抽象函数的奇偶性周期性对称性

函数的周期性与对称性

一、 抽象函数的对称性

定理 1. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的图象关于直线

2

b a x +=对称。 推论 1. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)()(x a f x a f -=+，则函数)(x f y =的图像关于直线

a x =对称。

推论2. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)2()(x a f x f -=),则函数)(x f y =的图像关于直线a

x =对称。

定理2. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：c x b f x a f =-++)()(（c b a ,,为常数），则函数)

(x f y =的图象关于点)2

,2(c b a +对称。 推论1. 若函数)(x f y =定义域为R ,且满足条件：0)()(=-++x b f x a f 成立，则)(x f y = 的图象关于点

)0,2

(b a +对称。 推论2.若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：0)()(=-++x a f x a f （a 为常数），则函数)(x f y =的

图象关于点)0,(a 对称。

定理3.若函数)(x f y = 定义域为R ，则函数)(x a f y +=与)(x b f y -=两函数的图象关于直线2a b x -=

对称（由x b x a -=+可得）。

推论1. 函数)(a x f y -=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。

推论2. 函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线0=x 对称。

定理4.若函数)(x f y = 定义域为R ，则函数)(x a f y +=与)(x b f c y --= 的图象关于点)2,2(

c a b -对称。 推论. 函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=图象关于点)0,2

(

a b -对称。

二、抽象函数的周期性

定理5.若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件)()(b x f x a f -=+，则)(x f y =是以b a T +=为周期的

周期函数。

推论1.若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件)()(b x f x a f --=+，则)(x f y =是以)(2b a T +=为周

期的周期函数。

推论2.若函数满足条件()()

1,f x a f x +=-||则T=2a 则)(x f y =是以a T 2=为周期的周期函数。 推论3. 若函数满足条件()()

()

1,1f x f x a f x ++=||-则T=4a 则)(x f y =是以a T 4=为周期的周期函数。 定理7.若函数)(x f y =的图象关于直线 a x =与 )(b a b x ≠=对称，则)(x f y =是以)(2a b T -=为周期的

周期函数。

定理8.若函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 与点))(0,(b a b ≠ 对称，则)(x f y =是以)(2a b T -=为周期的周

期函数。

定理9.若函数)(x f y =的图象关于直线a x =与 点))(0,(b a b ≠，则)(x f y =是以)(4a b T -=为周期的周期

函数。