《整式的乘除与因式分解》复习精品

法则：多项式除以单项式，先把这个多项 式的每一项除以这个单项式，再把所得的商 相加。
定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式，象 这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解
或分解因式。
九.
分解因式
与整式乘法的关系：
互为逆变形，互逆关系
提公因式法
方法
公式法
平方差公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式
配套练习 3.分解因式：
因式分解
(1) x 16
4
(2)(a b) x 4 x (a b) 4 x(b a)
3 2
典型例题
2
完全平方式
例4.已知 x 2ax 16 是一个完全平 方式，则a的值是( ) A B 8 4 C
8
完全平方式：
2
D
4
2
a 2ab b
a a 2a , b b b , m m 2m
3 3 3
2
( x) ( x) ( x) ( x) x
3 2 6
6
2、幂的乘方
法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 数学符号表示：
（其中m、n为正整数）
(a ) a
m n
mn
[(a ) ] a
m n p
4 4
mnp
（其中m、n、P为正整数）
练习：判断下列各式是否正确。
(a ) a
4 4
a , [( b ) ] b
8 2 3Biblioteka Baidu4 4n2 4 m
234
b
24
( x )
2 2 n 1
x
, (a ) (a ) (a )
m 4
2m 2
3、积的乘方
法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方， 再把所得的幂相乘。 符号表示：
整式的乘除与因式分解
因式分解复习小结
知识构架 单 项 式 整式加减 公式 整 式 运 算
整 式
多 项 式
整式乘法
因式分解
整式除法
（二）整式的乘法
1、同底数幂的乘法
法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
数学符号表示：
（其中m、n为正整数）
a a a
m n
4 4 8 2 2
m n
练习：判断下列各式是否正确。
（2）、完全平方公式
一般的，我们有：
(a b) a 2ab b ;
2 2 2
(a b) a 2ab b
2 2
2
其中a, b既可以是数, 也可以是代数式 .
即: (a b) a 2ab b
2 2
2
法则：两数和（或差）的平方，等于它们的 平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
a
b
配套练习
因式分解的应用
8. 如图，某小区规划在边长为x m的正 方形场地上，修建两条宽为2m的甬道， 其余部分种草，你能用几种方法计算甬 道所占的面积？
小结 单 项 式 整式加减 公式 整 式 运 算
整 式
多 项 式
整式乘法
因式分解
整式除法
作业 1.分解因式：
(1)4m 16m p
2 2 2
8.整式的除法：
（1）、同底数幂的除法
一般地，我们有
a a a
m n
0
m n
（其中a≠0，m、n为 正整数,并且m＞n ）
即：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
a 1(a 0)
即任何不等于0的数的0次幂都等于1
（2）、单项式除以单项式
法则：单项式除以单项式，把它们的系数、同 底数幂分别相除作为商的一个因式，对于只在被 除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一 个因式。 （3）、多项式除以单项式
典型例题
因式分解
例3.分解因式：
(1)a 2a a
3 2
(2)m (a b) 4n (b a)
2 2
分解因式的步骤
重点知识
因式分解
因式分解步骤： (1) “一提” ：有公因式，先提公 因式； (2) “二用”：提公因式后，括号内 用公式法分解；
(3) “三查”：检查每个括号能否继 续分解。
一提：提公因式 a2±2ab+b2=(a±b)2 步骤 二用：运用公式 三查：检查因式分解的结果是否正确 （彻底性）
（1）.公因式：一个多项式的各项都含有的公共的
因式，叫做这个多项式各项的公因式
含有的字母的最低次幂的积。
（2）找公因式：找各项系数的最大公约数与各项都
（3） 提公因式法：一般地，如果多项式的各项有
配套练习
因式分解的应用
2 2
