寿险精算(第一章).
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定义： e&0 E( X ), e0 E(K (0)).
前者是新生儿寿命的期望，后者是新生儿的 生存整年数的期望。
结论1.2.2 上述两个期望与生存函数有如下
关系：e&0
0 s(t)dt, e0
s(n).
n1
例1.2.3 在例1.2.1的假设下计算新生儿寿命
的期望和寿命变量的二阶原点矩。
t
t
0 (ln s(x)) ' dx ln(s(t)) 0 (s)ds C.
Q t 0 s(0) 1 C 0,
t
s(t) e0 (s)ds .
由死亡力的定义可得
f X (t) (t)s(t)
将上式代入此等式，即得结论中的第二个等 式。
例1.2.1 设密度函数
fX
(t)
1
,
T(x)=X-x, 其中X表示该个体的寿命, 即最大生 存时间.
T(x) = K(x) + S(x), 或 T = K + S, T 的分布函数、
密度、生存函数。 基本计算公式: 1)
FT
(
x)
(t
)
1
s(x t s(x)
)
2) T(x)的死亡力
x
(t)
1
fT (x) (t) FT (x) (t)
生存函数与分布函数的关系：
s(t) 1 FX (t), t [0, ) s(0) 1, FX (0) 0.
（生命体的）死亡力：一个活到某岁的个体恰 在此年龄死亡的概率(瞬时死亡概率).
f (t)
(t) X ,t (0, )
1 FX (t)
结论与例子： 结论1.2.1 生存函数s(t)和密度函数f(t)可用死亡 力来 (t) 表示:
P(T (x) s t | T (x) t)
解：e&0
tdt 0.5, E( X 2 ) 0
2ts(t)dt
0
2t tdt 2 / 3.
0
常见死亡力函数 : （1）de Moivre（1729）死亡力； （2）Gompertz (1825)死亡力； （3）Makeham(1860)死亡力； （4）Weibull (1939)死亡力。 详见教材（杨静平 编著）表1.1.
本部分分上述三章来介绍：单生命生存 规律和多个单生命组成的群体的生存规 律；这些规律决定保险产品的定价、准 备金的提取、 养老金方案设计、退保、 各项费率厘定等寿险环节。
本教材的特点：先基础后实践、先分类 介绍基本的一般模型， 使初学者容易把 握寿险总体规律， 避免一开始就陷入具 体复杂的保险细节和精算公式的推导等 计算问题，迷失方向。后在一般模型基 础上介绍几类常见精算问题及其精算公 式。
例1.3.1
设新生儿寿命X的密度函数为
fX
(t )
1
,0
t
.
求 FT ( x) (t), fT ( x) (t), t 0.
X岁的个体又生存了t年时,年龄为x+t岁,该个体与其他年龄 为x+t的个体的生存分布之间的关系:
定理1.3.2. 假设个体的年龄及是否死亡为已 知,个体的其他信息均未告知. x岁的个体生 存了 t 年后, 其再继续生存时间的分布和x+t 岁的个体的未来生存时间的分布相同, 即
第一章 单生命生存模型
1.2. 生存分布(或生存函数): 用X表示一个刚降生 的生命体(个体)的寿命, 它是随机变量,有其特定的 连续分布函数和密度函数, 分别记为 F 和 f. K(0)---该个体生存的整年数, 即[X]; S(0)---X的小数部分, 则 X=K(0)+S(0)
称函数 s(t)=P(X>t), t>=0 为寿命 X 的生存函数或生 存分布. 它表示个体活过 t 岁的概率。
X与T(x)的分布、密度、生存、死亡函数的
关系
结论1.3.1
fT (x) (t)
fX (x t) ,t 0; s(x)
t
sT
(x)
(t)
( xs)ds
e 0
;
X (t) (x t).
证明：
fT
(x)
(t
)
FT
(x)
'(t
)
(1
s(x s(
t) x)
)
'
s '(x t) s(x)
fX (x t). s(x)
根据死亡力的定义，
X
(t)
fT (x) (t) 1 FT (x) (t)
1
fX (x t) (1 s(x
/ s(x) t) / s(x))
fX (x t) / s(x) fX (x t) s(x t) / s(x)) s(x t)
(x t).
