概率论与数理统计第3讲

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其中
1 类元素 (小球 ) 有 r 个, 另 1 类元 素 (隔板 ) 有 n − 1 个, 所以由不尽相异 元素的排列模式知, 一共有 (������������ + ������������ − 1)! ������������−1 ������������ = ������������������������+������������−1 = ������������������������+������������−1 ������������! ������������ − 1 ! 种不同分法. 因此 ������������−1 Ω = ������������������������+������������−1 (1) ������������ = 1 ������������ (2) ������������ = ������������������������ ������������−������������ (3) ������������ = ������������������������−������������+������������−1−1
P n! C = = k ! (n − k )!k !
k n
k n
n C 有时记作 , 称为组合系数. k
k n
P = C k !
k n k n
14
(3)(互异元素有编号分组)将n个不同元 素分为k组, 各组元素数目分别为 r1,r2,,rk(r1+r2++rk=n), 则分法的总数为 C C
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例1 一个袋子中装有10个大小相同的球, 其中3个黑球, 7个白球, 求 (1) 从袋子中任取一球, 这个球是黑球的 概率; (2) 从袋子中任取两球, 刚好一个白球一 个黑球的概率以及两个球全是黑球的概 率.
30
解 (1)10 个球中任取一个, 共有C = 10种
1 10
取法, 10 个球中有 3 个黑球, 取到黑球的 1 取法共有 C3 = 3 种 , 从而根据古典概率计 算, 事件 A:“取到的球为黑球”的概率为 1 C3 3 P (= A) = 1 C10 10
0 n 0 n 1 n 2 n n n n
0 ② C − C + C − + (−1) C =
1 n 2 n n n n
③ C
k m+n
= ∑C C
i =0 i m
k
k −i n
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r
个不同的球任意放入编号为 1 至 n 的 n 个盒子,每球入各盒均等可能,求下 列事件的概率 (1) A={指定的 r 个盒子各含一个球} (2) B={每盒至多有一球} (3) C={某指定盒中恰有 m 个球}
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解:
٠(1) ������������ (2) ������������ (3) ������������
= ������������ = ������������! ������������ = ������������������������ � ������������! ������������ = ������������������������ ������������ − 1
= 1 P = ( S ) P ( = Ai )
i =1 n
(A ) ∑ P=
i =1 i
n
nP ( Ai )
9
1 P ( S ) P ( Ai ) = = =
i =1
n
(A ) ∑ P=
i =1 i
n
nP ( Ai )
于是
1 P( A = = , i 1, 2,, n i) n
在古典概型的假设下, 推导事件概率的计 算公式, 设事件A包含其样本空间S中的k 个基本事件, 即
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n 个不同的元素中, 不放回地取 r 个 组成的组合,种数为
n! C = r !( n − r )!
r n

