巧数图形

巧数图形

数图形包括:数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形等,这瞧似简单,其实其中学问可大了.为了能准确地数出结果,我们必须有次序、有条理地数,既不能遗漏,也不能重复.只要我们掌握了数的方法,就能数得又对又快.

例1.下图中有多少条线段？

(1)思路分析:每条线段均有两个端点,可以根据左端点进行分类.以A为左端点的线段为AB、AC,共有2条;以B点为左端点的线段为B C,只有1条;以C点为左端点的线段不存在.因此共有2＋1＝3(条).

答:图中共有3条线段.

(2)这题中左端点就是A的线段有:AB、AC、AD、AE,共有4条;左端点就是B的线段有BC、BD、BE,共有3条;左端点就是C的线段有C D、CE,共有2条;左端点就是D的线段有DE;左端点就是E的线段不存在.所以共有4＋3＋2＋1＝10(条).

答:图中共有10条线段.

例2.数出下面图中共有多少条线段？

思路分析:线段有一个重要特征:线段都就是笔直的.所以我们在数的时候,必须将这幅图分成四个部分,每一部分分别采用以线段左端点分类数的方法,然后把四部分算得结果加起来.

例题解答:

第一部分从A到E共有4＋3＋2＋1＝10条线段.

第二部分从G到J共有4＋3＋2＋1＝10条线段.

第三部分就是FG一条线段.

第四部分就是JK一条线段.

10＋10＋1＋1＝22(条)

答:这幅图共有22条线段.

方法指导: 数线段可以根据左端点将线段分类,数出每一类有多少条线段,然后再相加得出线段的总的条数.

例3.一条线段上共有10个点,以这10个点为端点的不同线段共有多少条？

思路分析:将这条线段上的10个点从左到右依次标为、

、…、、以为左端点的线段为、、

、、、、、、共有9条;

为左端点的线段为、、、…、,共有8条;…;以为左端点的线段为,只有1条;以为左端点的线段不存在.因此,共有线段:

9＋8＋…＋3＋2＋1

＝(9＋1)×9÷2

＝45(条)

答:一共有45条线段.

方法指导: 一般地,如果线段上有几个点(其中n就是大于或等于2的自然数),那么以这n个点为端点的线段共有:(n－1)＋(n－2)＋ (3)

2＋1＝n×(n－1)÷2

例4.下面图形中有几个角？

思路分析:数角的个数为了不遗漏、不重复,也需要按一定的顺序去数,可以采用与数线段相同的方法.

以OA为一边的角有:∠AOB、∠AOC、∠AOD,共3个;

以OB为一边的角有:∠BOC、∠BOD,共2个.

以OC为一边的角有:∠COD,只有1个.

3＋2＋1＝6(个)

答:图中共有6个角.

例5.数出下面图中共有多少个三角形？

思路分析:数三角形个数的方法与数线段的方法差不多.

以AB为边的三角形有:△ABD、△ABE、△ABC,共有3个.

以AD为边的三角形有:△ADE、△ADC,共有2个.

以AE为边的三角形有:△AEC,只有1个.

所以,图中一共有三角形:3＋2＋1＝6(个).

我们还可以发现,可以抓住底边BC来考虑,底边BC中所包含的每一条线段都恰好对应一个三角形.

底边左端点就是B的三角形共有△BDA、△BEA、△BCA三个.

底边左端点就是D的三角形共有△DEA、△DCA两个.

底边左端点就是E的三角形只有△ECA一个.

所以一共有三角形:3＋2＋1＝6(个).

方法指导: 数角的个数与三角形个数这些基本图形时,所采用的方法与数线段的方法相同.即角的个数＝射线数×(射线数－1)÷2.即三角形个数就就是底边上的线段数.

例6.数一数图中共有多少个三角形？

思路分析:我们可以将这幅图分成三个部分来数,即下面三幅图.

在△ABC中,一共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)三角形,

在△ABD中,一共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)三角形;

在△BDC中,一共有5个三角形.

15＋15＋5＝35(个)

答:图中共有35个三角形.

例7.图中共有多少个不同的三角形？

思路分析:将本题分成(1)、(2)两部分来数:第(1)部分中共有三角形: 3＋2＋1＝6(个);第(2)部分中共有3＋2＋1＝6(个)三角形.所以,共有三角形6＋6＝12(个).

例8.数出下图中共有多少个三角形？

思路分析:这题我们可以采用按基本图形组合的方法来数.把图中最小的一个三角形瞧作基本图形.

由一个基本三角形构成的三角形共有8个;

由两个基本三角形构成的三角形共有4个;

由四个基本三角形构成的三角形共有4个.

因此:8＋4＋4＝16(个),所以,图中共有16个三角形.

例9.数出下面图形中共有多少个三角形？

思路分析:这题采用把其中最小的三角形作为一个基本图形,然后分类相加的方法.

由一个基本三角形构成的三角形共有9个;

由四个基本三角形构成的三角形共有3个;

由九个基本三角形构成的三角形只有1个.

因此9＋3＋1＝13(个),所以,图形中共有13个三角形.

例10.下面两幅图中各有多少个长方形？

思路分析:(1)中长方形都就是竖向的,可以利用对应的方法来数.因为每个长方形都与底边上的一条线段对应,因此用数长边上的线段条数来数长方形的个数.所以,图中长方形共有4＋3＋2＋1＝10(个).

(2)我们可用按基本图形组合的方法来数.

由一个基本长方形构成的长方形共有6个;

由两个基本长方形构成的长方形共有7个;

由三个基本长方形构成的长方形共有2个;

由四个基本长方形构成的长方形共有2个;

由六个基本长方形构成的长方形有1个;

所以,图中共有长方形6＋7＋2＋2＋1＝18(个).

本题还可以结合数线段的方法,这题中长方形的长被分成了3段,线段总数为3＋2＋1＝6条,宽被分成了2段,线段总数为2＋1＝3(条).由此可见,长方形的个数＝6×3＝18(个).于就是,可以整理出数长方形个数的方法:长方形的个数等于原长方形长上的线段数乘以宽上的线段数.

例11.数出各图中正方形的个数.