还可证明：
第一部分 生存模型和多元衰减模型
第一章 单生命生存模型 第二章 多生命生存模型 第三章 多元衰减模型 大意梗概：人寿保险是以人的寿命、身体或健康
为保险标的（指具体的保险目标）的保险， 因此， 研究人的寿命的延续规律是制定保险保费的重要 基础。人的寿命往往是不确定的，可以看作随机 变量，因此，用概率统计方法研究寿命是普遍方 法。
由于
X
(t )
(x
t)
sT (x) '(t) sT (x) (t)
(ln
sT (x) (t)) ',
(ln sT (x) (t)) ' (x t),
t
t
ln sT (x) (t)
0 (ln sT (x) (s)) 'ds
(x s)ds,
0
t
sT
(x) (t)
( xs )ds,
e . 0
说明, 可以借助计算机技术处理表达式更为复杂的死 亡力; 上述死亡力在实务中已较少使用,但由于其表 达简便, 易于得到具有实际指导意义的理论结果.
1.3. X 岁个体的生存分布: (x) 表示x岁的个体,
这里x为整数. 个体(x) 的未来生存时间(即x岁后
存活的时间-余寿) 是一随机变量, 记为T(x).
t
ຫໍສະໝຸດ Baidu
t
s(t) e0 (s)ds , f X (t) (t)e0 (s)ds .
证明：
由于 (t) f X (t) (FX (t)) ' (1 FX (t)) '
1 FX (t)
s(t )
s(t )
s '(t) , (ln(s(t))) ' (t),
s(t )
故存在常数C,满足
0
t
.
计算生存函数 s(t) 和死亡力 (t) 。
解：s(t)
1
FX
(t)
1
t
t
.
(t) f X (t) 1 / t 1 . 1 FX (t) t
死亡力与生存分布之间存在一一对应关系。 例1.2.2 设生存分布为
s(t ) et , t 0,
其中 0 为参数。求死亡力 (t).
前者是新生儿寿命的期望，后者是新生儿的 生存整年数的期望。
结论1.2.2 上述两个期望与生存函数有如下
关系：e&0
0 s(t)dt, e0
s(n).
n1
例1.2.3 在例1.2.1的假设下计算新生儿寿命
的期望和寿命变量的二阶原点矩。
t
t
0 (ln s(x)) ' dx ln(s(t)) 0 (s)ds C.
Q t 0 s(0) 1 C 0,
t
s(t) e0 (s)ds .
由死亡力的定义可得
f X (t) (t)s(t)
将上式代入此等式，即得结论中的第二个等 式。
例1.2.1 设密度函数
fX
(t)
1
,
T(x)=X-x, 其中X表示该个体的寿命, 即最大生 存时间.
T(x) = K(x) + S(x), 或 T = K + S, T 的分布函数、
密度、生存函数。 基本计算公式: 1)
FT
(
x)
(t
)
1
s(x t s(x)
)
2) T(x)的死亡力
x
(t)
1
fT (x) (t) FT (x) (t)
生存函数与分布函数的关系：
s(t) 1 FX (t), t [0, ) s(0) 1, FX (0) 0.
（生命体的）死亡力：一个活到某岁的个体恰 在此年龄死亡的概率(瞬时死亡概率).
f (t)
(t) X ,t (0, )
1 FX (t)
结论与例子： 结论1.2.1 生存函数s(t)和密度函数f(t)可用死亡 力来 (t) 表示:
P(T (x) s t | T (x) t)
解：e&0
tdt 0.5, E( X 2 ) 0
2ts(t)dt
0
2t tdt 2 / 3.
0
常见死亡力函数 : （1）de Moivre（1729）死亡力； （2）Gompertz (1825)死亡力； （3）Makeham(1860)死亡力； （4）Weibull (1939)死亡力。 详见教材（杨静平 编著）表1.1.
