数列中的不等式恒成立
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数列中的不等式恒成立
不等式的恒成立问题是学生较难理解和掌握的一个难点，以数列为载体的不等式恒成立问题的档次更高、综合性更强，是高三第二轮复习中不可多得的一个专题.
例1：(2003年新教材高考题改编题)设0a 为常数，数列}a {n 的通项公式为
01212135
1a )(])([a n n n n n n ⋅-+⋅-+=-)N n (+∈，若对任意1≥n 不等式1->n n a a 恒成
立，求0a 的取值范围.
解：011
112315
23132a )()(a a n n n n n n n ----⨯-+⨯-+⨯=-，故1->n n a a 等
价于2012
3151--<--n n )()a ()(. ①
⑴当 ,,k ,k n 2112=-=时，①式即为 5
12
351320+<-k )(a ，此式对
,,k 21=恒成立，故3
15
12
3513120=+<-⨯)(a .(注意0a 小于最小值，为什么不能等于？)
⑵当 ,,k ,k n 212==时，①式即为220122
3151--<--k k )()a ()(，即
512351220+⨯->-k )(a ，此式对 ,,k 21=恒成立，05
123512120=+⨯->-⨯)(a .
综上，①式对任意+∈N n 成立，有3
100< 10. 评析：本题有三个亮点：处理数列中相邻两项的大小问题(即数列的单调性问题)采用作差比较，从而可把问题作整体处理；处理不等式恒成立时，用了求解此类问题的三大方案之一 ——分离参数法(另两种是：函数法与数形结合法)；最后转化为指数函数的单调性. 例2：已知等比数列}x {n 的各项为不等于1的正数，数列}y {n 满足 )a ,a (a log y n x n 102≠>=⋅. 设174=y ，117=y .试判断，是否存在正整数M 时，使当M n >时，1>n x 恒成立，若存在，求出相应的M ；若不存在，说明理由. 解：不难得n y n 225-=，又由n a n x log y 2=得2 n y n a x =. ①当10<n 时，102 =>=a a x n y n ； ②当1>a ，且12>n 时，102 =<=a a x n y n . 故当10<时，1>n x 恒成立；当1>a 时， 不存在M ，使得当M n >时，1>n x 恒成立. 评析：本题是一道“不难”的难题，说它简单是因为解题思路明晰，过程简洁；说它是难题是由于它的背景并不单纯，来头很大：探索性的数列中的不等式恒成立问题. 例3：已知0>a ，1≠a ，数列}a {n 是首项为a ，公比为a 的等比数列，令 )N n (a lg a b n n n +∈=. (Ⅰ)求数列}b {n 的前n 项和n S ； (Ⅱ)求当1>a 时，求n n n b S lim ∞ →； (Ⅲ)若数列}b {n 中的每一项总小于它后面的项，求a 的取值范围. 解：(Ⅰ)由题设n n n a a a a =⋅=-1，∴a lg na a lg a b n n n n ==，故 )na a a (a lg a S n n 12321-++++= /n )a a a (a lg a +++= 2 /n )a a a (a lg a --=+11 )na na a ()a (a lg a n n n 1 2 11++---=. (Ⅱ)∵n n b S )a n na ()a (a n +---=11112，且1>a ，∴1-=∞→a a b S lim n n n . (Ⅲ)令n n b b >+1，则01111>+-=-+=-++]a )a (n [a lg a a lg na a lg a )n (b b n n n n n ，∵0>n a ，∴只需01>+-]a )a (n [a lg . ①当1>a 时，0>a lg ，得01>+-a )a (n ，解得a a n -> 1； ②当10< a n -> 1. 为了使n n b b >+1对任何正整数n 都成立，只须a a -1小于n 的最小值1，令 11<-a a ，解得1>a 或2 10< ⑵本题是一道综合性极强的好题，它的第三小题是数列不等式恒成立求参数的取值范围，转化为解不等式或求函数的最值，这是高中数学中有关确定参数范围题目的涅磐. 例4：数列{n a }的前n 项和为bn an S n +=2，其中a 、b 是常数，且0>a ，1>+b a ， +∈N n . (Ⅰ)求{n a }的通项公式，并证明11>>+n n a a ； (Ⅱ)令1+=a log c n a n ，试判断数列{n c }中任意相邻两项的大小. 解(Ⅰ)：当1=n 时，b a S a +==11；当2≥n 时，a b an S S a n n n -+=-=-21，∴ a b an a n -+=2，+∈N n . ∵n n a a -+102212>=-+--++=a )a b an (a b )n (a ，∴n n a a >+1，又∵ 112>+≥+-=b a b a )n (a n ，故11>>+n n a a . 另02>='a a n ，故n a 是n 的增函数，∴当1=n 时，n a 最小，最小值为 11>+=b a a ，∴1>n a . (Ⅱ)若1=a 时，1=n c ，任两项相等； 若1≠a ，则a log a log c c n n a a n n -=-++11n a n a n n a a log a log a a log ⨯=++11 . ∵11>>+n n a a ，∴101<<+n n a a ，若1>a ，则01 <+n n a a a log ，01>+n a a log ， 0>n a a log ，此时01<-+n n c c ，即n n c c <+1；若10< >+n n a a a log ， 01<+n a a log ，0 综上，10<+1，即相邻两项中，后一项较大； 1=a 时，1=n c ，相邻两项相等； 1>a 时，n n c c <+1，即相邻两项中，后一项较小； 评析：数列中的不等式恒成立的变形题是数列的单调性问题，再变异还可成为不等式的证明题，但形散神不散，处理思路是一脉相承的.