第三章 人寿保险的精算现值
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bK 1 1, K m，m+ 1, m n 1
给付现值随机变量 0, K 0,1, 2， , m 1 Z K 1 v , K m，m+ 1, m n 1 趸缴净保费
m|
A
1 x: n |
E (Z )
m n 1 k m
趸缴净保费
Ax E ( Z ) v
k 0
k 1
k | qx v
k 0
k 1
k px qx k
例3.3
张某50岁时购买了一份保额为100 000元的终 身寿险。已知： x lx 1000 1 105 设预定利率为0.08 求这份保单的趸缴净保费。
（四）两全保险
两全保险是定期寿险与纯生存保险的组合 给付函数
bK 1 1, K 0,1, 2,
给付现值随机变量
趸缴净保费
v K 1 , K 0,1, , n 1 Z bK 1vK 1 n K n, n 1, v ,
1 x: n |
Ax:n | A
例3.2
某人在40岁时投保了3年期10 000元定期寿险， 保险金在死亡年末赔付。假设预定利率为5%， 以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993年， 男女混合表），计算趸缴净保费。
例3.2答案
1 10 000 A40:3| 10000 vq40 v 2 1| q40 v 3 2| q40
人寿保险给付上的两大特点
不确定性： 是否发生给付不确定 给付的时间不确定 给付发生在较长时间以后，其成本受利率 影响很大。
净保费的计算原理
收支平衡原理（精算等价原理）： 净保费的精算现值＝保险赔付的精算现值
它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下，收入 期望现时值等于支出期望现时值
（八）递减型寿险
给付函数
n k , k 0, 1, 2, , n 1 bk 1 , vk 1 v k 1 其他 0,
(n K ) v K 1 , K 0, 1, 2, , n 1 Z bK 1vK 1 0, 其他
趸缴净保费
年份 （1） 1 2 3 4 5
例3.1答案
100张保单的未来赔付支出总现值
1000 1.031 2000 1.032 3000 1.033 4000 1.03 5000 1.03 13468.48
4 5
平均每张保单的未来赔付现值（保单的精算现 值）为：134.68元。
k p x q x k Ax 1| Ax 2| Ax
n年定期
k 1 ( I A)1 ( k 1) v k px qx k x: n | k 0 1
n 1
Ax : n | 1| Ax : n1| n 1| Ax :1|
1 1
m|
Ax:n| v m p x Ax m:n| m E x Ax m:n|
（七）递增型寿险
终身寿险
bk 1 k 1, k 0, 1, 2,
K 1
k 1
Z ( K 1) v
k 0
, K 0, 1, 2,
( I A) x (k 1)v
主要险种
n年期定期寿险 终身寿险 n年期生存保险 n年期两全保险 延期m年的终身寿险 延期m年的n年定期寿险 递增终身寿险 递减n年定期寿险 一般变额寿险
例3.1
100个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险，死亡赔付在 死亡年年末。如果预定年利率为3%，各年预计的死亡人 数分别为1、2、3、4、5人。 每年的赔付支出及其折现值如表所示： 年内死亡人数 （2） 1 2 3 4 5 赔付支出 (3)=1000×(2) 1000 2000 3000 4000 5000 折现因子 (4) 1.03-1 1.03-2 1.03-3 1.03-4 1.03-5 赔付支出现值 (5)= (3) ×(4) 970.87 1885.19 2745.43 3553.95 4313.04
例3.3答案
100 000 A50 100 000 v k 1 k p50 q50 k
k 0 55 55
100 0001.08
k 0
( k 1)
55 k 1 55 55 k
56
1 1 100 000 1 1.08 1 55 1.08 1 1.08 22421.91(元)
趸缴净保费
v K 1 , K 0,1, , n 1 Z bK 1vK 1 K n, n 1, 0,
A
1 x: n|
E (Z ) v
k 0
n 1
k 1
k | q x v
k 0
n 1
k 1
k p x q xk
趸缴净保费的变形公式
10000 vq40 v 2 1| q40 v 3 2| q40 10000v 3 3 p40 1 1 1 10000 q40 p40 q41 p40 p41q42 2 3 (1 i ) (1 i ) 1 i 1 10000 p40 p41 p42 3 (1 i ) 49.28 8591.34 8640.62(元)
1 x: n |
lx A
v
k 0
n 1
k 1
d xk
思考：该公式的含义？
自然保费 1 A 即 x: n| 中n=1的趸缴净保费.