本部分分上述三章来介绍：单生命生存 规律和多个单生命组成的群体的生存规 律；这些规律决定保险产品的定价、准 备金的提取、 养老金方案设计、退保、 各项费率厘定等寿险环节。
本教材的特点：先基础后实践、先分类 介绍基本的一般模型， 使初学者容易把 握寿险总体规律， 避免一开始就陷入具 体复杂的保险细节和精算公式的推导等 计算问题，迷失方向。后在一般模型基 础上介绍几类常见精算问题及其精算公 式。
例1.3.1
设新生儿寿命X的密度函数为
fX
(t )
1
,0
t
.
求 FT ( x) (t), fT ( x) (t), t 0.
X岁的个体又生存了t年时,年龄为x+t岁,该个体与其他年龄 为x+t的个体的生存分布之间的关系:
定理1.3.2. 假设个体的年龄及是否死亡为已 知,个体的其他信息均未告知. x岁的个体生 存了 t 年后, 其再继续生存时间的分布和x+t 岁的个体的未来生存时间的分布相同, 即
第一章 单生命生存模型
1.2. 生存分布(或生存函数): 用X表示一个刚降生 的生命体(个体)的寿命, 它是随机变量,有其特定的 连续分布函数和密度函数, 分别记为 F 和 f. K(0)---该个体生存的整年数, 即[X]; S(0)---X的小数部分, 则 X=K(0)+S(0)
称函数 s(t)=P(X>t), t>=0 为寿命 X 的生存函数或生 存分布. 它表示个体活过 t 岁的概率。
X与T(x)的分布、密度、生存、死亡函数的
关系
结论1.3.1
fT (x) (t)
fX (x t) ,t 0; s(x)
t
sT
(x)
(t)
( xs)ds
e 0
;
X (t) (x t).
证明：
fT
(x)
(t
)
FT
(x)
'(t
)
(1
s(x s(
t) x)
)
'
s '(x t) s(x)
fX (x t). s(x)
根据死亡力的定义，
X
(t)
fT (x) (t) 1 FT (x) (t)
1
fX (x t) (1 s(x
/ s(x) t) / s(x))
fX (x t) / s(x) fX (x t) s(x t) / s(x)) s(x t)
(x t).
还可证明：
第一部分 生存模型和多元衰减模型
第一章 单生命生存模型 第二章 多生命生存模型 第三章 多元衰减模型 大意梗概：人寿保险是以人的寿命、身体或健康
为保险标的（指具体的保险目标）的保险， 因此， 研究人的寿命的延续规律是制定保险保费的重要 基础。人的寿命往往是不确定的，可以看作随机 变量，因此，用概率统计方法研究寿命是普遍方 法。
由于
X
(t )
(x
t)
sT (x) '(t) sT (x) (t)
(ln
sT (x) (t)) ',
(ln sT (x) (t)) ' (x t),
t
t
ln sT (x) (t)
0 (ln sT (x) (s)) 'ds
(x s)ds,
0
t
sT
(x) (t)
( xs )ds,
e . 0
说明, 可以借助计算机技术处理表达式更为复杂的死 亡力; 上述死亡力在实务中已较少使用,但由于其表 达简便, 易于得到具有实际指导意义的理论结果.
1.3. X 岁个体的生存分布: (x) 表示x岁的个体,
这里x为整数. 个体(x) 的未来生存时间(即x岁后
存活的时间-余寿) 是一随机变量, 记为T(x).
t
ຫໍສະໝຸດ Baidu
t
s(t) e0 (s)ds , f X (t) (t)e0 (s)ds .
证明：
由于 (t) f X (t) (FX (t)) ' (1 FX (t)) '
1 FX (t)
s(t )
s(t )
s '(t) , (ln(s(t))) ' (t),
s(t )
故存在常数C,满足
0
t
.
计算生存函数 s(t) 和死亡力 (t) 。
解：s(t)
1
FX
(t)
1
t
t
.
(t) f X (t) 1 / t 1 . 1 FX (t) t
死亡力与生存分布之间存在一一对应关系。 例1.2.2 设生存分布为
s(t ) et , t 0,
其中 0 为参数。求死亡力 (t).