7. △ABC的三边满足a 2bc c 2ab ， 则△ABC是( ) A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等边三角形 D 锐角三角形
典型例题
实际应用
例7.如图，在一块边长为acm的正方形 a 纸板四角，各剪去一个边长为bcm (b ) 2 的正方形，计算当 a 13.2, b 3.4 时，剩余部分的面积。
5,5
都不对
配套练习 5.分解因式：
特殊公式
x 8 x 12
2
典型例题
因式分解的应用
例6.求证：当n是整数时，两个连续奇 2 2 数(2n 1) (2n 1) 的平方差是8的倍 数。
配套练习
因式分解的应用
1 3 6.已知 a b , ab ，求 2 8 3 2 2 3 a b 2a b ab 的值。
n
2 m 3n
逆用“积的乘方”、“幂的乘方”：
(ab) a b
m
m m
(m是正整数)
(a ) a
m n
mn
(m，n都是正整数)
4.单项式与单项式相乘的法则：
单项式与单项式相乘，把它们的 系数、相同字母分别相乘，对于只 在一个单项式里含有的字母，则连 同它的指数作为积的一个因式。
5 .多项式与多项式相乘： ( a+b)(m+n) = a(m+n)+b(m+n) =am+an+bm+bn
(a+b)( m+n)=am+an+bm+bn
• 法则： 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘 另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
配套练习
整式运算
例.先化简，再求值：
x( x y
2
xy) y( x x y) 3x y 1 其中 x 1, y 。 2
2 2 3 2
2 2
(2)25(a b) 16(a b) (3)( x 1) 4 x
2 2 2
作业 2.一条水渠，其横断面为梯形，如图 所示，根据图中的长度用式子表示横 断面的面积，并计算当 a 2, b 0.8 ， 时的面积。 b b a a -b a
公因式，可以把这个公因式提到括号外面，作 为多项式的一个因式，然后用原多项式的每一 项除以这个公因式，所得的商作为另一个因式， 将多项式写成因式乘积的形式，这种因式分解 的方法提公因式法。
.
典型例题 例1.计算：
乘法公式
(1)3( y z ) (2 y z )( z 2 y)
2
(2)(3x 2)( x 2) (3 x)( x 3)
分清公式类型
重点知识 乘法公式 平方差公式：
(a b)( a b) a b
2
2
完全平方公式公式：
(a b) a 2ab b
2 2
2
特殊乘法公式：
( x p)( x q) x ( p q) x pq
2
配套练习 1.计算：
乘法公式
(1)( 2b 3a)( 2b 3a)
(2)(2 x y)
2
典型例题
乘法公式灵活运用
例2.若 a b 3, ab 1，求 2 2 a ab b 的取值范围。
整体思想：
a b
2
2
ab
2 2
ab
公式：
(a b) a 2ab b
2
配套练习 2.若 x
乘法公式灵活运用 ，求
y 8, xy 6 2 2 x y 的值。
(ab) a b , (其中n为正整数),
n n n
(abc) a b c (其中n为正整数)
n n n n
练习：计算下列各式。
1 2 3 2 3 3 2 3 (2 xyz ) , ( a b) , (2 xy ) , (a b ) 2
4
幂运算性质逆用
例.已知 10 的值。
m
5,10 7 ，求 10
注意：
• • • •
（1）(a-b)=-(b-a) (2 )（a-b)2=(b-a)2 (3) (-a-b)2=(a+b)2 (4) (a-b)3=-(b-a)3
7.添括号的法则：
• 添括号时，如果括号前面是正号，括 到括号里的各项都不变符号；如果括 号前面是负号，括到括号里的各项都 要改变符号。
配套练习
2
完全平方式
4.已知 9 x kx 25是一个完全平 方式，求k的值。
典型例题
特殊公式
2
例5.要在二次三项式 x x 6 中 2 填上一个整数，使它能按型 x ( p q) x pq分解为的形式，那么这些数只能
是( ) A 1,1 C 1,1,5,5 B D

6.乘法公式：
（1）、平方差公式
一般的，我们有：
(a b)(a b) a b
2
2
其中a, b既可以是数 , 也可以是代数式 .
即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个 数的平方差。这个公式叫（乘法的）平方差公式
说明：平方差公式是根据多项式乘以多 项式得到的，它是两个数的和与同样的 两个数的差的积的形式。