1 dx c x vq x 1 i lx
是根据每一保险年度，每一被保险人当年年龄 的预定死亡率计算出的该年度的死亡纯保费。 随着年龄的增长而提高,即年龄越大，自然保费就 越高。在寿险实务中,一般不采用这种方式。
bk 1 v bk 1 v
k k k k 1
k | qx k px qx k
k 1
K的不同上下限，对应着不同的险种
（一）n年定期寿险
给付函数
1, K 0,1, , n 1 bK 1 0, K n, n 1,
保险金给付在签单时的现值随机变量
（三） n年期生存保险
被保险人生存至n年期满时,保险人在第n年末支 付保险金. 只有一个因素不确定:是否给付保险金,而保险金 给付的时间和数量可以预先确定. 保险金给付相当于一个二项分布:即在n年末只有 只有两种可能,要么给付1,要么不给付,且给付的 概率为 n p x .
给付函数:
0, K 0,1, , n 1 bK 1 1, K n, n 1,
k 0
k 1
k | qx
例3.5
对一份3年期变额寿险，各年的死亡赔付额和死亡概 率如下表所示： bk+1 300 000 350 000 400 000 qk+1 0.02 0.04 0.06
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k 0 1 2
假设预定利率为6%，计算这一保单的精算现值。
例3.5答案
A
1 x: n |
v
k 0
n 1
k 1
k | qx v n px
n
例3.4
某人在40岁时投保了3年期10 000元两全寿险， 保险金在死亡年末赔付。假设预定利率为5%， 以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993年， 男女混合表），计算趸缴净保费。
例3.4答案
1 1 10 000 A40:3| 10 000 A40:3| 10 000 A40:3|
v
k 1
k | qx A
1 x: m n |
A
1 x: m |
几个关系式
m|
m|
Ax v m p x Ax m m E x Ax m
m
A
1 x: n |
v m px A
m m
1 x m: n|
m Ex A
1 x m: n|
第三章
人寿保险的 精算现值
本章结构
离散型寿险的精算现值
人寿保险的 精算现值
连续型寿险的精算现值 两类寿险精算现值之间的关系
本章学习目标
理解寿险精算现值的含义 熟悉离散型各险种寿险精算现值的计 算公式 熟练使用换算函数计算离散型各险种 的寿险精算现值 掌握离散型、连续型寿险精算现值之 间的关系
（五）延期m年终身寿险
保险金在被保险人投保m年后，发生保险责任范 围内的死亡给付保险金。 , m 1 0, K 0,1, 2， 给付函数 bK 1 1, K m，m+ 1 给付现值随机变量
, m 1 0, K 0,1, 2， Z K 1 v , K m，m+ 1
趸缴净保费
k 1 1 A E ( Z ) v q A A k| x x x:m| m| x k m
（六）延期m年的n年定期寿险
保险金在被保险人投保m年后的n年内，发生保 险责任范围内的死亡给付保险金。 给付函数 0, K 0,1, 2， , m 1
精算现值（包含两层含义）：
保险赔付在投保时的期望现值 把所有可能的赔付先折现到保单签发时刻，然后再求期 望值 精算现值=趸缴净保费
由于赔付的不确定性源于人的死亡不确定，所以， 以连续型（离散型）未来寿命为随机变量，来求期 望值。
第一节 离散型寿险 的趸缴净保费
本节的主要目标
理解趸缴净保费的计算公式并熟练应用 掌握用换算函数计算各类离散型寿险趸缴净 保费
保费的分类-按保费缴纳的方式
趸缴保费（一次性缴纳保费） 自然保费 (根据当年保险赔付成本确定的保 费，年龄越大，缴纳的越多) 均衡保费（定期缴纳保费）
