数学分析外微分运算

Poincare´ 引理 设 D 为 Rn 中的凸域, 则 D 中的闭形式必为恰当形式.
证明.
n
以 1−形式为例. 不妨设原点属于 D. 考虑 1−形式 ω = fi (x) dxi . 如果 ω = df , 则
i =1
根据 Newton-Leibniz 公式, 有
f (x) = f (0) +
1d 0 dt
这些 Maxwell 方程可以用微分形式来表示. 记 E = (E1, E2, E3), B = (B1, B2, B3), J = (J1, J2, J3). 再令 F = (E1 dx + E2 dy + E3 dz) ∧ dt + B1 dy ∧ dz + B2 dz ∧ dx + B3 dx ∧ dy ,
Maxwell 方程
在真空中, 电场和磁场分别记为 E, B, 它们满足以下 Maxwell 方程:
电场 Gauss 定律: ε0 divE = .
磁场 Gauss 定律: divB = 0.
Ampe` re-Maxwell
定律:
rotB
=
µ0J
+
1 c2
∂E ∂t
.
Maxwell 方程
在真空中, 电场和磁场分别记为 E, B, 它们满足以下 Maxwell 方程:
f (tx)
dt = f (0) +
1 n ∂f 0 i=1 ∂xi (tx )xi dt
1n
= f (0) +
1 M = c (E1 dy ∧ dz + E2 dz ∧ dx + E3 dx ∧ dy ) − c(B1 dx + B2 dy + B3 dz) ∧ dt, J = c(J1 dy ∧ dz + J2 dz ∧ dx + J3 dx ∧ dy ) ∧ dt − c dx ∧ dy ∧ dz.
Maxwell 方程
Maxwell 方程
这些 Maxwell 方程可以用微分形式来表示. 记 E = (E1, E2, E3), B = (B1, B2, B3), J = (J1, J2, J3). 再令 F = (E1 dx + E2 dy + E3 dz) ∧ dt + B1 dy ∧ dz + B2 dz ∧ dx + B3 dx ∧ dy ,
d2f
=
n i ,j =1
∂2f ∂xj ∂xi
dxj
∧ dxi
= 0.
对于 q−形式, 以 ω = f (x) dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq 为例, 此时 d2ω = d(df ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq ) = d2f ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq = 0.
将 q−形式变为 (q + 1)−形式的算子 d 称为外微分算子. 它具有以下性质: 设 ω, η 为 q−形式, λ, µ ∈ R, 则 d(λω + µη) = λdω + µdη. 设 f 为函数, ω 为 q−形式, 则 d(f ω) = df ∧ ω + f dω. 设 ω, η 分别为 p−形式和 q−形式, 则 d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)pω ∧ dη.
d2 = 0, 即 d(dω) = 0. 先考虑 0−形式. 设 f 为 Ck (k ≥ 2) 函数, 则
d2f
=
n i ,j =1
∂2f ∂xj ∂xi
dxj
∧ dxi
= 0.
外微分算子的基本性质
将 q−形式变为 (q + 1)−形式的算子 d 称为外微分算子. 它具有以下性质:
设 ω, η 为 q−形式, λ, µ ∈ R, 则 d(λω + µη) = λdω + µdη.
1 M = c (E1 dy ∧ dz + E2 dz ∧ dx + E3 dx ∧ dy ) − c(B1 dx + B2 dy + B3 dz) ∧ dt, J = c(J1 dy ∧ dz + J2 dz ∧ dx + J3 dx ∧ dy ) ∧ dt − c dx ∧ dy ∧ dz. 计算表明 Maxwell 方程可以写为 dF = 0, dM = −µ0J.
设 ω 为 Ck (k ≥ 1) 的 q−形式, 它可以表示为
我们定义
ω=
ωi1···iq dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq ,
1≤i1<···<iq ≤n
dω =
dωi1···iq ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq .
