2021年高三下学期第五次周末综合测试(理科数学)

2021年高三下学期第五次周末综合测试（理科数学）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．函数的定义域是( )

A． B. C. D.

2．函数的零点个数是( )

A.0

B.1

C.2

D.3

3．已知等差数列{a n}与等比数列{b n}，满足a3=b3，2b3-b2b4=0，则{a n}的前5项和S5=( )

A.5

B.10

C.20

D.40

4．设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，若S4=1，则S8=( )

A．17 B．C．5 D.

5．已知直线l：与圆x2+y2=1相切，则直线l的倾斜角为( )

A． B. C. D.

6．设函数f(x)=cosx，把f(x)的图象向右平移m个单位后，图象恰好为函数y=-f'(x)的图象，则m的值可以为( )

A． B. C. D．π

7．设F1(-c，0)、F2(c，0)是椭圆的两个焦点，P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点，若∠PF1F2=5∠PF2F1，则椭圆的离心率为( )

A． B. C. D.

8．已知集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，定义函数f：M→N，若点A(1，f(1))、B(2，f(2))、C(3,f(3))，△ABC的外接圆圆心为D，且，则满足条件的函数f(x)有( )

A．6个B．10个C．12个D．16个

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．已知变量x，y满足则x+y的最小值为_______.

10.已知曲线y=x3+bx+c上一点A(1，2)的切线为y=x+1，则b2+c2=____．

11.已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A，B两点，且，则a=____．

12．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为_________．13.过点的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=________.

14.已知，则siny-cos2x的最大值为_______

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分12分）

已知函数，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1，2). (I)求φ

(II)计算f(1)+f(2)+...+f(xx).

16.（本小题满分12分）

已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1(a∈R)．

(1)当a=-3时，求证：f(x)在R上是减函数；

(2)如果对任意x∈R，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

17.（本小题满分14分）

已知数列{a n}的前n项和为S n，点在直线上，数列{b n}满足

，b3=11，且{b n}的前9项和为153.

(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；

(2)设，记数列{c n}的前n项和为T n，求使不等式对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值．

18.（本小题满分14分）

已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖．

(1)试求圆C的方程．

(2)若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B．满足CA⊥CB，求直线l的方程．

19.（本小题满分14分）

设数列{a n}的前项和为S n，已知a1=1，a2=6，a3=11，且（5n-8）S n+1-(5n+2)S n=An+B，n=1，2，3，…，其中A，B为常数．

(I)求A与B的值；

(II)证明数列｛a n｝为等差数列；

(III)证明不等式对任何正整数m、n都成立．

20.（本小题满分14分）

已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1．

(I)求动点P的轨迹C的方程；

(II)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C

相交于点D，E，求的最小值.

参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9.2 10.13 11.

12． 13． 14．

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：(I)

∵y=f（x）的最大值为2，A>0，,A=2．

又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω>0，，.

.

∵y=f(x)过(1，2)点，.，

，，

又，.

(II)解法一：，.

∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4．

又∵y=f(x)的周期为4，xx=4×502,

∴f(1)+f(2)+…+f(xx)=4×502=xx.

解法二：，，

，∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4．

又y=f(x)的周期为4，xx=4×502,∴f(1)+f(2)+…+f(xx)=4×502=xx.

16.解：(1)a=-3,恒成立

∴f(x)在R上是减函数

(2)f'(x)=3ax2+6x-1，由f'(x)≤4x恒成立，∴3ax2+2x-1≤0，

①当a=0时，不成立

②由a≠0时，得

综上，实数a的取值范围是

17．解：(1)由题意，

当n≥2时，a n=S n-S n-1=n+5，

当n=1时，a1=S1=6也适合上式，∴a n=n+5（n∈N*）

∴数列{b n}是等差数列，由{b n}的前9项和为153得，

从而,又b3=11,得d=3，b1=5，∴b n=3n+2

(2)，

，数列{T n}是递增数列，∴只要，∴k<19

∴k max=18

18．（本小题满分14分）

已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖．

(1)试求圆C的方程．

(2)若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B.满足CA⊥CB，求直线l的方程．

解：(1)由题意知此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是(2，1)，半径是

，所以圆C的方程是(x-2)2+(y-1)2=5．

(2)设直线l的方程是：y=x+b．

因为，

所以圆心C到直线l的距离是，

即

解得：,所以直线l的方程是：

19.设数列{a n}的前项和为S n，已知a1=1，a2=6，a3=11，且(5n-8)S n+1-(5n+2)S n=An+B，n=1，2，3，…，其中A，B为常数．

(I)求A与B的值；

(II)证明数列{a n}为等差数列；

(III)证明不等式对任何正整数m、n都成立．

解：(I)由a1=1, a2=6, a3=11,得S1=1，S2=7，S3=18．

把n=1，2分别代入（5n-8）S n+1-（5n+2）S n=An+B，得

解得，A=-20，B=-8．

(II)由(I)知， 5n(S n+1-S n)-8S n+1-2S n=-20n-8，即

5na n+1-8S n+1-2S n=-20n-8，①

又5(n+1)a n+2-8S n+2-2S n+1=-20(n+1)-8．②

②-①得，5(n+1)a n+2-5na n+1-8a n+2-2a n+1=-20,