人寿保险给付方式的分类
分为：连续型寿险和离散型寿险 连续型寿险：保险金在死亡后立即赔付，以连续 型未来寿命T(x)作为随机变量来计算期望值 离散型寿险：保险金在死亡的年末赔付，以离散 型未来寿命K(x)作为随机变量来计算期望值 实务中，多采用连续给付的方式（被保人死亡到 保险金的赔付时间很短，计算时，把被保险人的 死亡和保险金的给付看作在同一时间发生，即认 为是立即赔付）
1 x: n |
给付现值随机变量
( DA)
( n k )v
k 0
n 1
k 1
k px qx k A A
1 x:1|
1 x:2|
A
1 x: n |
一般变额寿险
给付现值随机变量
Z bK 1v
K 1
K 0,1, 2,
趸缴净保费
E ( Z ) bk 1 v
1 1 1 10000 q40 p40 q41 p40 p41q42 2 3 (1 i ) (1 i ) 1 i 49.28(元)
（二）终身寿险
给付函数
bK 1 1, K 0,1, 2，
K 1
给付现值随机变量
Z bK 1vK 1 v ， K 0,1, 2，
给付现值随机变量 0, K 0,1, , n 1 K 1 Z bK 1v n v , K n, n 1, 趸缴净保费
A
1 x: n |
m Ex E (Z ) v
k n
n k|
qx
n 1 n n n v 1 k | q x v 1 k q x v n p x k 0
基本符号
K ( x) k —— x 岁投保的人整值剩余寿命 bk+1——保险金在死亡年末给付函数 vk+1 ——贴现函数 zk+1 ——保险赔付金在签单时的现时值
z k 1 bk 1 v k 1
E(ZK+1) ——寿险的精算现值（趸缴净保费）
计算原理 k 1 E ( Z ) bk 1 v Pr( K k )
给付现值随机变量 0, K 0,1, 2， , m 1 Z K 1 v , K m，m+ 1, m n 1 趸缴净保费
m|
A
1 x: n |
E (Z )
m n 1 k m
趸缴净保费
Ax E ( Z ) v
k 0
k 1
k | qx v
k 0
k 1
k px qx k
例3.3
张某50岁时购买了一份保额为100 000元的终 身寿险。已知： x lx 1000 1 105 设预定利率为0.08 求这份保单的趸缴净保费。
（四）两全保险
两全保险是定期寿险与纯生存保险的组合 给付函数
bK 1 1, K 0,1, 2,
给付现值随机变量
趸缴净保费
v K 1 , K 0,1, , n 1 Z bK 1vK 1 n K n, n 1, v ,
1 x: n |
Ax:n | A
例3.2
某人在40岁时投保了3年期10 000元定期寿险， 保险金在死亡年末赔付。假设预定利率为5%， 以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993年， 男女混合表），计算趸缴净保费。
例3.2答案
1 10 000 A40:3| 10000 vq40 v 2 1| q40 v 3 2| q40
人寿保险给付上的两大特点
不确定性： 是否发生给付不确定 给付的时间不确定 给付发生在较长时间以后，其成本受利率 影响很大。
净保费的计算原理
收支平衡原理（精算等价原理）： 净保费的精算现值＝保险赔付的精算现值
它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下，收入 期望现时值等于支出期望现时值
（八）递减型寿险
给付函数
n k , k 0, 1, 2, , n 1 bk 1 , vk 1 v k 1 其他 0,
(n K ) v K 1 , K 0, 1, 2, , n 1 Z bK 1vK 1 0, 其他
趸缴净保费
年份 （1） 1 2 3 4 5
