软件2010组合数学第五章生成函数(三)

的非负整数解的个数。 的非负整数解的个数。因此其分拆数列的生成函数为
(1+ x + x2 +L 1+ x2 + (x2)2 +L + (1+ x3 + (x3)2 +L L(1+ xk + (xk )2 + (xk )3 +L )( ) ) )
∞ 1 = = ∑Bk (n)xn (1− x)(1− x2)L(1− xk ) n=0
n = n1 + n2 + L + nk , 1 ≤ ni ≤ ri , k ≥1 i = 1,2, L , k
k有序分拆数数列 其k有序分拆数数列 的生成函数是
ri j ∏ ∑ x = ( x + x 2 + L + x r1 )( x + x 2 + L + x r2 )L( x + x 2 + L + x rk ) i =1 j =1
4
定理5.5.2 令B(n)表示正整数 的所有分拆数， Bk(n)表示 定理 表示正整数 的所有分拆数， 表示 n的各分部量都不超过 k的分拆数，则它们相应的生成 的分拆数， 的各分部量都不超过 的分拆数 函数分别为 (1) (2) (3)
1 ∑ Bk (n) x = (1 − x)(1 − x 2 )L(1 − x k ) n =0
h(n) =
∑ h ( k ) h ( n − k ).
k =1
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n −1
这正是Catalan数列的通项公式。 数列的通项公式。 这正是 数列的通项公式
Ak+1 Ak R1 A1
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Ak+2 R2 T An+1
来计算。 那么如何求 h(n) ,本节用 {hn }的生成函数 G (x ) 来计算。 本节用
1x1 + 2 x 2 + L + kxk = n xi ≥ 0, i = 1,2,L, k − 1, xk ≥ 1
的整数解的个数， 的整数解的个数，其生成函数为
(x + x2 +L)(x2 + (x2 )2 +L) + (x3 + (x3)2 +L)L(xk + (xk )2 + (xk )3 +L)
k =2 ∞ i =1 k =2
k −1
= ∑ hk x k − x = G ( x ) − x
k =1
解 G (x ) − G (x ) + x = 0
2
1 ± 1 − 4x 得 G (x ) = 2
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利用牛顿二项式定理， 利用牛顿二项式定理，有
11 1 − 1L − k + 1 ∞ 2 2 2 (−4) k x k 1 − 4x = 1 + ∑ k! k =1 2 2k − 2 k = 1 + ∑ − k − 1 x . k k =1
∞ xk = = ∑B(n, k)xn (1− x)(1− x2 )L(1− xk ) n=k
7
的系数即为n的最大分项等于 的最大分项等于k的分拆个数 其中展开式中 的系数即为 的最大分项等于 的分拆个数 容易证明： 容易证明：B (n, k ) = Bk ( n) − Bk −1 (n) ，因此
∞
9
推论5.5.2 n 的各分部量两两互不相同的分拆数等于 n的 推论 的 各分部量是奇数的分拆数。 各分部量是奇数的分拆数。 证明 n的各分部量两两互不相同的分拆数的生成函数为 的各分部量两两互不相同的分拆数的生成函数为
1 − x2 1 − x4 1 − x6 1 − x 2n (1 + x j ) = ⋅ ⋅ ⋅L ⋅ ⋅L ∏ 2 3 n 1− x 1− x 1− x 1− x j =1
∞ ∞ 1 1 1 1 = ⋅ ⋅ ⋅L = ∏ 3 5 1− x 1− x 1− x 1 − x 2 j −1 j =1 ∞ 1 显然是n的各分部量是奇数的分拆 而 显然是 的各分部量是奇数的分拆 ∏ 1 − x 2 j −1 j =1
数数列的生成函数，因此结论成立 数数列的生成函数，因此结论成立.
