MATLAB编程：最短路问题

定 义 ３ （ １ ） 设 P (u ,v)是 赋 权 图 G 中 从 u 到 v 的 路 径 ， 则 称 w(P)
e E ( P )
w (e) 为 路 径
P 的权．
(2 )
在赋权图 G 中，从顶点 u 到顶点 v 的具有最小权的路
P (u , v ) ， 称 为 u 到 v 的 最 短 路 ．
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顶点的次数
定义 （１）在无向图中，与顶点 v 关联的边的 数目（环 算两次） 称 为 v 的 次 数 ， 记 为 d (v)． （２）在有向图中，从顶点 v 引出的边的数目称为 v 的出度， 记 为 d + ( v)， 从 顶 点 v 引 入 的 边 的 数 目 称 为 的 入 度 ， 记 为 d - (v)， d ( v)= d + ( v)+ d - ( v) 称 为 v 的 次 数 ．
a ij
w ij 0
若 ( v i , v j ) E , 且 w ij 为其权 若i j 若 (v i , v j ) E
无向赋权图 的邻接矩 阵可类似 定义．
v1 0 A= 2 7
v2 2 0 8 3
v3 8 0 5
v4 7 v1 3 v2 5 v3 0 v4
(e )= (e ),则 称 G 1 是 G 的 子 图 ．
V ， E (1 ) 若 V 1 1
(2)
E ,且 当 e E 1 时 ， 1
特 别 的 ， 若 V 1= V ， 则 G 1 称 为 G 的 生 成 子 图 ．
设 V 1 V ， 且 V 1 ， 以 V 1 为 顶 点 集 、 两 个 端 点 都 在 V 1 中 的
8 7



10 10
6 10 12 10 12 9 12 12
z (v )
0
2
u1
u1
u1
1 u 7 6
u2
3
u5
6
u4
9
u 5 12
l (u i ) u u 1 2
最后标记:
u 3
1
u 4 7
u6
u5 3
G 的图解如图.
定义
在 图 G 中 ， 与 V 中 的 有 序 偶 (v i， v j )对 应 的 边 e ， 称 为 图 的 有 向 边 （ 或 弧 ） 而 与 V 中 顶 点 的 无 序 偶 v iv j 相 对 应 的 边 e ， 称 为 图 ， 的 无 向 边 .每 一 条 边 都 是 无 向 边 的 图 ， 叫 无 向 图 ； 每 一 条 边 都 是 有向边的图，称为有向图；既有无向边又有有向边的图称为 混 合图.
w ( v 0 e 1 v 1 e 2 v k 1 e k v k ) 称 为 一 条 从v 0 到v k 的 通 路 ， 记 为W v 0 v k
（ ２ ） 边 不 重 复 但 顶 点 可 重 复 的 通 路 称 为 道 路 ， 记 为T v 0 v k （ ３ ） 边 与 顶 点 均 不 重 复 的 通 路 称 为 路 径 ， 记 为 Pv 0 v k
G
G[{v 1 ,v 4 ,v 5 }]
G[{e 1 ,e 2 ,e 3 }]
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关联矩阵
对 无 向 图 Ｇ ， 其 关 联 矩 阵 Ｍ ＝ ( m ij ) ， 其 中 ：
m ij
1 0
若 v i 与 e j 相关联 若 v i 与 e j 不关联
e1 1 M= 1 0 0 e2 0 1 0 1 e3 0 0 1 1
对 每 个 顶 点 ， 定 义 两 个 标 记 （ l ( v ) ，z ( v ) ） 其 中 : ，
l (v ) ： 表 从 顶 点 u0 到 v 的 一 条 路 的 权 ． z(v ) ： v 的 父 亲 点 ， 用 以 确 定 最 短 路 的 路 线
算 法 的 过 程 就 是 在 每 一 步 改 进 这 两 个 标 记 ， 使 最 终l(v ) 为 从 顶 点 u0 到 v 的 最 短 路 的 权 ．
例1 设 G = ( V,E, ) ， 其 中 V= { v 1 ,v 2 , v 3 , v 4 } ， E= { e 1 , e2 , e 3 , e 4, e5 } ,
[1 ] V = { v 1 , v 2 , , v n } 是 有 穷 非 空 集 ， 称 为 顶 点 集 ，
( e1 ) v 1 v 2 , ( e 2 ) v 1 v 3 , ( e 3 ) v 1 v 4 , ( e 4 ) v 1 v 4 , ( e 5 ) v 3 v 3 .
