人教A版高中数学选修1-1 教师用书

第一章常用逻辑用语

1．1命题及其关系

1．1.1命题

目标导学

1．了解命题的有关概念．

2．会判断命题的真假．

3．理解若p，则q形式的命题的条件和结论．能指出此类命题的条件和结论．

‖知识梳理‖

1．命题的概念

一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．

2．命题的分类

判断为真的语句为真命题，判断为假的语句为假命题．

3．命题的结构

命题的结构形式是“若p，则q”，其中p是条件，q是结论．

1．对于命题概念的理解

(1)并不是任何语句都是命题，一个语句是命题应具备两个条件：

①该语句是陈述句；

②能够判断真假．

一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．

(2)对于含有字母变量的语句，根据字母的取值范围，若能判断真假，则是命题；若不能判断真假，则不是命题．

2．命题的结构形式

(1)在数学中，一般用小写字母p，q，r，…等表示命题．如命题p：2是无理数；命题q：π是有理数．

(2)常见的命题形式为：“若p，则q”，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论．当一个命题不是“若p，则q”的形式时，为了找出命题的条件和结论，

可以对命题改写为“若p，则q”的形式．如命题“菱形的对角线互相垂直且平分”，可以改写为：“若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分”．

题型一命题及其真假的判断

判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．

(1)垂直于同一直线的两条直线必平行吗？

(2)x2＋4x＋5>0(x∈R)；

(3)x2＋3x－2＝0；

(4)一个数不是正数就是负数；

(5)4是集合{1,2,3,4}中的元素；

(6)求证y＝sin 2x的最小正周期为π.

【思路探索】解答本题，首先要根据命题的概念，判断是否是命题，若是，再根据条件和结论的逻辑关系判断真假．

【解】(1)是疑问句，不是命题．

(2)是命题．因为当x∈R时，x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1>0恒成立，可判断真假，所以是命题，而且是真命题．

(3)不是命题．因为语句中含有变量x，在没给定x的值之前，无法判断语句的真假，所以不是命题．

(4)是命题．因为数0既不是正数也不是负数，所以是假命题．

(5)是命题．因为4∈{1,2,3,4}，且是真命题．

(6)是祈使句，不是命题．

[名师点拨]

判断一个语句是否是命题，关键在于能否判断其真假．一般地，陈述句“π是无理数”，反意疑问句“难道矩形不是平行四边形吗？”都是命题；而祈使句“求证2是无理数”，疑问句“你是高一的学生吗？”，感叹句等都不是命题.

(2019·陆良八中月考)下面命题中是真命题的是() A．函数y＝sin2x的最小正周期是2π

B．等差数列一定是单调数列

C．直线y＝ax＋a过定点(－1,0)

D ．在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则角B 为锐角

解析：A 中，y ＝sin 2x ＝12－12cos 2x ，周期T ＝π，A 为假命题；B 中，当公差

为0时，等差数列为常数列，B 为假命题；D 中，若AB

→·BC →>0，则AB →与BC →的夹角为锐角，角B 为钝角，D 为假命题，故C 正确．

答案：C

题型二 命题的结构形式

把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．

(1)ac >bc ⇒a >b ；

(2)当x 2－2x －3＝0时，x ＝－1或x ＝3；

(3)有两个内角之和大于90°的三角形是锐角三角形；

(4)实数的平方是非负数；

(5)平行于同一平面的两条直线互相平行．

【思路探索】 本例所给的命题都不具备“若p ，则q ”的形式，解决这类题型既要找准命题的条件和结论，还要注意表述的完整性．

【解】 (1)若ac >bc ，则a >b ，是假命题．

(2)若x 2－2x －3＝0，则x ＝－1或x ＝3，是真命题．

(3)若一个三角形中，有两个内角之和大于90°，则这个三角形是锐角三角形，是假命题．

(4)若一个数是实数，则它的平方是非负数，是真命题．

(5)若两条直线平行于同一个平面，则它们互相平行，是假命题．

[名 师 点 拨]

(1)把命题改写成“若p ，则q ”(或“如果p ，那么q ”)的形式，其中p 为命题的条件，q 为命题的结论，要注意条件及结论的完整性，将条件写在前面，结论写在后面．“若p ，则q ”是原来命题的另一种叙述形式，它的真假性等同于原来的命题．

(2)不要认为假命题没有条件和结论，对于一个命题无论是真命题还是假命题，它必须由条件和结论两个部分组成，只是有些命题的条件或结论不十分明显．

(3)判断一个命题的真假．“若p ，则q ”为真命题，则需要由p 经过严格推

理得出q.“若p，则q”为假命题，只需举出一个反例说明即可.

把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．

(1)能被9整除的数是偶数；

(2)当x2＋(y－1)2＝0时，有x＝0，y＝1；

(3)如果a>1, 那么函数f(x)＝(a－1)x是增函数．

解：(1)若一个数能被9整除，则这个数是偶数，是假命题．

(2)若x2＋(y－1)2＝0，则x＝0，y＝1，是真命题．

(3)若a>1，则函数f(x)＝(a－1)x是增函数，是假命题．

1．下列语句为命题的个数有()

①一个数不是正数就是负数；②梯形是不是平面图形呢？③22 019是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；

⑤作△ABC≌△A′B′C′.

A．1个B．2个

C．3个D．4个

解析：①④是命题，故选B.

答案：B

2．(2019·莆田月考)下列命题中是假命题的是()

A．若a·b＝0，则a⊥b(a≠0，b≠0)

B．若|a|＝|b|，则a＝b

C．若ac2>bc2，则a>b

D．5>3

解析：B中两个向量模相等，方向不一定相同，故B为假命题．

答案：B

3．(2019·杭高期末)已知α，β是两个不同平面，m，n，l是三条不同直线，则下列命题正确的是()

A．若m∥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥β

B．若m⊂α，n⊂α，l⊥n，l⊥m，则l⊥α

C．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n