1≤i1<···<iq ≤n
外微分运算
为了方便起见, 我们将函数称为 0−形式. 我们知道, 给定可微函数 f , 它的全微分 df 为 1−形式. 从 f 得到 df 是一个求导的过程.
闭形式和恰当形式
பைடு நூலகம்
如果 dω = 0, 则称 ω 为闭形式; 如果 ω = dη, 则称 ω 为恰当形式. 由 d2 = 0 可 知恰当形式必为闭形式.
设 ω 为 1−形式, 则 ω 为恰当形式当且仅当 ω 为保守场, 即当且仅当 ω 沿任何 封闭路径的积分均为零.
作为例子, 考虑 R2 \ {(0, 0)} 中的 1−形式
设 f 为函数, ω 为 q−形式, 则 d(f ω) = df ∧ ω + f dω.
设 ω, η 分别为 p−形式和 q−形式, 则 d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)pω ∧ dη.
d2 = 0, 即 d(dω) = 0. 先考虑 0−形式. 设 f 为 Ck (k ≥ 2) 函数, 则
数学分析(二): 多元微积分
梅加强 副教授 南京大学数学系
内容提要:
6.4 外微分运算
内容提要: 外微分;
6.4 外微分运算
6.4 外微分运算
内容提要: 外微分; Maxwell 方程
6.4 外微分运算
内容提要: 外微分; Maxwell 方程 Poincare´ 引理;
6.4 外微分运算
设 R3 中 2−形式为 ω = P(x, y, z) dy ∧ dz + Q(x, y, z) dz ∧ dx + R(x, y, z) dx ∧ dy,
则 dω = (Px + Qy + Rz ) dx ∧ dy ∧ dz.
Maxwell 方程
在真空中, 电场和磁场分别记为 E, B, 它们满足以下 Maxwell 方程:
闭形式和恰当形式
如果 dω = 0, 则称 ω 为闭形式; 如果 ω = dη, 则称 ω 为恰当形式. 由 d2 = 0 可 知恰当形式必为闭形式.
闭形式和恰当形式
如果 dω = 0, 则称 ω 为闭形式; 如果 ω = dη, 则称 ω 为恰当形式. 由 d2 = 0 可 知恰当形式必为闭形式. 设 ω 为 1−形式, 则 ω 为恰当形式当且仅当 ω 为保守场, 即当且仅当 ω 沿任何 封闭路径的积分均为零.
外微分算子的基本性质
将 q−形式变为 (q + 1)−形式的算子 d 称为外微分算子. 它具有以下性质:
设 ω, η 为 q−形式, λ, µ ∈ R, 则 d(λω + µη) = λdω + µdη.
设 f 为函数, ω 为 q−形式, 则 d(f ω) = df ∧ ω + f dω.
设 ω, η 分别为 p−形式和 q−形式, 则 d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)pω ∧ dη.
电场 Gauss 定律: ε0 divE = .
磁场 Gauss 定律: divB = 0.
Ampe` re-Maxwell
定律:
rotB
=
µ0J
+
1 c2
∂E ∂t
.
Faraday
定律:
rotE
=
−
∂B ∂t
.
其中, 为电荷密度函数, J 为电流场. ε0, µ0 分别为真空电场常数和磁场常数, 且 ε0µ0 = 1/c2, 其中 c 为真空中的光速.
Maxwell 方程
在真空中, 电场和磁场分别记为 E, B, 它们满足以下 Maxwell 方程: 电场 Gauss 定律: ε0 divE = .
Maxwell 方程
在真空中, 电场和磁场分别记为 E, B, 它们满足以下 Maxwell 方程: 电场 Gauss 定律: ε0 divE = . 磁场 Gauss 定律: divB = 0.
设 ω = P(x, y, z) dx + Q(x, y , z) dy + R(x, y , z) dz 为 1−形式, 则 dω = dP ∧ dx + dQ ∧ dy + dR ∧ dz = (Ry − Qz ) dy ∧ dz + (Pz − Rx ) dz ∧ dx + (Qx − Py ) dx ∧ dy .