k
这个定理等价于如下分配模型：即把 个相同的球放入 个相同的球放入k 这个定理等价于如下分配模型：即把n个相同的球放入 个不同的盒子里， 个盒的容量为 个不同的盒子里，第i个盒的容量为 ri ，且使每盒非 空的方案数为 k ri j ∏ ∑ x i =1 j =1
2
推论5.5.1 若对 的k有序分拆的各分量 ( 1 ≤ ri ) 没有 若对n的 有序分拆的各分量 推论 限制，则其k有序分拆数数列 限制，则其 有序分拆数数列 的生成函数是 {pk (n)} ， x k 且 n − 1 pk (n) = k − 1 1− x
6= 1 + 1 + 1 + 1，6 = 2 + 2 + 2，6 = 2 + 2 + 1 + 1， ， ， ， 6=2 + 1 + 1 + 1 + 1，6=3 + 3， 6=3 + 2 + 1，6=3 + 1 + 1 + 1. ， ， ，
例5.5.1中，若考虑不同面值贴的顺序，则有多少种方案。此问题留作习题 中 若考虑不同面值贴的顺序，则有多少种方案。
3
§5.5.2 无序分拆
在3.6节中可知无序分拆和有序分拆的区别在于是否考 节中可知无序分拆和有序分拆的区别在于是否考 虑分拆后的各分量的顺序， 虑分拆后的各分量的顺序， 将n分拆为 个分部（每一分部的大小不受限制）的分 分拆为k个分部（每一分部的大小不受限制） 分拆为 个分部 拆数等于将n分拆为最大分部为 分拆为最大分部为k（分部个数不限） 拆数等于将 分拆为最大分部为 （分部个数不限）的 分拆数， 分拆数，该分拆数也记为 B ( n, k )
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§5.4 Catalan数列的生成函数
§5.4.1 Catalan数列的生成函数 数列的生成函数
Catalan数首先是由 数首先是由Euler在精确计算对凸 边形的不 在精确计算对凸n边形的不 数首先是由 在精确计算对凸 同的对角三角形剖分的个数问题时得到的， 同的对角三角形剖分的个数问题时得到的，它经常 出现在组合计数问题中。 出现在组合计数问题中。 定义:一个凸 一个凸n+1 边形，通过不相交于 边形，通过不相交于n+1边形内部 定义 一个凸 边形内部 的对角线把n 边形拆分成的三角形个数 记作h 边形拆分成的三角形个数， 的对角线把 +1边形拆分成的三角形个数，记作 n 称为Catalan数. 称为 数
n
∞
xk B ( n, k ) x n = ∑ (1 − x)(1 − x 2 ) L (1 − x k ) n =0
∞
1 ∑ B(n)x = (1 − x)(1 − x 2 )L(1 − x k ) n =0
n
5
∞
（1） ）
Bk (n) 等于不定方程
1 ⋅ x1 + 2 ⋅ x 2 + L k ⋅ x k = n
的系数即为n的最大分项不超过 的最大分项不超过k的分拆个 其中展开式中 的系数即为 的最大分项不超过 的分拆个 数。
6
分拆为k个分部 （2） 根据定理 3.6.3知，将n分拆为 个分部（每一分部的大 ） 知 分拆为 个分部（ 小不受限制）的分拆数等于将n分拆为最大分部为 分拆为最大分部为k（ 小不受限制）的分拆数等于将 分拆为最大分部为 （分部 个数不限）的分拆数， 个数不限）的分拆数，其分拆数相当于求方程
G ( x ) = h1 x + h2 x 2 + L = ∑ hk x k
G 2 (x ) = ∑ hi x i ∑ hi x i =∑∑ (hi h j )x i + j
i =1 ∞ i =1 i =1 j =1 ∞ ∞ ∞ ∞
∞
k =1
∞
= ∑ x k ∑ hi hk −i = ∑ hk x k
∑ B ( n, k ) x
n=k
∞
n
= ∑ B ( n, k ) x n
n =0
∞
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（3） ）
Bk (n) 等于不定方程
1 ⋅ x1 + 2 ⋅ x 2 + L k ⋅ x k = n
的非负整数解的个数。 的非负整数解的个数。因此其分拆数列的生成函数为
B (n)x n ∑
n =0 ∞
= (1 + x + x 2 + L)(1 + x 2 + ( x 2 ) 2 + L) L (1 + x j + ( x j ) 2 + L) L 1 =∏ j j =1 1 − x
