数值分析基本概念和解题思路

数值分析基本概念和解题思路

数值分析的产生：求解数学问题的过程中，计算精确解很困难、行不通，所以，采用近似解（数值解）来替代；能不能替代？需要看误差（精确解与近似解的差值）的大小，是否满足精度的要求；在能替换的条件下，需要挑选计算量小，存储单元小的方法。

第一章绪论（误差分析）

有效数字、绝对误差、相对误差本质上讲都符合四舍五入。有效数字多少位，精度到小数点后第几位。

病态问题和不稳定算法的实例分析。

1、避免相近二数相减

2、避免小分母: 分母小会造成浮点溢出

3、避免大数吃小数

第二章非线性方程（组）的数值解法

非线性方程为自变量次数n大于等于2的方程。x n次数低的方程可以求解，高次的方程（大于等于5）便没法求解。

二分法借助的是零点定理，将求解的区间平均分，每次取区间的端点值和中间值，试算。依据零点定理，每次保存下来有解的那一半区间。

迭代法是一种逐步逼近的方法，它是解代数方程、超越方程、方程组、微分方程等一种基本而这样的方法。

不动点迭代将求f（x）=0的零点问题转换为求x=g（x）的交点问题。

牛顿（切线法）迭代：用切线方程的零点近似代替曲线y=f（x）的零点

割线法：用割线的零点近似代替曲线y=f（x）的零点

抛物线：三点做抛物线，抛物线的零点近似代替曲线y=f（x）的零点

所谓的迭代，就是建立n+1与n的递推关系。当逼近目标变量x*时，x n+1=x n=g（x n）

收敛阶反应收敛速度的大小，越大，收敛越快。

为加速线性收敛，可采用使用两个迭代值的组合、斯提芬森迭代法

第三章线性代数方程组的直接解法

直接法没有舍入误差，没有近似，求得精确解的方法；

迭代法采用逐步逼近，从一个迭代初始向量开始，按某种迭代格式，构造一个向量的无穷序列，求得的是近似解。

Ax=b

若A是上、下三角阵，则可以直接求解x

若A是普通矩阵，需要分解成U、L的形式

Gauss（高斯）消去法：LU分解A=LU

Doolittle分解：A=单位下三角阵*上三角阵

Crout分解：A=下三角阵*单位上三角阵

平方根法：A为对称正定，A=LL T L为对角元均为正数的下三角阵

消去进行到底要求主元素均不为零（即顺序主子阵都是非奇异的）；主元素不为零，但是太小也会产生较大误差，所以，选主元三角分解。

范数谱半径用来判断是否收敛

第六章线性与非线性方程组的迭代解法

阶数高且非零元素少的大型稀疏线性方程组，直接法不再适用，需要采取迭代法。Jacobi迭代：A=D-L-U D为对角阵A为非奇异

Gauss-Seidel迭代：把前一步求出的数充分利用

超松弛迭代（SOR）：改进G-S法，用某个参数w作为加权平均

共轭梯度法（CG）：A为对称正定共轭梯度法是一种变分方法，将求解方程组

问题等价转化为一个二次函数的极值问题

最速下降法：是指每次沿着函数值下降最快的方向寻找最小值点。而函数值下降最快的方向是函数的负梯度方向

第七章曲线拟合与线性最小二乘问题

拟合：最大程度地反应数据点的趋势即可，不要求通过所有数据点。

插值：要求通过所有提供的数据点

线性最小二乘问题：所有数据点到拟合直线的距离平方和最小。

第四章多项式插值与函数逼近

插值问题：通过所有提供的数据点，建立拟合函数，去逼近真实函数。

拟合函数可以是多项式、三角函数、有理分式的集合。其中，多项式代数插值的构造方法有拉格朗日（Lagrange）插值法和牛顿（Newton）插值法。运用牛顿插值多项式，必须先计算出各阶差商，差商表通过逐步计算差商来完成。

埃尔米特（Hermite）插值方法：不仅要求插值多项式与被插函数在节点x k上的函数值相等，而且还要求指导k阶的导数值也相等。不仅通过所有点，而且在节点上有相同的切线。

分段（低次）插值：由于差分随着阶数的提高而增加得很快，龙格现象（Runge），高次插值不稳定，所以，采用分段低次插值。

三次样条插值函数：实际上是分段三次插值多项式，在整个区间上为二阶连续可导函数。

函数逼近：插值法是函数逼近的一种重要方法。函数逼近是在寻求一个构造简单、计算量小的函数来近似替代真实函数。

第五章数值积分与数值微分

数值积分：求积分表达式的数值解。由于f（x）的原函数F（x）不存在，或存在但过于复杂，所以，选取近似解。

积分的几何意义：求积分区间上的曲线函数f（x）下，面积的代数和大小。

面积可以用微分的小矩形和小梯形来求。

求积节点等距分布

牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式（梯形公式）n=1

辛普森（Simpson）公式（抛物线公式）n=2

复化求积公式：复化牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式和复化辛普森（Simpson）公式

龙贝格求积公式：进行简单的线性组合，加速

高斯求积公式：自由地选取积分节点，提高代数精度

高斯—勒让德求积公式(权函数=1)；高斯-切比雪夫；高斯-拉盖尔

数值微分方法：当函数f（x）用表格形式给出时，通常只能用近似方法求其节点上的导数值。

第九章常微分方程初值问题的数值解法

常微分方程：带有未知数导数的方程

一阶常微分方程初值问题

Euler方法

Runge-Kutta方法

预估校正公式（改进的Euler方法）：用Euler公式作为预估，梯形公式作为校正（又称线性多步法）

四级四阶经典Runge-Kutta公式