例3.1答案
100张保单的未来赔付支出总现值
1000 1.031 2000 1.032 3000 1.033 4000 1.03 5000 1.03 13468.48
4 5
平均每张保单的未来赔付现值（保单的精算现 值）为：134.68元。
k p x q x k Ax 1| Ax 2| Ax
n年定期
k 1 ( I A)1 ( k 1) v k px qx k x: n | k 0 1
n 1
Ax : n | 1| Ax : n1| n 1| Ax :1|
1 1
m|
Ax:n| v m p x Ax m:n| m E x Ax m:n|
（七）递增型寿险
终身寿险
bk 1 k 1, k 0, 1, 2,
K 1
k 1
Z ( K 1) v
k 0
, K 0, 1, 2,
( I A) x (k 1)v
主要险种
n年期定期寿险 终身寿险 n年期生存保险 n年期两全保险 延期m年的终身寿险 延期m年的n年定期寿险 递增终身寿险 递减n年定期寿险 一般变额寿险
例3.1
100个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险，死亡赔付在 死亡年年末。如果预定年利率为3%，各年预计的死亡人 数分别为1、2、3、4、5人。 每年的赔付支出及其折现值如表所示： 年内死亡人数 （2） 1 2 3 4 5 赔付支出 (3)=1000×(2) 1000 2000 3000 4000 5000 折现因子 (4) 1.03-1 1.03-2 1.03-3 1.03-4 1.03-5 赔付支出现值 (5)= (3) ×(4) 970.87 1885.19 2745.43 3553.95 4313.04
例3.3答案
100 000 A50 100 000 v k 1 k p50 q50 k
k 0 55 55
100 0001.08
k 0
( k 1)
55 k 1 55 55 k
56
1 1 100 000 1 1.08 1 55 1.08 1 1.08 22421.91(元)
趸缴净保费
v K 1 , K 0,1, , n 1 Z bK 1vK 1 K n, n 1, 0,
A
1 x: n|
E (Z ) v
k 0
n 1
k 1
k | q x v
k 0
n 1
k 1
k p x q xk
趸缴净保费的变形公式
10000 vq40 v 2 1| q40 v 3 2| q40 10000v 3 3 p40 1 1 1 10000 q40 p40 q41 p40 p41q42 2 3 (1 i ) (1 i ) 1 i 1 10000 p40 p41 p42 3 (1 i ) 49.28 8591.34 8640.62(元)
1 x: n |
lx A
v
k 0
n 1
k 1
d xk
思考：该公式的含义？
自然保费 1 A 即 x: n| 中n=1的趸缴净保费.
1 dx c x vq x 1 i lx
是根据每一保险年度，每一被保险人当年年龄 的预定死亡率计算出的该年度的死亡纯保费。 随着年龄的增长而提高,即年龄越大，自然保费就 越高。在寿险实务中,一般不采用这种方式。
bk 1 v bk 1 v
k k k k 1
k | qx k px qx k
k 1
K的不同上下限，对应着不同的险种
（一）n年定期寿险
给付函数
1, K 0,1, , n 1 bK 1 0, K n, n 1,
保险金给付在签单时的现值随机变量
（三） n年期生存保险
被保险人生存至n年期满时,保险人在第n年末支 付保险金. 只有一个因素不确定:是否给付保险金,而保险金 给付的时间和数量可以预先确定. 保险金给付相当于一个二项分布:即在n年末只有 只有两种可能,要么给付1,要么不给付,且给付的 概率为 n p x .
