数学分析知识点总结(微分方程)

2.7．微分方程初步

2.7.1 概说

涉及到量的变化率满足的制约关系，通常是含有导数的方程——微分方程。 简单例子：

（1）放射性物质，在每一时刻t ，衰变的速率dm dt -

（由于是减少，因此0dm dt

<，速率为标量，是正值）正比于该放射性物质尚存的质量，因此质量应满足一下微分方程。

dm

km dt

-

= （2）质量为m 的物体自由落体，取坐标轴沿竖直方向指向地心，下落距离()y y t =应该满足牛顿第二定律F ma =，即

22d y

mg m dt

=

（3）质量为m 的跳伞员下落，所受空气阻力正比下降的速度，取坐标轴沿竖直方向指向地心，则t 时刻下降距离()y y t =满足

22dy d y mg k m dt dt

-=

（1）如下图所示，钢球在以水平光滑杆上，受到弹力而来回整栋，原点位置为O ，钢球在

t 时刻的坐标()x x t =满足微分方程

()22d x kx m dt

-=

如果钢球还受到一个与速度成正比，方向与速度相反的阻尼力的作用，那么它所满足的微分方程是

22dx d x

kx h m dt dt

--=

总结：最简单的一阶微分方程是

()dx

f t dt

= 其中t 是自变量，上述方程的一般解应该是

()x f t dt C =+⎰

最简单的n 阶方程

()n n

d x

f t dt = 它等价于说11n n d x

dt

--是()f t 的原函数，即

11()n n d x

f t dt C dt --=+⎰

则再次积分，一直积分下去得到

1

11()(1)!

n n n t x f t dt dt C C t C n --=++++-⎰⎰

L L L

2.7.2 一阶线性微分方程

考察下面的方程

()()dx

a t x

b t dt

+= 方程中有未知函数的一阶导数，且其一阶导数的系数为常数，其余部分未知函数最高层次数为一次，称为线性，上述方程为一阶线性微分方程。如果()0a t =，则称为一阶线性常微分方程。

试着求解上述方程，方程两端都乘以()a t dt

e ⎰

，得到

()()()()()a t dt

a t dt a t dt dx

e a t e x b t e dt

⎰

⎰⎰

+= 即为下面的形式

()()()()a t dt

a t dt

a t dt d e dx

e x b t e dt dt ⎛⎫⎰ ⎪

⎝⎭⎰

⎰+=

即

()()()a t dt

a t dt d xe

b t e dt

⎛⎫⎰ ⎪

⎝⎭⎰=

于是有

()()()a t dt

a t dt

xe b t e dt C ⎰

⎰

=+⎰

那么有

()()()a t dt a t dt x e b t e dt C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪

⎝⎭

⎰ 这就是一阶线性微分方程的一般解。这个解法的关键部分是以()a t dt

e ⎰

乘以方程两端。

简单的例子

（1）质量为m 的跳伞员下落，所受空气阻力正比下降的速度，取坐标轴沿竖直方向指向地心，则t 时刻下降距离()y y t =满足

22dy d y mg k m dt dt

-=

由于速度dy

v dt

=

，因此方程化为 dv k

v g dt m

+= 方程两边同时乘以()k

k dt

t a t dt

m m

e e

e ⎰⎰

==，则有

k k k t t t m

m

m dv k e

e v ge dt m

+= 即有

k t m

k t m d ve ge dt

⎛⎫ ⎪⎝⎭= 得到

k k t t m

m mg v e

e C k -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

即

k

k k t t t m

m m mg mg v e

e C Ce k k

--⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 跳伞的初始速度为0，即0,0t v ==，则

00t mg

v C k ==

+= 所以

mg

C k

=-

则跳伞速度为

1k t m

mg v e k -⎛⎫=- ⎪⎝⎭

由于dy

v dt

=

，因此有 1'k k t t m m

mg mg m y vdt e dt t e C k k k --⎛⎫⎛⎫==-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎰⎰

跳伞的初始位移为0，即0,0t y ==，则

0'0t mg m y C k k =⎛⎫

=

+= ⎪⎝⎭

则

'm

C k

=-

因此有

1k t m

mg m y t e k k -⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