n 个不同的元素中 , 有放回地取 r 个 组成的组合 (不考虑顺序),种数为
C
r n + r −1
(n + r − 1)! = r !(n − r )!
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(3) 二项式公式
2 ① C + C + C + C =
4
引例 一个纸桶中装有10个大小, 形状完 全相同的球. 将球编号为1-10. 把球搅匀, 蒙上眼睛从中任取一球.
7 4 8 6 1 2 10 9 5
5
来自百度文库
3
因为抽取时这些球被抽到的可能性是完 全平等的, 所以我们没有理由认为这10 个球中的某一个会比另一个更容易抽得.
7 4 8 6 1 2 10 9 5
2
习题总结: 假设有一个非常复杂的事件运 算表达式, 我们用记号♣表示, 而另一个 非常复杂的事件运算表达式, 我们用记号 ♠表示, 如果一道题能够给出或者推导出 关系式 ♣=♠ 则必有下面两式同时成立: ♣♠=♣+♠= S ♣♠=♣♠= ∅
3
§1.3 古典概型与几何概型
本节讨论两类比较简单的随机试验, 随机试验的每个样本点的出现是等 可能的情形.
1
习题 1-1 第 7 题 设 A、B 为两个事件, 若 AB = A B , 问 A 和 B 有什么关系.
= AB = A + B , 就是说 AB 与 A+B 解 因为 AB
为对立事件, 则根据对立事件的性质有 AB(A+B)=∅ (1) 和 AB+(A+B)=S (2) 由(1)得 ABA+ABB=AB+AB=AB=∅, 由(2)得 AB+A+B=A+B=S, 因此 A 与 B 为对立事件, 即 A = B .
6
3
也就是说, 这10个球中的任一个被抽取的 可能性均为1/10. 设i表示取到第i号球, i=1,2,,10. 则该试 验的样本空间S={1,2,,10}, 且每个样本 点(基本事件){i}(i=1,2,,10)出现的可能 性相同. 这样一类随机试验是一类最简单的概率 模型, 它曾经是概率论发展初期主要的研 究对象.
������������
������������−������������
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又若球是相同的,则在这里
, r 个球是 相同的 , n 个盒子是互不相同的 . 因此 我们只需要关心各个盒子中的球数 , 而 无需考虑哪个球落在哪个盒子中. 我们 可把问题设想为:r 个相同的小球已经 一字排开 , 只须在它们之间加上 n − 1 块隔板, 把它们隔为 n 段, 然后让各段 对号放入相应的盒子即可 . 由于盒子可 空, 相当于要将 r + n − 1 个不尽相异的 元素进行排列,
习题讲解 在做题的时候用+来代替事件和的符号, 而事件积的符号则不写以代替乘积是方 便的, 这个时候有规律 A +A = S, A(B+C)=AB+AC, 等等. 并记住对于任何一个事件A, 都成立 A+S=S, AS=A, AA=∅ 其中S为基本空间或必然事件. A与B是对立事件的定义(充要条件)就是 A+B=S和AB=∅都成立.
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(2) 10 个球中任取两球的取法有C 种, 其 中刚好一个白球一个黑球的取法有C C
1 3 2 3 1 7
2 10
种取法 , 两个球均是黑球的取法有 C 种 , 记 B 为事件“刚好取到一个白球一个黑 球”. C 为事件“两个球均为黑球”则 1 1 C3C7 21 7 P( B ) , = = = 2 C10 45 15
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2.排列组合方法 (1) 排列公式 从n个不同元素中任取k个(1≤k≤n)的不同 排列总数为 n! k Pn = n(n − 1)(n − 2) (n − k + 1)= (n − k )! k=n时称为全排列:
P = Pn = n(n − 1)(n − 2) 21 = n!
n n
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(2) 组合公式 从n个不同元素中任取k个(1≤k≤n)的不同 组合总数为
A = Ai1 Ai2 Aik
10
A = Ai1 Ai2 Aik
则事件A发生的概率 k k A包含的基本事件数 P ( A= ) P ( Ai j = ) = n S中基本事件的总数 j =1 (3.1) 称此概率为古典概率. 这种确定概率的方 法称为古典方法, 这就把求古典概率的问 题转化为对基本事件的计数问题.
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注2: 分组与组合都是指互异元素的分组和 组合。不尽相异元素的分组和组合数 要按照加法原理与乘法原理或者一一 列出的方法来看。 不尽相异元素中某一抽取组合出现的 概率可以按照互异元素时组合出现的 概率来计算(例1)
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n 个不同的元素中 , 有放回地取出 r 个元素组成的可重复排列的种数为 ������������������������ 种 从 n 个不同的元素中, 不放回地取出 r 个元素组成的不重复排列的种数为 ������������ ������������������������ = ������������ ������������ − 1 ··· ������������ − ������������ + 1 ������������! = ������������ − ������������ !
7
一, 古典概型 我们称具有下列两个特征的随机试验模 型为古典概型. (1) 随机试验只有有限个可能的结果; (2) 每一个结果发生的可能性大小相同. 因而古典概型又称为等可能概型. 在概率 论的产生和发展过程中, 它是最早的研究 对象, 而且在实际应用中也是最常用的一 种概率模型.
8
它在数学上可表述为: (1)' 试验的样本空间有限, 记 S={e1,e2,,en}; (2)' 每一基本事件的概率相同, 记 Ai={ei}(i=1,2,,n), 即 P(A1)=P(A2)==P(An) 由概率的公理化定义知
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所以一共有
7! 1 � 3!�2!�2! 2!
=
7! 3! 2! 3
= 105(种)
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(5)不尽相异元素的排列 有 n 个元素, 属于 k 个不同的类, 同类元素之间不可辨 认 , 各类元素分别有 n1 , n2 ,…, nk 个,其中
n1 + n2 + …+n k = n ,要把它们排成一
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6 个人分为 3 组, 每组 2 人, 分别 从事 3 项不同工作 , 求分配方式数。 解:(有编号分组)先取出两人从事第 1 2 项工作 , 有 C6 种方式 ; 再取出两人从事 2 种方式 ; 剩下的两人 第2项工作,有 C4 从事第 3 项工作 . 所以一共有
2 ������������6
列,则共有
n! n1 !⋅ n2 ! nk !
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种不同的排列方法。
注 1:
组合就是分组(两组,有编号); 有编号分组就是“组”的排列:组中
的元素是不可区分的---不尽相异元素 的排列。 无编号分组是“组的组合”:组中元 素不区分,“组”亦不区分。 互异元素的组合,等价于不尽相异元 素的排列(两类不尽相异元素对应于 组合的两个组)
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二, 计算古典概率的方法—排列与组合 1.基本计数原理 (1) 加法原理 设完成一件事有m种方式, 第i种方式有ni种方法, 则完成该件事的方 法总数为n1+n2++nm. (2) 乘法原理 设完成一件事有m个步骤, 其中第i步有ni种方法, 必须通过m个步骤 的每一步骤才能完成该事件, 则完成该事 件的方法总数为n1×n2××nm.
r1 n r2 n − r1
n! . C = r1 !r2 ! rk !
rk rk
注:组合相当于有编号分组。按照组合模 式计算出的分组方式数目中 , 已经天然地 把组的不同编号方式数目计算在内了.
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(4)互异元素无编号分组:
无编号(不可区分)分组:等价于有
编号分组种数除以组数的阶层。 即: 有编号分组种数 无编号分组种数 = (组数)!
欲将

2 ������������4
=
6! 2!�2!�2!
= 90
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要把
7 人分为 3 个小组 , 执行同一种任 务 , 其中一个组 3 人, 另两个组各 2 人, 求分组方式数. 解:(无编号分组)与上面的情况有所不
同 . 因为其中有一个 3 人组 , 无论是否编号 , 它都与其余两个组有所区别(编号无非是为了 对分出的组加以区分 ), 所以在按“有编号分 组模式 ”算出分组方式数之后 , 应再除以 2! (即除去两个无法区分的组的排列顺序数)。
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