正余弦定理及三角函数的综合应用个性化辅导讲义汇编

课题

正、余弦定理及三角函数的综合应用

教学目标1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题

2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题

3、会运用三角公式进行简单三角函数式化简、求值和恒等式证明与解决有关实际问题

4、会运用三角方法、袋鼠方法和解析方法求三角函数的最值，会由已知三件函数值求角

重点、难点1、三角函数值域及最值的求法

2、三角函数与向量、函数、不等式的综合问题及生产生活中的实际问题

考点及考试要求

高考对正余弦定理的考查主要涉及三角形的边角转化。三角形形状的判断、三角形内角的三角函数求值及三角恒等式的证明、立体几何中的空间角及解析几何中有关角等问题。今后的命题中仍会以正余弦定理为框架，以三角形为主要依托，来综合考查三角形知识，题型一般是选择题和填空题，也有可能是中档难度的解答题，关注利用正余弦定理解决实际问题三角函数的综合应用在高考中地位显著，可以综合考查对三角函数知识的掌握情况。分析近几年高考，主要有以下几种类型：

1、可转化为)

sin(?

ω+

=x

A

y的形式，然后研究性质

2、可转化为c

x

b

x

a

y+

+

=sin

sin2的形式，然后借助于二次函数求闭

区间上的最值

3、与向量、三角形知识结合的综合题

4、用三角函数知识解决生产生活中的实际问题

教学内容

知识框架

1．正弦定理、余弦定理

设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，R是△ABC的外接圆半径．

(1)正弦定理：a

sinA＝b

sin B＝

c

sin C＝2R.

(2)正弦定理的变式：①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C. ②sin A＝a

2R，sin B＝b

2R，sin C＝c

2R.

③a:b:c＝sin A:sin B:sin C.

(3)余弦定理

①a2＝b2＋c2－2bc·cos A，②b2＝c2＋a2－2ca·cos B，③c2＝a2＋b2－2ab·cos C.

(4)余弦定理的变式

cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ； cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ； cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab

. 2．解斜三角形的类型

(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；

(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求得其他边、角；

(3)已知三边，求三个角；

(4)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．

在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：

考点一：利用正、余弦定理解三角形

典型例题

在△ABC 中，

(1)若b ＝2，c ＝1，B ＝45°，求a 及C 的值；

(2)若A ＝60°，a ＝7，b ＝5，求边c .

知识概括、方法总结与易错点分析

1．已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断．

2．应熟练掌握余弦定理及其推论．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．

3．三角形中常见的结论

(1)A ＋B ＋C ＝π.

(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．

(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

针对性练习

在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，求最大角和sin C .

考点二： 利用正、余弦定理判断三角形形状

典型例题

△ABC 中，已知acosA ＝bcosB ，则△ABC 为( )

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形或直角三角形

D ．等腰直角三角形

知识概括、方法总结与易错点分析

依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两种方法：

1．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；

2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．

针对性练习：

已知△ABC 中，sin C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B

，试判断△ABC 的形状． 考点三：三角形面积公式的应用

典型例题

已知△ABC 中，cos A ＝63

，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边． (1)求tan2A ； (2)若sin(π2＋B )＝223

，c ＝22，求△ABC 的面积． 知识概括、方法总结与易错点分析

1．三角形面积公式的选取取决于三角形中的哪个角可求，或三角形的哪个角的正弦值可求．

2．在解决三角形问题中，面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12

ac sin B 最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．

针对性练习：

在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C .

(1)求角B 的大小；

(2)若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．

考点四：正、余弦定理的综合应用

典型例题：

在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对的分别为a 、b 、c ，且cos2A ＝35，sin B ＝1010

. (1)求A ＋B 的值；

(2)若a －b ＝2－1，求a 、b 、c 的值．

知识概括、方法总结与易错点分析

(1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理运用，有时还需要交替使用．

(2)条件中出现平方关系多考虑余弦定理，出现一次式，一般要考虑正弦定理．

针对性练习：

1、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255

，AB →·AC →＝3.

(1)求△ABC 的面积； (2)若b ＋c ＝6，求a 的值．

2、设△ABC 是锐角三角形，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对边长，并且

sin 2A ＝sin(π3＋B )sin(π3

－B )＋sin 2B . (1)

(2)求角A 的值；(2)若AB →·AC →＝12，a ＝27，求b ，c (其中b

巩固作业

1在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3

，则a ＝________. 2．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.

3．(·江苏高考)在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A

＋tan C tan B

的值是________． 4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知：b ＝2，c ＝4，cos A ＝34

. (1)求边a 的值；

(2)求cos(A －B )的值．

5．)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .

(1)求A 的大小；

(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．

6．)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2C ＝－14

. (1)求sin C 的值；

(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．

7．某人在山顶观察A 、B 两个目标，测得A 在南偏西60°距山底1000米处，B 在南偏东60°距山底800米处，求A 、B 之间的距离．

8．)如右图，为了计算渭河岸边两景点B 与C 的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A 和D 两个测量点，现测得AD ⊥CD ，AD ＝100 m ，AB ＝140 m ，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求两景点B 与C 之间的距离(假设A ，B ，C ，D 在同一平面内，测量结果保留整数；参数数据：2＝1.414，3＝1.732，5＝2.236)．

12．)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)，如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.

(1)该小组已测得一组α、β的值，tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值；

(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔实际高度为125 m，试问d为多少时，α－β最大？