给付函数:
0, K 0,1, , n 1 bK 1 1, K n, n 1,
k 0
k 1
k | qx
例3.5
对一份3年期变额寿险，各年的死亡赔付额和死亡概 率如下表所示： bk+1 300 000 350 000 400 000 qk+1 0.02 0.04 0.06
Βιβλιοθήκη Baidu
k 0 1 2
假设预定利率为6%，计算这一保单的精算现值。
例3.5答案
A
1 x: n |
v
k 0
n 1
k 1
k | qx v n px
n
例3.4
某人在40岁时投保了3年期10 000元两全寿险， 保险金在死亡年末赔付。假设预定利率为5%， 以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993年， 男女混合表），计算趸缴净保费。
例3.4答案
1 1 10 000 A40:3| 10 000 A40:3| 10 000 A40:3|
v
k 1
k | qx A
1 x: m n |
A
1 x: m |
几个关系式
m|
m|
Ax v m p x Ax m m E x Ax m
m
A
1 x: n |
v m px A
m m
1 x m: n|
m Ex A
1 x m: n|
第三章
人寿保险的 精算现值
本章结构
离散型寿险的精算现值
人寿保险的 精算现值
连续型寿险的精算现值 两类寿险精算现值之间的关系
本章学习目标
理解寿险精算现值的含义 熟悉离散型各险种寿险精算现值的计 算公式 熟练使用换算函数计算离散型各险种 的寿险精算现值 掌握离散型、连续型寿险精算现值之 间的关系
（五）延期m年终身寿险
保险金在被保险人投保m年后，发生保险责任范 围内的死亡给付保险金。 , m 1 0, K 0,1, 2， 给付函数 bK 1 1, K m，m+ 1 给付现值随机变量
, m 1 0, K 0,1, 2， Z K 1 v , K m，m+ 1
趸缴净保费
k 1 1 A E ( Z ) v q A A k| x x x:m| m| x k m
（六）延期m年的n年定期寿险
保险金在被保险人投保m年后的n年内，发生保 险责任范围内的死亡给付保险金。 给付函数 0, K 0,1, 2， , m 1
精算现值（包含两层含义）：
保险赔付在投保时的期望现值 把所有可能的赔付先折现到保单签发时刻，然后再求期 望值 精算现值=趸缴净保费
由于赔付的不确定性源于人的死亡不确定，所以， 以连续型（离散型）未来寿命为随机变量，来求期 望值。
第一节 离散型寿险 的趸缴净保费
本节的主要目标
理解趸缴净保费的计算公式并熟练应用 掌握用换算函数计算各类离散型寿险趸缴净 保费
保费的分类-按保费缴纳的方式
趸缴保费（一次性缴纳保费） 自然保费 (根据当年保险赔付成本确定的保 费，年龄越大，缴纳的越多) 均衡保费（定期缴纳保费）
人寿保险给付方式的分类
分为：连续型寿险和离散型寿险 连续型寿险：保险金在死亡后立即赔付，以连续 型未来寿命T(x)作为随机变量来计算期望值 离散型寿险：保险金在死亡的年末赔付，以离散 型未来寿命K(x)作为随机变量来计算期望值 实务中，多采用连续给付的方式（被保人死亡到 保险金的赔付时间很短，计算时，把被保险人的 死亡和保险金的给付看作在同一时间发生，即认 为是立即赔付）
1 x: n |
给付现值随机变量
( DA)
( n k )v
k 0
n 1
k 1
k px qx k A A
1 x:1|
1 x:2|
A
1 x: n |
一般变额寿险
给付现值随机变量
Z bK 1v
K 1
K 0,1, 2,
趸缴净保费
E ( Z ) bk 1 v
1 1 1 10000 q40 p40 q41 p40 p41q42 2 3 (1 i ) (1 i ) 1 i 49.28(元)
（二）终身寿险
给付函数
bK 1 1, K 0,1, 2，
K 1
给付现值随机变量
Z bK 1vK 1 v ， K 0,1, 2，
给付现值随机变量 0, K 0,1, , n 1 K 1 Z bK 1v n v , K n, n 1, 趸缴净保费
A
1 x: n |
m Ex E (Z ) v
k n
n k|
qx
n 1 n n n v 1 k | q x v 1 k q x v n p x k 0
基本符号
K ( x) k —— x 岁投保的人整值剩余寿命 bk+1——保险金在死亡年末给付函数 vk+1 ——贴现函数 zk+1 ——保险赔付金在签单时的现时值
z k 1 bk 1 v k 1
E(ZK+1) ——寿险的精算现值（趸缴净保费）
计算原理 k 1 E ( Z ) bk 1 v Pr( K k )