1 1 1 1 = = 2 3 1 − x 1 − x 1 − x 1 − x − x 2 + x 4 + x5 − x6
显然所求为 x 6 的系数，为7，说明贴出6角面值的方案有 种。具体为： 的系数， ，说明贴出 角面值的方案有7种 具体为： 角面值的方案有
= 1 + x + 2 x 2 + 3x3 + 4 x 4 + 5 x5 + 7 x 6 + L
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§5.4 Catalan数列的生成函数
§5.4.1 Catalan数列的生成函数 数列的生成函数
Catalan数首先是由 数首先是由Euler在精确计算对凸 边形的不 在精确计算对凸n边形的不 数首先是由 在精确计算对凸 同的对角三角形剖分的个数问题时得到的， 同的对角三角形剖分的个数问题时得到的，它经常 出现在组合计数问题中。 出现在组合计数问题中。 定义:一个凸 一个凸n+1 边形，通过不相交于 边形，通过不相交于n+1边形内部 定义 一个凸 边形内部 的对角线把n 边形拆分成的三角形个数 记作h 边形拆分成的三角形个数， 的对角线把 +1边形拆分成的三角形个数，记作 n 称为Catalan数. 称为 数
∑ B(n, k )x = ∑ ( B (n) − B
n n =0 n =0 k k −1 1 1 =∏ −∏ 1 − x i i =1 1 − x i i =1 k
∞
∞
(n)) x n k −1
xk = (1 − x)(1 − x 2 ) L (1 − x k )
若 n < k ，则 B ( n, k ) = 0 ，因此当 n = 0 ,1, 2 , k − 1 ，它 们对应的生成函数的系数为零， 们对应的生成函数的系数为零，所以
第五章 生成函数
5.1 5.2 5.3 5.5 5.4 生成函数的定义和性质 组合数的生成函数 指数型生成函数与多重集的排列数 分拆数的生成函数 Catalan数列与Stirling数列的生成函数 数列与 数列 数列的生成函数
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§5.5.1 有序分拆
定理5.5.1 对于 的k有序分拆 对于n的 有序分拆 定理
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角的邮票贴出面值6角 例 5.5.1 用1角、2角、3角的邮票贴出面值 角，求有多少种不 角 角 角的邮票贴出面值 同的方案？ 同的方案？ 解 这是可重复的无序分拆，相应的生成函数为 这是可重复的无序分拆， G ( x) = (1 + x + x 2 + L)(1 + x 2 + x 4 + L)(1 + x3 + x 6 + L)
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例如五边形有如下五种拆分方案，所以 例如五边形有如下五种拆分方案，所以h4=5
例5.4.1 在一个凸n+1边形中，可以用(n-3)条不在内部相交 的对角线将其剖分成(n-2)个三角形，问有多少种不同的分法？
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表示将一个凸(n+1)边形剖为三角形的方法数，规定 边形剖为三角形的方法数， 解 令 h(n) 表示将一个凸 边形剖为三角形的方法数 h ( 0 ) = 0, h (1) = 1 。 边形就是三角形， 当n = 2时，(n+1)边形就是三角形，不需剖分，故 h( 2) = 1 时 边形就是三角形 不需剖分， 考虑一个凸(n+1)边形，它的顶点分别用 A1 , A2 , L , An +1 边形， 当 n ≥ 3 考虑一个凸 边形 表示，如图5.4.1所示 所示。 表示，如图5.4.1所示。取边 A1 An +1，任取顶点 Ak +1 (k = 1,2,L, n −1) 之间连线，得三角形T，三角形T将凸 将 Ak +1 分别与 A1 , An +1 之间连线，得三角形 ，三角形 将凸 三部分，其中， (n+1)边形分成 T，R 1和R 2 三部分，其中， R 1为(k+1)边形 边形 边形分成 边形。 种方法剖分， ， R 2为(n-k+1)边形。因此，R 1可以用 h(k ) 种方法剖分，R 边形 因此， 种方法剖分， 2 可以用 h ( n − k ) 种方法剖分，所以