外微分算子的基本性质
将 q−形式变为 (q + 1)−形式的算子 d 称为外微分算子. 它具有以下性质: 设 ω, η 为 q−形式, λ, µ ∈ R, 则 d(λω + µη) = λdω + µdη. 设 f 为函数, ω 为 q−形式, 则 d(f ω) = df ∧ ω + f dω.
外微分算子的基本性质
电场 Gauss 定律: ε0 divE = .
磁场 Gauss 定律: divB = 0.
Ampe` re-Maxwell
定律:
rotB
=
µ0J
+
1 c2
∂E ∂t
.
Faraday
定律:
rotE
=
−
∂B ∂t
.
Maxwell 方程
在真空中, 电场和磁场分别记为 E, B, 它们满足以下 Maxwell 方程:
x
y
ω = x2 + y 2 dy − x2 + y 2 dx,
直接的计算表明 dω = 0, 即 ω 为闭形式. 但它不是恰当形式, 因为它沿单位圆周 的积分不等于零.
Poincare´ 引理
Poincare´ 引理 设 D 为 Rn 中的凸域, 则 D 中的闭形式必为恰当形式.
Poincare´ 引理
例子
设 ω = P(x, y ) dx + Q(x, y ) dy 为 R2 中的 1−形式, 则 dω = dP ∧ dx + dQ ∧ dy = (Px dx + Py dy ) ∧ dx + (Qx dx + Qy dy ) ∧ dy = (Qx − Py ) dx ∧ dy .
例子
设 ω = P(x, y ) dx + Q(x, y ) dy 为 R2 中的 1−形式, 则 dω = dP ∧ dx + dQ ∧ dy = (Px dx + Py dy ) ∧ dx + (Qx dx + Qy dy ) ∧ dy = (Qx − Py ) dx ∧ dy .
设 ω 为 Ck (k ≥ 1) 的 q−形式, 它可以表示为
ω=
ωi1···iq dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq ,
1≤i1<···<iq ≤n
我们定义
dω =
dωi1···iq ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq .
1≤i1<···<iq ≤n
显然, dω 为 (q + 1)−形式, 称为 ω 的 外微分. 注意, 当 q = n 时, 规定 dω = 0.
内容提要: 外微分; Maxwell 方程 Poincare´ 引理; de Rham 上同调群.
外微分运算
为了方便起见, 我们将函数称为 0−形式. 我们知道, 给定可微函数 f , 它的全微分 df 为 1−形式. 从 f 得到 df 是一个求导的过程.
外微分运算
为了方便起见, 我们将函数称为 0−形式. 我们知道, 给定可微函数 f , 它的全微分 df 为 1−形式. 从 f 得到 df 是一个求导的过程.
外微分算子的基本性质
将 q−形式变为 (q + 1)−形式的算子 d 称为外微分算子. 它具有以下性质:
外微分算子的基本性质
将 q−形式变为 (q + 1)−形式的算子 d 称为外微分算子. 它具有以下性质: 设 ω, η 为 q−形式, λ, µ ∈ R, 则 d(λω + µη) = λdω + µdη.
例子
设 ω = P(x, y ) dx + Q(x, y ) dy 为 R2 中的 1−形式, 则 dω = dP ∧ dx + dQ ∧ dy = (Px dx + Py dy ) ∧ dx + (Qx dx + Qy dy ) ∧ dy = (Qx − Py ) dx ∧ dy .
设 ω = P(x, y, z) dx + Q(x, y , z) dy + R(x, y , z) dz 为 1−形式, 则 dω = dP ∧ dx + dQ ∧ dy + dR ∧ dz = (Ry − Qz ) dy ∧ dz + (Pz − Rx ) dz ∧ dx + (Qx − Py ) dx ∧ dy .