响应谱分析原理
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Su a max x t Sv a max x t x t Sa a max
(3)
上式说明响应谱表征了固频为 a 单自由度系统在某种冲击下，最大 位移、速度和加速度值。理论上响应谱应为脉冲波形的泛函。工程标 准上给出的响应谱是具有统计意义的， 因此不一定能找到对应时域脉 冲波形。一般标准上不一定同时给出位移、速度、加速度响应谱，但 已知一种谱，可根据下面的近似关系获得其他 2 种谱
Sa a
2 a
a
(14)
(14)式所得结果和(9)式一致。 也就是说根据(12)式所得的静力问题解， 实际上是求得了自由振动时，节点惯性力作用下系统的应力应变。同 样，在求得了各阶模态惯性力作用下系统应力应变后，可以根据标准 要求，计算合成应力应变，具体合成步骤同(10)式。
Su a
Sv a
a
Sa a
2 a
(4)
多自由度冲击位移计算
以下假设质量矩阵为对角阵。 设地基冲击系统方程为
Mx Kx ME t
(5)
上式中 E 为元素均为 1 的列向量， ME t 表示惯性力。 令模态坐标为 q， x q ，对(5)式模态分解得
(12)
其中 a 为由 F 造成的静变形位移。上式的解显然为 a K 1F a ，
a
但注意到 F 平行于特征向量 ，因此利用关系
a
a
2 K a M a a
(13)
比较(12)和(13)式，立即得
a La
a
Aa 也称为模态系数（Ansys） 。 得到各阶模态的最大响应 x a 后， 可按绝对值叠加， 得出 “合成位移” 响应，即
x x
a a
(10)
具体合成方法应根据标准要求。合成位移 x 要大于冲击下真实值，可 用于校核系统的安全性。
多自由度冲击应力计算——物理意义
记第（a）阶振型在做自由振动时节点所受最大惯性力为 F 。冲击
a
应力计算实际上就是在校核 F 是否会使系统发生破坏。现在证明之。
a
由牛顿定律(a)阶振模振动时，各节点最大惯性力
F M a a
a
M max qa
a
(11)
M La Sa a
a
根据系统静力方程
K F
a a
max qa La Su a La Sa a
2 a
=Aa
(8)
注意，标准上一般只给出速度，位移，加速度谱中的一种。在物理坐 标下的各节点的最大响应为
x max qa
a a
= La
a
S a a
2 a
(9)
= Aa
响应谱分析原理
响应谱构造
对于受任意脉冲波 t 的单自由度标准方程
2 x a x t
(1)
根据杜哈曼积分可以获得其精确时间历程
x t h t d t h t
0
t
(2)
则位移/速度/加速度响应谱的定义为
q T M T K q T M T ME t
1 1
(6)
第(a)阶解耦的模态方程
2 qa a qa La t
(7)
a T ME 其中 La = a T 为模态参与因子。由(1)和ห้องสมุดไป่ตู้3)式得到 qa 最大响应 M a
(3)
上式说明响应谱表征了固频为 a 单自由度系统在某种冲击下，最大 位移、速度和加速度值。理论上响应谱应为脉冲波形的泛函。工程标 准上给出的响应谱是具有统计意义的， 因此不一定能找到对应时域脉 冲波形。一般标准上不一定同时给出位移、速度、加速度响应谱，但 已知一种谱，可根据下面的近似关系获得其他 2 种谱
Sa a
2 a
a
(14)
(14)式所得结果和(9)式一致。 也就是说根据(12)式所得的静力问题解， 实际上是求得了自由振动时，节点惯性力作用下系统的应力应变。同 样，在求得了各阶模态惯性力作用下系统应力应变后，可以根据标准 要求，计算合成应力应变，具体合成步骤同(10)式。
Su a
Sv a
a
Sa a
2 a
(4)
多自由度冲击位移计算
以下假设质量矩阵为对角阵。 设地基冲击系统方程为
Mx Kx ME t
(5)
上式中 E 为元素均为 1 的列向量， ME t 表示惯性力。 令模态坐标为 q， x q ，对(5)式模态分解得
(12)
其中 a 为由 F 造成的静变形位移。上式的解显然为 a K 1F a ，
a
但注意到 F 平行于特征向量 ，因此利用关系
a
a
2 K a M a a
(13)
比较(12)和(13)式，立即得
a La
a
Aa 也称为模态系数（Ansys） 。 得到各阶模态的最大响应 x a 后， 可按绝对值叠加， 得出 “合成位移” 响应，即
x x
a a
(10)
具体合成方法应根据标准要求。合成位移 x 要大于冲击下真实值，可 用于校核系统的安全性。
多自由度冲击应力计算——物理意义
记第（a）阶振型在做自由振动时节点所受最大惯性力为 F 。冲击
a
应力计算实际上就是在校核 F 是否会使系统发生破坏。现在证明之。
a
由牛顿定律(a)阶振模振动时，各节点最大惯性力
F M a a
a
M max qa
a
(11)
M La Sa a
a
根据系统静力方程
K F
a a
max qa La Su a La Sa a
2 a
=Aa
(8)
注意，标准上一般只给出速度，位移，加速度谱中的一种。在物理坐 标下的各节点的最大响应为
x max qa
a a
= La
a
S a a
2 a
(9)
= Aa
响应谱分析原理
响应谱构造
对于受任意脉冲波 t 的单自由度标准方程
2 x a x t
(1)
根据杜哈曼积分可以获得其精确时间历程
x t h t d t h t
0
t
(2)
则位移/速度/加速度响应谱的定义为
q T M T K q T M T ME t
1 1
(6)
第(a)阶解耦的模态方程
2 qa a qa La t
(7)
a T ME 其中 La = a T 为模态参与因子。由(1)和ห้องสมุดไป่ตู้3)式得到 qa 最大响应 M a