中考数学专题 特殊与一般

A( x1 ，0)，B( x2 ，0)，其中 x1 ， x2 是方程两相异实根， AB
b2 4ac
;
a
2.当 0 时，方程有两个相等实数根，抛物线与 x 轴只有一个交点； 3.当 0 时，方程没有实数根，抛物线与 x 轴没有交点．
由于二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，所以，善于促成二次函数问题与二次方程问题相互
转化，是解相关问题的常用技巧．
例题与求解
【例 1】（1）抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，若 ABC 是直角三
角形，则 ac =
.
（全国初中数学联赛试题）
（2）为使方程 x2 2 3x 1 1 b 有四个不同的实数根，则实数 b 的取值范围为
（南京市中考试题） 解题思路：由题设条件得相应二次方程两实根的符号特征，两实根的关系，这是解本例的突破口．
【例 4】设 p 是实数，二次函数 y x2 2 px p 的图像与 x 轴有 2 个不同的交点 A x1,0 ，B x2,0．
（1）求证： 2 px1 x22 3 p 0 ； （2）若 A，B 两点之间距离不超过 2 p 3 ，求 p 的最大值．
1．已知二次函数 y 2x2 4mx m2 的图象与 x 轴有两个交点 A，B，顶点为 C，若△ABC 的面积
为 4 2 ，则 m =
.
2．把抛物线 y 3x 12 向上平移 k 个单位，所得抛物线与 x 轴相交于点 A( x1 ，0)和 B( x2 ，0)，
已知
x12Biblioteka Baidu
x22
26 9
，那么平移后的抛物线的解析式为
x1
x2
，若 SAPB
1 ，则 b
与 c 的关系是（
）
A. b2 4c 1 0
B. b2 4c 1 0
C. b2 4c 4 0
D. b2 4c 4 0
（福州市中考试题）
8．设关于 x 的方程 ax2 a 2x 9a 0 有两个不等的实数根 x1 ， x2 ，且 x1 ＜1＜ x2 ，那么 a
在 2 与 4 之间？如果有，试确定 k 的取值范围；如果没有，试述理由．
（“祖冲之杯”邀请赛试题） 解题思路：由于根的表示形式复杂，因此，应把原问题转化为二次函数问题来讨论，即讨论相应二
次函数交点在 2 与 4 之间， k 应满足的条件，借助函数图象解题．
【例 6】设 m ， n 为正整数，且 m 2 .如果对一切实数 t ，二次函数 y x2 3 mt x 3mt 的图
OB 的长的比为 1:4，则 m 的值为（
A. 8
B.-4
） C. 11
D. -4 或 11
7 ． 已 知 二 次 函 数 y ax2 bx c 与 x 轴 相 交 于 两 点 A( x1 ， 0) ， B( x2 ， 0) ， 其 顶 点 坐 标 为
P
b , 4c 2
b2 4
，AB=
.
3
解题思路：对于（1）， ABC 为直角三角形，则 A，B 两点在原点的两旁，运用根与系数关系及射
影定理解题，对于（2），作出函数图象，借助图象解题．
【例 2】设一元二次方程 x2 2kx 6 k 0 的根分别满足下列条件：①两根均大于 1；②一根大
于 1，另一根小于 1；③两根均大于 1 且小于 4．试求实数 k 的取值范围． 解题思路：因为根的表达式复杂，故应把原问题转化为二次函数问题来解决，作出函数图象，借助
象与 x 轴的两个交点间的距离不小于 2t n ，求 m ， n 的值．
（全国初中数学联赛试题）
解题思路：由 x2 3 mt x 3mt 0 ，得 x1 3, x2 mt ，由条件得 mt 3 2t n ，因此不
等式对任意实数 t 都成立，故将问题转化为判别式结合正整数求解．
能力训练 A级
.
（杭州市中考试题）
3．抛物线 y ax2 bx ca 0 的图象如图所示．
（1）判断 abc 及 b2 4ac 的符号：
abc
0 ， b2 4ac
0； .
（2）当 OA OB 时， a,b, c 满足的关系式为________________ .
4．已知二次函数 y ax2 bx c 的图象过（-1，0）和（0，-1）两点，则 a 的取值范围为
图象找制约条件．
【例 3】如果抛物线 y x2 2m 1x m 1与 x 轴交于 A，B 两点，且 A 点在 x 轴的正半轴上，
B 点在 x 轴的负半轴上，OA 的长是 a，OB 的长是 b，
（1）求 m 的取值范围； （2）若 a : b 3 :1 ，求 m 的值，并写出此时抛物线的解析式； （3）设（2）的抛物线与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点是 M，问：抛物线是否存在一点 P，使得 PAB 面积等于 BCM 的面积的 8 倍？若存在，求出 P 点坐标，若不存在，请说明理由．
.
（黑龙江省中考试题）
5．若关于 x 的方程 2x2 3x m 0 的一个根大于-2，且小于-1，另一个根大于 2 且小于 3，则 m
的取值范围是（
A. m 9 8
）
B. 14 m 9 8
C. 9 m 5
D. 14 m 2
（天津市竞赛试题）
6．设函数 y x2 m 1x 4m 5 的图象如图所示，它与 x 轴交于 A，B 两点，且线段 OA 与
专题 特殊与一般
——二次函数与二次方程
阅读与思考
二次函数的一般形式是 y ax2 bx ca 0 ，从这个式子中可以看出，二次函数的解析式实际
上是关于 x 的二次三项式，若令 y=0，则得 ax2 bx c 0
这是一个关于 x 的一元二次方程，因此，二次函数与一元二次方程有着密切的联系，表现为： 1.当 0 时，方程有两个不相等实数根，抛物线与 x 轴有两个不同的交点，设为
（全国初中数学联赛试题）
解题思路：根据题意，方程 x2 2 px p 0 有两个不同的实数根 x1 ， x2 ，于是 0 ，综合运用
判别式、根与系数关系、根的方程、不等式来解．
【例 5】是否存在这样的实数 k ，使得二次方程 x2 2k 1x 3k 2 0 有两个实数根，且两根都