数学分析知识点总结(微分方程)

2.7．微分方程初步2.7.1 概说涉及到量的变化率满足的制约关系，通常是含有导数的方程——微分方程。

简单例子：（1）放射性物质，在每一时刻t ，衰变的速率dm dt -（由于是减少，因此0dm dt<，速率为标量，是正值）正比于该放射性物质尚存的质量，因此质量应满足一下微分方程。

dmkm dt-= （2）质量为m 的物体自由落体，取坐标轴沿竖直方向指向地心，下落距离()y y t =应该满足牛顿第二定律F ma =，即22d ymg m dt=（3）质量为m 的跳伞员下落，所受空气阻力正比下降的速度，取坐标轴沿竖直方向指向地心，则t 时刻下降距离()y y t =满足22dy d y mg k m dt dt-=（1）如下图所示，钢球在以水平光滑杆上，受到弹力而来回整栋，原点位置为O ，钢球在t 时刻的坐标()x x t =满足微分方程()22d x kx m dt-=如果钢球还受到一个与速度成正比，方向与速度相反的阻尼力的作用，那么它所满足的微分方程是22dx d xkx h m dt dt--=总结：最简单的一阶微分方程是()dxf t dt= 其中t 是自变量，上述方程的一般解应该是()x f t dt C =+⎰最简单的n 阶方程()n nd xf t dt = 它等价于说11n n d xdt--是()f t 的原函数，即11()n n d xf t dt C dt --=+⎰则再次积分，一直积分下去得到111()(1)!n n n t x f t dt dt C C t C n --=++++-⎰⎰L L L2.7.2 一阶线性微分方程考察下面的方程()()dxa t xb t dt+= 方程中有未知函数的一阶导数，且其一阶导数的系数为常数，其余部分未知函数最高层次数为一次，称为线性，上述方程为一阶线性微分方程。

如果()0a t =，则称为一阶线性常微分方程。

试着求解上述方程，方程两端都乘以()a t dte ⎰，得到()()()()()a t dta t dt a t dt dxe a t e x b t e dt⎰⎰⎰+= 即为下面的形式()()()()a t dta t dta t dt d e dxe x b t e dt dt ⎛⎫⎰ ⎪⎝⎭⎰⎰+=即()()()a t dta t dt d xeb t e dt⎛⎫⎰ ⎪⎝⎭⎰=于是有()()()a t dta t dtxe b t e dt C ⎰⎰=+⎰那么有()()()a t dt a t dt x e b t e dt C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ 这就是一阶线性微分方程的一般解。

这个解法的关键部分是以()a t dte ⎰乘以方程两端。

简单的例子（1）质量为m 的跳伞员下落，所受空气阻力正比下降的速度，取坐标轴沿竖直方向指向地心，则t 时刻下降距离()y y t =满足22dy d y mg k m dt dt-=由于速度dyv dt=，因此方程化为 dv kv g dt m+= 方程两边同时乘以()kk dtt a t dtm me ee ⎰⎰==，则有k k k t t t mmm dv k ee v ge dt m+= 即有k t mk t m d ve ge dt⎛⎫ ⎪⎝⎭= 得到k k t t mm mg v ee C k -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即kk k t t t mm m mg mg v ee C Ce k k--⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 跳伞的初始速度为0，即0,0t v ==，则00t mgv C k ==+= 所以mgC k=-则跳伞速度为1k t mmg v e k -⎛⎫=- ⎪⎝⎭由于dyv dt=，因此有 1'k k t t m mmg mg m y vdt e dt t e C k k k --⎛⎫⎛⎫==-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰跳伞的初始位移为0，即0,0t y ==，则0'0t mg m y C k k =⎛⎫=+= ⎪⎝⎭则'mC k=-因此有1k t mmg m y t e k k -⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭自然界有一些量，它的减少正比于该量本身数值，这样的量x 应该满足一下的微分方程dxkx dt=- 即0dxkx dt+= 解这微分方程得到kt x Ce -=设0t =时x 的值为0x ，则有0C x =，量x 的变化规律为0kt x x e -=2.7.3 变量分离型微分方程先看一个简单的例子，考察一阶线性方程()dxa t x dt= 我们把这个方程改写为()dxa t dt x= 如果()x x t =是方程的解，那么它能使上式成为恒等式，两边求不定积分得 ()'dxa t dt C x =+⎰⎰因此得到 ln ||()'x a t dt C =+⎰()'a t dtC x e e ⎰=±⋅令'C C e =±，则得到()a t dtx Ce ⎰=因此我们可以得到结论，方程()dxa t x dt= 的一般解为()a t dtx Ce ⎰=（一般的变量分离型方程） 对于一般的变量分离型方程()()dxf tg x dt= 事实上，如果()0g x ≠，那么方程可以改写为()()dxf t dtg x = 再对两边求不定积分得到()()dxf t dt Cg x =+⎰⎰另外，如果有0x 能使得0()0g x =，那么常值函数0x x ≡也是原方程的解。