*
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固 定 起 点 的 最 短 路
最短路是一条路径，且最短路的任一段也是最短路． 假设在u0-v0的最短路中只取一条，则从u0到其 余顶点的最短路将构成一棵以u0为根的树．
因此, 可采用树生长的过程来求指定顶点到其余顶点 的最短路．
Dijkstra 算 法 ： 求 G 中 从 顶 点 u 0 到 其 余 顶 点 的 最 短 路 设 G 为赋权有 向图或无 向图， G 边上的 权均非负 ．
d

d (v4 ) 4
(v4 ) 2 (v4 ) 3
d
d (v4 ) 5
定理１
v V ( G )
d ( v ) 2 (G )
推论１ 任何图中奇次顶点的总数 必为偶数 ．
例 在一次聚会中，认识奇数个人的人数一定是偶数。
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子图
定 义 设 图 G= (V,E , ),G 1 = (V 1 ,E 1 1, )
因 G 是无向图，故 W 是对称阵．
迭代 次数 １ 2 3 4 5 6 7 8 最v ) 标 记 : l( 后
l (u i )
u u u 1 2 3
０
u 4
u5
u 6
u 7

u8
0 ２ １ ８ 2 8 8 3
*
中 的 顶 点 ， 则 令 S = S ∪ {v
*
}，
u v*
（ 4） 若S φ ， 转 2， 否 则 ， 停 止 .
u 用 上 述 算 法 求 出 的 l(v ) 就 是0 u 记 z ( v ) 追 溯 到u 0 , 就 得 到 0
到 v 的 最 短 路 的 权 ， 从v 的 父 亲 标
通路 Wv
1v 4
v 1 e 4 v 4 e 5 v 2 e1 v 1 e 4 v 4
道 路 T v1 v 4 v 1 e 1 v 2 e 5 v 4 e 6 v 2 e 2 v 3 e 3 v 4 路 径 Pv1 v 4 v 1 e 1 v 2 e 5 v 4
定义２ （１）任意两点均有路径的图称为连通图． （２）起点与终点重合的路径称为圈． （３）连通而无圈的图称为树．
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邻接矩阵
对 无 向 图 Ｇ ， 其 邻 接 矩 阵 A ( a ij ) ， 其 中 ：
a ij
1 0
若 v i 与 v j 相邻 若 v i 与 v j 不相邻
v1 A= 0 1 0 1 v2 1 0 1 1 0 1 0 1
注：假设图为简单图
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最短路问题及其算法
一、 基 本 概 念 二、固 定 起 点 的 最 短 路 三、每 对 顶 点 之 间 的 最 短 路
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基 本 概 念
定 义 １ 在 无 向 图 G= (V,E , )中 ： （ １ ） 顶 点 与 边 相 互 交 错 且 ( e i ) v i 1 v i (i= 1 ,2 ,… k )的 有 限 非 空 序 列
v3 v4 1 v1 1 v2 1 v3 0 v4
对 有 向 图 Ｇ ＝ （ Ｖ ， Ｅ ） 其 邻 接 矩 阵 A ( a ij ) ， 其 中 ： ，
a ij
1 0
若（ v i， v j） E 若（ v i， v j） E
对 有 向 赋 权 图 Ｇ ， 其 邻 接 矩 阵 A ( a ij ) ， 其 中 ：
数学建模与数学实验 最短路问题
后勤工程学院数学教研室
实验目的
1、了解最短路的算法及其应用 2、会用Matlab软件求最短路
实验内容
1、图 论 的 基 本 概 念
2、最 短 路 问 题 及 其 算 法
3、最 短 路 的 应 用
4、建模案例：最优截断切割问题
5、实验作业
图论的基本概念
一、 图 的 概 念 1、图的定义 2、顶点的次数
（ 2 ） 更 新 l ( v ) 、 z ( v ) ： v S V \ S ,若 l ( v ) > l ( u ) W ( u , v )
z 则 令 l(v ) = l(u ) W (u , v ) , (v ) = u
（ 3） 设 v 是 使 l(v ) 取 最 小 值 的 S
图 G 的 边 为 边 集 的 图 G 的 子 图 ， 称 为 G 的 由 V 1 导 出 的 子 图 ， 记 为 G[V 1 ]. (3)设 E 1 E ,且 E 1 ,以 E 1 为 边 集 ,E 1 的 端 点 集 为 顶 点 集 的 图 G 的 子 图 , 称 为 G 的 由 E 1 导 出 的 子 图 ,记 为 G[E 1 ].
