数字和页码

第 29 讲 数字和页码问题
页码问题就是根据书的页码而编制出来的一类应用题，只要灵 活掌握了页码与数码的关系，此类试题就会迎刃而解。
一、页码问题题型： 页码问题涉及的应用题包含四个基本内容： (1)已知页码数，要求书中一共含有多少个数码; (2)已知页码数，要求此书中某个数码出现的次数; (3)已知书中包含的数码数，要求出该书的页码数; (4)已知书中某个数码出现的次数，要求出该书的页码数;
练习1 1、排印640页的长篇小说，共需要用多少个数码？
1×9=9（个） 2×（99－9）=180（个） 3×（640－99）=1623（个） 9＋180＋1623=1812（个）
答：一共要用1812个铅字。
2、一本书共204页，需要用多少个数码编页码？
1×9=9（个） 2×（99－9）=180（个） 204－99=105（页） 105×3=315（个） 9＋180＋315=504（个）
二、页码问题解题基本原理 要想顺利解答页码问题，首先要弄明白“页码”与“组成它
的数码个数”之间的关系。我们知道：一位数共有9个(从1～9)， 组成所有的一位数需要9个数码;两位数共有90个(从10～99)，组成 所有的两位数需要2×90=180(个)数码;三位数共有900个(从100～ 999)，组成所有的三位数需要3×900=2700(个）
我发现：任意两位数，它与倒转数的和必定是两个数字和 的11倍。一个两位数，它与倒转数的差（大数减小数）必 定是两个数字差的9倍。
132÷11=12
12÷（3＋1）=3 个位上数字
3×3=9
十位数字
所以原来两位数是93
答：原来的两位数是93.
练习4 1、一个两位数，十位上的数字比个位上的
数字少1，如果把这个两位数个位上的数字与十 位上的数字对调，所得的新的两位数与原来的 两位数之和是165，求原来的两位数是多少。
答：需要用504个数码编页码。
3、从“1”一直写到“701”，1 、2 、3 、4 、5 、 6 、7、8、 9 、10、 11 、12、 13、······、669 、 700 、701，一共写了多少个阿拉伯数字？
1×9=9（个） 2×（99－9）=180（个） 3×（701－99）=1995（个） 答：一共写了1995个阿拉伯数字。
点击例题1 一本书共380页，印刷厂的排版工人编排这本
书，仅排页码一共要用多少个铅字？
1～9页共用铅字 1×9=9（个） 10～99页共用铅字 2×（99－9）=180（个） 100～380页共用铅字 3×（380－99）=843（个）
铅字总个数：9＋180＋843=1032（个）
答：仅排页码一共要用1032个铅字。
165÷11=15
（15＋1）÷2=8 个位
8－1=7
十位
答：原来的两位数是78.
2、一个两位数，个位上的数字是十 位数字的2倍，如果把十位上的数字 对调，那么所得的两位数比原来的两 位数大36，求原来的两位数。
36÷9=4
4÷（2－1）=4 十位
4×2=8
个位
答：原来的两位数是48.
3、有两个两位数，他们的个位数字相同，十位数字之和是11。这两 个数的积的十位数字肯定不会是哪两个数字？
点击例题2 排版工人给一本书编排页码，一共用去
942个数字（铅字），这本书有多少页？
942－9－180=251（个） 251＋9＋90=350（页） 答：这本书有350页。
练习2 1、一本故事书，仅排页码就用去了1392个铅字，这本
书有多少页？
（1392－9－180）÷3＋99=500（页） 答：这本书有500页。
点击例题4 有一个两位数，十位上的数字是个位数字的3倍，如果把这两个数字
对调位置，组成一个新的两位数，这时两个数的和是132，求原来的两 位数。
根据题意知：这个两位数可能是31、62、93.