（经过换元后得到变量分离型方程）（1）考察方程dx x f dt t ⎛⎫= ⎪⎝⎭换元，引入新的未知数 xu t=我们得到 x ut =()dx d ut duu tdt dt dt ==+ 代入原方程得到 ()duu tf u dt+=()du f u udt t-=这又是一个变量分离型方程，我们有()du dtf u u t=-()du dtC f u u t=+-⎰⎰则有ln ||()dut C f u u=+-⎰（2）考察方程 dxx t f dt x t αβγδ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭ 变换方程x dxx t f g x dt t t αβγδ⎛⎫+ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭换元，令x u t= 我们得到 x ut =dx du u t dt dt=+ 代入原方程，我们有duu u tf dt u αβγδ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭这是一个分离变量型的方程，得到du dtt u f u u αβγδ=⎛⎫+- ⎪+⎝⎭ 两边取积分得到du dtC tu f u u αβγδ=+⎛⎫+-⎪+⎝⎭⎰⎰则得到ln ||dut C u f u u αβγδ=+⎛⎫+- ⎪+⎝⎭⎰（3）考察方程dxx t f dt x t αβλγδμ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭这个方程可以化成（2）中的形式，取0x 和0t 满足000000x t x t αβλγδμ++=⎧⎨++=⎩ 作如下变换 0x x t t ξτ=+⎧⎨=+⎩ 则有00()()d x dx d dt d t d ξξττ+==+ 00000000()()()()()()00x t x t x t f f f x t x t x t f f f αξβτλαξβταβλαβλγδμγξδτμγξδτγδμξαβαξβταξβττξγξδτγξδτγδτ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++== ⎪ ⎪ ⎪++++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫+++== ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭作换元，令u ξτ= 我们得到 u ξτ=d duu d d ξτττ=+ 代入原方程，我们有duu u f d u αβττγδ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭du d u f u u τταβγδ=⎛⎫+-⎪+⎝⎭du d C u f u u τταβγδ=+⎛⎫+- ⎪+⎝⎭⎰⎰ln ||duC u f u u ταβγδ=+⎛⎫+- ⎪+⎝⎭⎰求解方程后只要将值还原为还原前的值。

2.7.4 实变复值函数对于代数方程式，我们已经有过这样的经验：即使是实系数的代数方程，为了弄清楚它的根的状况，最好到更广泛的复数范围内加以讨论。

在处理微分方程的某些问题时，例如求解高阶常系数线性微分方程的时候也会遇到类似的问题：虽然是“实”的微分方程，所求的也是实解（实值函数解），但中间过程却需要在更广泛的复值函数范围内进行讨论。

本节为这一讨论做准备。

（1）复数与平面向量，复数序列的极限 我们把形状如 w u iv =+ 的数称为复数，这里1i =-是虚单位，而,u v 都是实数，分别称为实部和虚部，记为Re ,w u =Im w v =复数的加法和乘法定义如下：11221212()()()()u iv u iv u u i v v +++=+++ 11221212()()()()u iv u iv u u i v v +-+=-+-11221221121212122112()()()()u iv u iv u u iv u iv u v v u u v v i v u v u +⋅+=++-=-++1111221212122112121221222222222222222222()()()()()()u iv u iv u iv u u v v i v u v u u u v v v u v u i u iv u iv u iv u v u v u v ++-++-+-===+++-+++作除法时要求220u iv +≠，即22220u v +≠。

复数w u iv =+可以解释为平面直角坐标系中坐标为(,)u v 的点，这点的极坐标为(,)r θ，x ()y i Orθ(,)u v其中22r u v =+，cos u r θ=，sin vrθ= 我们把(cos sin )w r i θθ=+称为复数的极坐标表示，r 和θ分别称为复数的模和幅角，分别用符号||w 和Argw 表示。

采用这种表示来计算复数的乘方特别方便：(cos sin )n n w r n i n θθ=+证明：当1n =时明显成立，假设当n k =时成立，有(cos sin )k k w r k i k θθ=+则当1n k =+时，有[][]1111(cos sin )(cos sin )(cos sin )(cos sin )(cos cos sin sin )(cos sin sin cos )cos(1)sin(1)k k k k k k w w w r k i k r i r k i k i r k k i k k r k i k θθθθθθθθθθθθθθθθθθ++++=⋅=+⋅+=++=-++=+++所以对1n k =+也成立，故而有(cos sin )n n w r n i n θθ=+复数w u iv =+还可以解释为长为||w 方位角为Argw 的一个平面向量，多个复数之和就可以理解为多个平面向量之和。