定义
若 将 图 G 的 每 一 条 边 e 都 对 应 一 个 实 数 w (e )， 称 w (e)为 边 的 权 ， 并称图 G 为赋权图.
规 定 用 记 号 和 分 别 表 示 图 的 顶 点 数 和 边 数 .
常用术语： （１）端点相同的边称为环． （２）若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边称为重边． （３）有边联结的两个顶点称为相邻的顶点，有一个公共端点的边 称为相邻的边 ． （４）边和它的端点称为互相关联的． （５）既没有环也没有平行边的图，称为简单图． （ ６ ） 任 意 两 顶 点 都 相 邻 的 简 单 图 ， 称 为 完 备 图 ， 记 为 K n， 其 中 n 为顶点的数目． ( 7 )若 V = X Y ， X Y = ， X 中 任 两 顶 点 不 相 邻 ， Y 中 任 两 顶 点不相邻，称 G 为二元图；若 X 中每一顶点皆与 Y 中一切顶点 相 邻 ， 称 为 完 备 二 元 图 ， 记 为 K m, n， 其 中 m ,n 分 别 为 X 与 Y 的 顶 点数目．
u2
u 6
6
u5
3、子图
二、 图 的 矩 阵 表 示
1、 关联矩阵
2、 邻接矩阵
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图的定义
定义 有序三元组G=(V,E, )称为一个图.
其中的元素叫图 G 的顶点. [2 ] E 称 为 边 集 ， 其 中 的 元 素 叫 图 G 的 边 . [3 ] 是 从 边 集 E 到 顶 点 集 V 中 的 有 序 或 无 序 的 元 素 偶对的集合的映射，称为关联函数.
到v 的 最 短 路 的 路 线 .
例
求下图从顶点 u 1 到其余顶点的最短路．
TO MATLAB (road1)
先写出带权邻接矩阵：
0 W
2 0
1 0
8 6 7 0
1 5 0
1 3 0
9 2 4 0
9 6 3 0
注：假设图为简单图
e4 0 1 1 0 e5 1 v1 0 v2 0 v3 1 v4
对 有 向 图 Ｇ ， 其 关 联 矩 阵 Ｍ ＝ ( m ij ) ， 其 中 ：
ห้องสมุดไป่ตู้
m ij
1 1 0
若 v i 是 e j 的起点 若 v i 是 e j 的终点 若 v i 与 e j 不关联
S： 具 有 永 久 标 号 的 顶 点 集
输 入 : G 的 带 权 邻 接 矩 阵 w (u , v )
算法步骤：
（ １ ） 赋 初 值 ： 令 S＝ { u 0 }, l ( u 0 ) =0
v S V \ S ,令 l ( v ) =W ( u 0 , v ) ,z ( v ) = u 0 u u 0