13＋31=44=（1＋3）×11 39＋93=132=（3＋9）×11 62+26=88=（2+6）×11 31－13=18=（3－1）×9 93-39=54=（9-3）×9 62－26=36=（6－2）×9
由题意可知，两个数的十位上位（2,9）、（3,8）、（4,7）、（5,6）而个位 上可以是0－9的任意一个数字，如果分别去求这两个数的积，很麻烦。
设这两个数的个位数字是C，十位数字分别为a,b则a＋b=11,两数分别为 （10a＋c）、（10b＋c)、 （10a＋c）×（10b＋c)=100ab＋10ac＋10bc＋c2
2、给一本书编写页码，一共用去732个数 字，问这本书共有多少页？
（732－189）÷3＋99=280（页） 答：这本书共有280页。
3、一本小说的页码，在排版时必须用2211个数码。那么这本 书共有多少页？
2211－9－180=2022（个） 2022÷3=774（个） 99＋674=773（页） 答：那么这本书共有773页。
3、给一本书编页码，共用了1500个数字，其中数字“3”共用了 多少个？
1500－9－180=1311（个）
1311÷3=437（页）
99＋437=536（页）
（500÷100）×10＋4=54（次）个位 （500÷100）×10＋7=57（次）十位 百位上出现了“3”的次数是100次。 54＋57＋100=211（个） 答：其中数字“3”共用了211个。
2、在1、3、5、······697这些奇数的数列中，数字“5” 一共出现了多少次？
个位：（700÷100）×10=70（次） 十位：（700÷100）×5=35（次）
百位上是5有：100÷2=50（次）
70＋35＋50=155（次） 答：数字“5”一共出现了155次。
思路导航：
• 出现在百位：501-599，50次 出现在十位51-59，151-159，251-259， 351-359，451-459，551-559，651-659 一共5*7=35次 出现在个位05-695一共70次 加起来一共155次
答：数字1在数码中出现了200次。
练习3
1、在1至1000这1000个自然数中，共用了多少个数码“1”？
个位：（1000÷100）×10=100（个） 十位：（1000÷100）×10=100（个） 百位上1有100个。 千位上1有1个。
100＋100＋100＋1=301（个）
答：共用了301个数码。
点击例题3 一本书共500页，编上页码1,2,3,4，······问：数字1在数码中
出现了多少次？
每连续100个数里个位是1有10个，（500÷100）×10=50（次）
每连续100个数里十位是1有10个，（500÷100）×10=50 （次）
百位数上出现1的有100个 50＋50＋100=200（次）
下次学习 第 30 讲
容斥原理
ab＋ba=11×(a＋b) 根据和是某个自然数的平方，推出a＋b=11 符合条件数是：29、38、47、56、65、74、83、 92、
3、一个三位数，个位数是5，如果将个位 数字移作百位数字，而百位数字移作十位 数字，十位数字移作个位数字，这时组成 的三位数比原来多342。原数是多少？
设原数十位上的数为a,百位上的数为b， 则原数为100b+10a+5 调换后的数为500+10b+a 那么（500+10b+a）-（100b+10a+5） =342 495-90b-9a=342 10b+a=17 所以100b+10a=170 所以原数为175
=100ab＋10c(a＋b)＋c2 =100ab＋110c＋c2 =100ab＋100c＋10c＋c2 =100（ab＋c)＋(10c＋c2)
10c＋c2,当c=0、1、2、3、4、5、6、7、8、9时，十位数字分别是： 0、1、2、3、5、7、9、1、4、7、所以十位数字肯定不是6和8.
答：这两个数的积的十位数字肯定不会是6和8这两个数字。
点击例题5 一个四位数，百位和十位上的数字相同，都
是个位数字的3倍，而个位数字是千位数字的3倍。 这个四位数是多少？
根据个位数字是千位数字的3倍，而百位和 十位上的数字相同，都是个位数字的3倍， 所以千位上的数字只能是1，否则，百位和 十位上的数字将大于9。因此，这个四位数 的千位是1，个位是1×3=3，而百位和十位 上都是3×3=9，即1993.
1、一个四位数，它千位上的数字是个 位上数字的3倍，十位上的数字是千位 上数字与个位数字之和，百位上数字 是十位数字的一半，求这个四位数。
3241、 6482
方法二
解：设个位数 x 则千
位 3x 百位 2x 十位4x
来自百度文库个位x
4x＜10
所以x= 1或2
3241 或 6482
2、把一个两位数的个位和十位上的数字对调后得 到新数，把它与原来相加恰好是某个自然数的平 方，求这个自然数。