非线性分析解析

先考虑线性问题
应用二阶的导数表达形式，有 考虑边界条件，重新排列 t0=alpha tN=beta
N-1个方程Ax=b
➢Ax=b方程的求法
Gauss消元法
只要A非奇异，都可解出 O（N3）的计算量
LU分解法
迭代法
对角线元素要占优
非线性系统
考虑边界条件后，N-1*N-1的矩阵，需要采取特定方 法求解
求解非线性方程组的方法
➢单变量方程f(x)=0
✓ P为常数
Adams-Bashforth方法
✓ P为线性函数
✓ 与R-K方法不同，该方法需要两个已知初值 ✓ 可以将公式有线性提高到二次、三次，精度更高，但初始
值的个数也越多。
Adams 方法
Adams-Moulton方法
✓ P为常数（取未来一点的导数）
✓ P为线性函数
隐式的，非线性方程求解，通常较麻烦 但稳定性较强
Marcal和King（1967） Brown大学的Macal非线性商业程序，1969公式，MARC John Swanson核能应用ANSYS（非线性材料），主流之一 David Hibbt和Marcal，Klaus等建立了HKS公司，ABAQUS，可增加用
户单元和材料 Wilson第一代的博士生，ADINA
非线性分析
概述
➢什么是非线性
数学上： 一系统基本特征是满足叠加原理，对任意的两 个输入变量x1，x2和任意两个非0的常数a和b满 足
f (ax1 bx2 ) af (x1) bf (x2 )
则称该系统是线性的。 增量线性系统（函数）
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力学上：如果载荷引起刚度的显著变化, 则结 构是非线性的
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微分方程的初值和边界问题
➢目标：求解微分及偏微分方程组 ➢求解基础：泰勒展开 ➢初值问题的Euler, Runge-Kutta和Adams 方法
对于这样一个简单的问题，通常也是无法给出 理论解形式的
Euler方法
上式即是一个迭代公式，从初始时间出发，可 求得各时间的解
En
Eround
Etrunc
en1 en t
t 2
d 2 y(c) dt 2
为了控制误差的大小
En
er er t
t M 2
求误差的最小值，对时间步长求导数，令其等于0.
t 4er M
➢稳定性
算例
Euler向前 算法 考虑误差 整体误差
如果λ>0，解答本身趋于无穷大，误差与解答相比较 小，符合实际情况，
➢非线性有哪几种
材料非线性：应变超出弹性极限 (塑性)等 几何非线性：大挠度等 接触非线性：边界条件变化等
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➢材料非线性
简单弹簧的力与位移的关系Hooke 定律: F = Ku 常数 K 代表结构刚度.
F F
K
u
K
u
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来自百度文库
预测-修正方法 利用两种方法的优点
✓ 预测
✓ 修正
➢高阶微分方程的处理
降价处理 前述方法中Y可以是列向量
➢误差分析
稳定性 精确度
➢精确度
Talyor展开
Euler算法
误差 o(△t2)
局部误差 整体误差 y（tk）是精确值，yk是第k次的数值解
Euler算法的误差
舍入误差round off error （化整误差，双精度， 单精度）
四阶Runge-Kutta方法 四阶指的是泰勒展开 中项后为O(△t5).
四阶Runge-Kutta方法（可能是最常用的方法之 一）
四阶指的是泰勒展中项后为O(△t5).
以上方法是从导数的定义出发的，也可直接从 计算的角度（积分的角度出发）
用多项式代替
Adams 方法
Adams-Bashforth方法
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然而, 相当多情况下的力和位移不是线性关系 即 F-u 曲线不是直线, 所以这样的结构称为非线 性.
刚度不再是常数 K; 而成为所施加载荷的函数, KT (切向刚度)，如金属的拉伸实验，土体和岩 石，混凝土开裂之后等等。（非线性弹性、弹 塑性、超弹性）
KT F
u
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如果λ<0，解答趋于零
稳定
不稳定
Euler向后算法
边界问题的打靶法
➢限定边界条件的微分方程
➢打靶法
对这样一个二阶微分方程，需两个初始值
计算步骤
选择A（起点导数） 计算终点值 调整A（最简单的二分法） 重复上述过程，直至精度满足。
➢直接求解方法
利用Taylor展开 对于线性系统，最终简化为Ax=b的方程组 对于非线性系统，需要求解非线性方程组
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➢接触非线性
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➢非线性分析步骤
建立模型 基本方程的公式 离散方程 求解方程 表达结果
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➢非线性分析带来三个主要难点
获得收敛 权衡代价与精度 验证
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应力
应变
钢
橡胶
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➢几何非线性
大转动或者大挠度
忽然翻转
初应力或者载荷刚度化
在轻微横向载荷作用下, 杆的端部是柔性的. 载荷增加 时, 杆的几何形状改变 (变弯), 力臂减小 (载荷移动), 引起杆的刚化响应.
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在位移很小时，也可能 会有几何非线性产生
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➢非线性分析的主要工具：有限元
非线性有限元的历史（软件的发展）
波音研究组Turner Clough,Martin和Topp（1956）线性有限元分析
20世纪60年代ED Wilson（Berkeley）第一代有限元程序，noname SAP（structural analysis program）线性第二代程序 Nonsap第一代非线性有限元（隐式积分平衡求解，Argyris（1965），
红线部分选择适当的选项可以用来 获得更高的精度.
Euler法采用的是起始点的切向斜率 终点？ 中间点？ 组合值？
广义形式 最后一项泰勒展开
而根据泰勒展开
3个方程，4个未知量，每个A、B、P、Q就是一 种算法。
常用的有两种：
A=1/2 Heun’s方法
二阶Runge-Kutta方法（修正Euler-Cauchy） A=0