R语言 非平稳序列的随机分析
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.
ARIMA 模型族
d=0 ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)
p=0 ARIMA(p,d,q)=IMA(d,q)
q=0 ARIMA(p,d,q)=ARI(p,d)
d=1,P=q=0 ARIMA(p,d,q)=ra.ndom walk model
随机游走模型( random walk)
E[et(l)]0
Va[etr(l)](112l21)2
.
例：
已知ARIMA(1,1,1)模型为
( 1 0 .8 B )1 (B )x t ( 1 0 .6 B )t
且
xt1 4.5
xt 5.3
t 0.8
2
1
x 求 t 3 的95％的置信区间
.
预测值
等价形式
(11.8B0.8B 2)xt(10.6B )t xt1.8xt 10.8xt 2t0.6t 1
ARIMA(0,1,0)时序图
.
ARIMA模型建模步骤
获
得 观 察 值 序
平ຫໍສະໝຸດ Baidu性 检验
N
Y 白噪声 检验
N
Y分 析 结 束
列 差分 运算
拟合
ARMA 模型
.
例:对1952-1988年中国农业实际国民收入指数序 列建模
.
一阶差分序列时序图
.
一阶差分序列自相关图
.
一阶差分后序列白噪声检验
延迟阶数 6 12 18
如果只是移动平滑部分有省缺系数，那么该疏系数模型可 以简记为 AR(Ip,d M ,(q1,A ,qn))
q1, ,qn 为非零移动平均系数的阶数
如果自相关和移动平滑部分都有省缺，可以简记为
AR (p ( 1 I , M ,p m )d ,A (q 1 , ,q n ))
.
例：对1917年－1975年美国23岁妇女每万人生育 率序列建模
22
二阶差分（过差分）
平稳
2xt xt xt1 at 2at1 at2
方差大
Va (r2xt)Va (atr2at1at2)
62
.
二、ARIMA模型
（一）ARIMA模型介绍 （二）疏系数模型 （三）季节模型
.
ARIMA模型结构
使用场合：差分平稳序列拟合 模型结构
E((Bt))d0x， t Va((Br)t)t2,E(ts)0,st Esxt 0,st
95％置信区间
(x ˆt(3 ) 1.96 V(a e(3 )r),x ˆt(3 ) 1.96 V(a e(3 )r)) (1.6,9 3 .7)5
.
例续：对中国农业实际国民收入指数序列 做为期10年的预测
.
（二）疏系数模型
ARIMA(p,d,q)模型是指d阶差分后自相关最高阶数为p，移 动平均最高阶数为q的模型，通常它包含p+q个独立的未知
模型结构
xt xt1t E(t)0， Va(rt)2,E(ts)0,st Esxt 0,st
模型产生典故
Karl Pearson(1905)在《自然》杂志上提问：假如有个醉汉醉 得非常严重，完全丧失方向感，把他放在荒郊野外，一段时 间之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？
.
ARIMA模型的性质
Cramer分解定理在理论上保证了适当阶数的差分一定可以 充分提取确定性信息
差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方法 差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息
d
dxt (1B)dxt (1)iC d ixti i0
.
差分方式的选择
• 序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋势平稳
.
12步差分
1阶－12步差分
.
过差分
足够多次的差分运算可以充分地提取原序列中的非平稳确 定性信息
但过度的差分会造成有用信息的浪费
.
例:
假设序列如下
xt 01tat
考察一阶差分后序列和二阶差分序列的平稳性与方差
.
比较
一阶差分
平稳
xt xt xt1
1 at at1
方差小 Va( rxt)Va(art at1)
2统计量 15.33 18.33 24.66
P值 0.0178 0.1060 0.1344
.
拟合ARMA模型
偏自相关图
.
建模
.
课后问题
用R拟合以下三个模型的区别，三个模型的表达式分别是 什么形式？
arima(x,order=c(1,1,0)) arima(diff(x),order=c(1,0,0)) arima(x,order=c(1,1,0),xreg=1:length(x))
.
ARIMA模型预测
原则 最小均方误差预测原理 Green函数递推公式
1 1 1 2 11 2 2
j 1 j1 pd jpd j
.
预测值
x t l (t l 1 t l 1 l 1 t 1 ) (lt l 1 t 1 )
et (l)
xˆt (l )
系数：1,,p,1,,q
如果该模型中有部分自相关系数 j,1 j p 或部分移动平 滑系数 k,1kq为零，即原模型中有部分系数省缺了， 那么该模型称为疏系数模型。
.
疏系数模型类型
如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以 简记为 AR(Ip (1M ,,pA m )d ,,q)
p1, , pm 为非零自相关系数的阶数
第五讲 非平稳序列的随机分析
.
本讲内容
.
本讲内容
.
Cramer分解定理（1961）
任何一个时间序列{ x t }都可以分解为两部分的叠加：其中
一部分是由多项式决定的确定性趋势成分，另一部分是平 稳的零均值误差成分，即
xt t t
d
jt j
j0
确定性影响
.
(B)at
随机性影响
差分运算的实质
计算预测值
xˆt(1)1.8xt 0.8xt10.6t 5.46
xˆt(2)1.8xˆt(1)0.8xt 5.59 xˆt(3)1.8xˆt(2)0.8xˆt(1)5.69
.
计算置信区间
Green函数值
12
1.80.61.2
1.81 0.81.36
方差
V[e a (3 )r ](1 1 2 2 2)24 .2896
原序列时序图
差分后序列时序图
.
• 序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或三阶）差分就可 以提取出曲线趋势的影响
.
差分后序列时序图
一阶差分
二阶差分
.
