传染病模型

实验二：传染病模型

Si模型

问题

建立基于以下两个假设的模型，求出平衡点，给出参数，图示模型曲

线。

一、模型假设

(1)不考虑人口的出生、死亡流动等群动力因素。人口始终保持一个常数N。人群分为易感染者和已感染者，t时刻这两类人在总人口所占比例分别记作瀚⑴

(2)一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。设每个病人每天有效接触的平均的人数为，当易感染者与病人接触时就会

变成病人。

二、建立模型

根据假设，每个病人可以使s(t)个健康人染病，因为病人数为Ni(t)，所以每天共有S(t)Ni(t)

于是得

di

N Nsi

dt

又因为

s(t) i(t) 1

再记初始时刻(t 0)的病人比例为i0，贝卩

:

二*i*(1 i),i(0) i o dt

解得

i(t)

1 (—1) * e

i

三、求解平衡点

dL*i*(1 i) 0，得平衡点i i Ot 1

dt

设F(i) *i*(1 i)

易得F(0)' 0,F(1)' 0

故h 0不稳定，i2 1稳定

四、模型求解

Xt表示t时刻病人数，x0表示初始病人数，>> syms Xt x t x0 a

>> [Xt]=dsolve('Dx-a*x*(1-x)','x(0)=x0')

Xt =

1心-exp(-a*t)*(-1+x0)/x0) %

表达

设a=5, x0=0.01 则

>> a=5;x0=0.01;Xt=1/(1-exp(-a*t)*(-1+x0)/x0) Xt = a表示日接触率

求出Xt的符号

1/(1+99*exp(-5*t)) 求出Xt的解

析解

>> fplot('1心+99*exp(-5*t)) ',[0,2]) %

Xt的图像

Sis模型

问题

建立基于以下三个假设的模型，求出平衡点，给出参数，图示模型曲线。

一、模型假设

(1)不考虑人口的出生、死亡流动等群动力因素。人口始终保持

一个常数N。人群分为易感染者和已感染者，t时刻这两类人在总人

口所占比例分别记作s(t),i(t)

(2)—个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。设每

个病人每天有效接触的平均的人数为，当易感染者与病人接触时就

做出Xt的图像

会变成病人。

(3)每天被治愈的病人占总人口的比例为，病人治愈后成为仍

可以被感染的健康者。

二、模型建立

由si模型再结合假设(3)得sis应为

N d- Nsi Ni

dt

再记初始时刻(tO )的病人比例为i0，贝卩

乔si i , i (0) =i o

dt

为了简化模型设/ ，由,1 /的实际意义易知是整个传染

期每个病人有效接触的平均人数。利用/模型可以写作

di

(1 -

i i

dt

三、求解平衡点

由d；0得平衡点

,1

i 0 , i 1 —

四、模型求解

我们不去求模型的解，而是通过图形分析i(t)的变化规律

当1，建立m函数如下fun cti on di二sis2(t,i)

a=6;b=2; di=-a*i*(i-(1-1/b)) >> ts=0:0.01:2;

>> i0=[0.09]; % >> [t,i1]=ode45('sis2',ts,i0);[t,i1] >> ts=0:0.01:2;

>> i0=[0.8]; % >> [t,i2]=ode45('sis2',ts,i0);[t,i2] >> plot(t,i1,t,i2) % 此时i o 1 1 /

此时i0 1 1/

做出不同初值的模型图像

i : t图像( 1)

当1，建立m函数如下

fun cti on di二sis1(t,i) a=6;b=1/2; di=-a*i*(i-(1-1/b))

>> ts=0:0.01:2;

>> i0=[0.8];

>> [t,i]=ode45('sis1',ts,i0);[t,i]

>> plot(t,i)

i : t图像( 1)

Sir模型

问题

建立基于以下三个假设的模型，求出平衡点，给出参数，图示模型曲

线。

一、模型假设

(1)不考虑人口的出生、死亡流动等群动力因素。人口始终保持

一个常数N。人群分为易感染者、已感染者和获免疫的移出者，t时

刻这三类人在总人口所占比例分别记作s(t),i(t),r(t) 。

(2) —个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。设每

个病人每天有效接触的平均的人数为，当易感染者与病人接触时就会变成病人。

(3)每天被治愈的病人占总人口

的比例为，病人治愈后成为具

有免疫的健康者。

二、模型建立

由假设(1)显然有

s(t)+i(t)+r(t)=1

根据假设以及sis模型中缶si i依然成立。对于治获得免疫

的移出者有

dr

N Ni

dt

不妨设初始值

s(0)=s o,i(0)=i 0,r o=0

Sir模型可以写作

di

si i ,i(0) i o

-dT

si ,s(0) S o

ds

J—dt

三、模型求解

由于sir模型方程无法求出解析解，我们进行数值计算

不妨设=2, =0.4,s(0)=0.96,i(0)=0.04

建立m函数如下