，1111()()()(())f A f B f A B

f f X X ----⋃=⋃==，这说明X 不连通，矛盾.从而()f X 是Y 的一个连通子集. ………………………… 6分

2、证明：若X 满足第一可数公理，则在X x ∈处,有一个可数的邻域基，设为V x ,因为X 是可数补空间，因此对x y X y ≠∈∀,,}{y X -是x 的一个开邻域，从而x y V V ∈∃ ,使得}{y X V y -⊂.

于是'

⊂y V y }{, …………………………………………………3分 由上面的讨论我们知道： }{}{}{}{y X y y x X y V y x X -∈-∈'⊂=

-

因为}{x X -是一个不可数集，而

}{x X y u V -∈' 是一个可数集，矛盾.

从而X 不满足第一可数性公理. ………………………………6分

3、证明：若极限点不唯一，不妨设1lim i i x y →∞=,2lim i i x y →∞

=,其中12y y ≠，由于X 是2T 空间，故1y 和2y 各自的开邻域,U V ，使得U V φ⋂=.因1lim i i x y →∞=，故存在10N >，使得当1i N >时，i x U ∈；同理存在20N >，使得当2i N >时，i x V ∈.…………………………………………3分

令12max{,}N N N =,则当i N >时，i x U V ∈⋂，从而U V φ⋂≠,矛盾，故{}i x 的极限点唯一. ………………………………6分

4、证明：设C 是4T 空间X 中的一个连通子集，如果C 不只包含一个点，任意选取,,x y C x y ∈≠.对于4T 空间X 中的两个无交的闭集{},{}x y ，应用Urysohn 引理可见，存在一个连续映射:[0,1]f X →，使得()0f x =和()1f y =.………………………………………3分

由于C 是X 的一个连通子集，从而()f C 连通，由于0,1()f C ∈， 所以()[0,1]f C =，由于[0,1]是一个不可数集，所以C 也是一个不可数集. ……………………………………………………………6分

5、证明：设A 是任意一个由X 中的开集构成的Y 的覆盖，因此A 也是A 的一个覆盖，由于A 是X 的紧致子集，从而A 有有限个成员n A A ,,1 使得 n

i i A A 1=⊃. …………………………………3分

由于A 是正则空间的紧致子集，从而A 有一个开邻域U ，使得 n i i A U 1

=⊂,

从而有Y A A n

i i ⊃⊃= 1,从而A 有有限子覆盖},,{1n A A ，因此Y 是X 的一

个紧致子集. ………………6分