例：差分运算提取1995年1月—2000年12月平均每 头奶牛的月产奶量序列中的确定性信息 • 对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度的差分运 算，通常可以较好地提取周期信息
ARIMA 模型族
d=0 ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)
p=0 ARIMA(p,d,q)=IMA(d,q)
q=0 ARIMA(p,d,q)=ARI(p,d)
d=1,P=q=0 ARIMA(p,d,q)=ra.ndom walk model
随机游走模型( random walk)
E[et(l)]0
Va[etr(l)](112l21)2
.
例：
已知ARIMA(1,1,1)模型为
( 1 0 .8 B )1 (B )x t ( 1 0 .6 B )t
且
xt1 4.5
xt 5.3
t 0.8
2
1
x 求 t 3 的95％的置信区间
.
预测值
等价形式
(11.8B0.8B 2)xt(10.6B )t xt1.8xt 10.8xt 2t0.6t 1
ARIMA(0,1,0)时序图
.
ARIMA模型建模步骤
获
得 观 察 值 序
平ຫໍສະໝຸດ Baidu性 检验
N
Y 白噪声 检验
N
Y分 析 结 束
列 差分 运算
拟合
ARMA 模型
.
例:对1952-1988年中国农业实际国民收入指数序 列建模
.
一阶差分序列时序图
.
一阶差分序列自相关图
.
一阶差分后序列白噪声检验
延迟阶数 6 12 18
如果只是移动平滑部分有省缺系数，那么该疏系数模型可 以简记为 AR(Ip,d M ,(q1,A ,qn))
q1, ,qn 为非零移动平均系数的阶数
如果自相关和移动平滑部分都有省缺，可以简记为
AR (p ( 1 I , M ,p m )d ,A (q 1 , ,q n ))
.
例：对1917年－1975年美国23岁妇女每万人生育 率序列建模
22
二阶差分（过差分）
平稳
2xt xt xt1 at 2at1 at2
方差大
Va (r2xt)Va (atr2at1at2)
62
.
二、ARIMA模型
（一）ARIMA模型介绍 （二）疏系数模型 （三）季节模型
.
ARIMA模型结构
使用场合：差分平稳序列拟合 模型结构
E((Bt))d0x， t Va((Br)t)t2,E(ts)0,st Esxt 0,st
95％置信区间
(x ˆt(3 ) 1.96 V(a e(3 )r),x ˆt(3 ) 1.96 V(a e(3 )r)) (1.6,9 3 .7)5
.
例续：对中国农业实际国民收入指数序列 做为期10年的预测
.
（二）疏系数模型
ARIMA(p,d,q)模型是指d阶差分后自相关最高阶数为p，移 动平均最高阶数为q的模型，通常它包含p+q个独立的未知
模型结构
xt xt1t E(t)0， Va(rt)2,E(ts)0,st Esxt 0,st
模型产生典故
Karl Pearson(1905)在《自然》杂志上提问：假如有个醉汉醉 得非常严重，完全丧失方向感，把他放在荒郊野外，一段时 间之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？
.
ARIMA模型的性质
Cramer分解定理在理论上保证了适当阶数的差分一定可以 充分提取确定性信息
差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方法 差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息
d
dxt (1B)dxt (1)iC d ixti i0
.
差分方式的选择
• 序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋势平稳
.
12步差分
1阶－12步差分
.
过差分
足够多次的差分运算可以充分地提取原序列中的非平稳确 定性信息
但过度的差分会造成有用信息的浪费
.
例:
假设序列如下
xt 01tat
考察一阶差分后序列和二阶差分序列的平稳性与方差
.
比较
一阶差分
平稳
xt xt xt1
1 at at1
方差小 Va( rxt)Va(art at1)
2统计量 15.33 18.33 24.66
P值 0.0178 0.1060 0.1344
.
拟合ARMA模型
偏自相关图
.
建模
.
课后问题
用R拟合以下三个模型的区别，三个模型的表达式分别是 什么形式？
arima(x,order=c(1,1,0)) arima(diff(x),order=c(1,0,0)) arima(x,order=c(1,1,0),xreg=1:length(x))
.
ARIMA模型预测
原则 最小均方误差预测原理 Green函数递推公式
1 1 1 2 11 2 2
j 1 j1 pd jpd j
.
预测值
x t l (t l 1 t l 1 l 1 t 1 ) (lt l 1 t 1 )
et (l)
xˆt (l )
系数：1,,p,1,,q
如果该模型中有部分自相关系数 j,1 j p 或部分移动平 滑系数 k,1kq为零，即原模型中有部分系数省缺了， 那么该模型称为疏系数模型。
.
疏系数模型类型
如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以 简记为 AR(Ip (1M ,,pA m )d ,,q)
p1, , pm 为非零自相关系数的阶数
第五讲 非平稳序列的随机分析
.
本讲内容
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本讲内容
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Cramer分解定理（1961）
任何一个时间序列{ x t }都可以分解为两部分的叠加：其中
一部分是由多项式决定的确定性趋势成分，另一部分是平 稳的零均值误差成分，即
xt t t
d
jt j
j0
确定性影响
.
(B)at
随机性影响
差分运算的实质
计算预测值
xˆt(1)1.8xt 0.8xt10.6t 5.46
xˆt(2)1.8xˆt(1)0.8xt 5.59 xˆt(3)1.8xˆt(2)0.8xˆt(1)5.69
.
计算置信区间
Green函数值
12
1.80.61.2
1.81 0.81.36
方差
V[e a (3 )r ](1 1 2 2 2)24 .2896
原序列时序图
差分后序列时序图
.
• 序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或三阶）差分就可 以提取出曲线趋势的影响
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差分后序列时序图
一阶差分
二阶差分
.
例：差分运算提取1995年1月—2000年12月平均每 头奶牛的月产奶量序列中的确定性信息 • 对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度的差分运 算，通常可以较好地提取周期信息