第六章 杨辉三角问题
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
（Ⅰ）解：由题意得的 分布列为
P
E
50%
3 16
70%
3 8
90%
7 16
则 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，获得1等奖或2等奖的概率 3 3 9 为 .
16 8 16
3 3 7 3 50% 70% 90% . 16 8 16 4
A B C D E F G
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
华罗庚是这样解释：钢珠从每一通道通过的可能情 况是：任何一层的左右两边的通道都只有一个可能情形， 而其他任一个通道的可能情形，等于它左右肩上两个通 道的可能情形相加。 于是，钢珠通过每一层每个通道的可能情形是： 第一层 第二层 第三层 第四层 第五层 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 ………
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆ 2007年高考
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
多
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆ 高考模 拟题
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
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（a+b)3= 1a3+3a2b+3ab2+1b3
（a+b)4= 1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4
（a+b)5= 1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5 （a+b)6=1a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+1b
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（a+b)n 展开式的系数就是杨辉三角的第n+1行 13
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
重要性质： （每年必考）
(a+b)n ＝ Cn0 an ＋Cn1 an-1b ＋Cn2 an-2b2 ＋‥· ＋ Cnk an-kbk ＋ ‥· ＋Cnnbn (n∈N*) 右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式 Cnk an-kbk ：二项展开式的通项,记作Tk+1 Tk+1 =Cnk an-kbk
☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
同学们，杨辉三角中还有很多奥秘等待你们去探索、发现！
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
解决高考问题
(2004年上海市普通高校春季高考数学试卷第11题)如图，在由
二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 _____行中 从左至右第14与第15个数的比为2:3.
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6.与数字2的幂的关系
☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
2
3
y2
n1
1+1 2 1 + 2 +1 1 + 3 + 3 +1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
(k∈{0,1,2, ‥· n})
Cnk： 二项式系数
(k∈{0,1,2, ‥· n})
二项式系数为Cn0，Cn1，Cn2 ，… Cnk , … , Cnn .
就是杨辉三角的第n+1行的数字.
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
第 1行 第 2行 第 3行 第 4行 第 5行 第 6行 第7 行 第 8行 第 9行 第n+1行
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
讨论
五.杨辉三角基本性质
1
1.三角形的两条斜边上都是 数字1，而其余的数都等于 它肩上的两个数字相加
2.杨辉三角具有对称性（对 称美），与首末两端“等距 离 ”的两个数相等
1 1 1 2 1 1 3 3 1 3. 所有行的第二个数构成等 1 4 6 4 1 差数列 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
2 2
1
2
0
1
杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂。
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写一写
☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
1 1 7.与二项式展开式系数的关系 1 2 1 1 3 3 1 （a+b)1= 1a+1b 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 2 2 2 （a+b) = 1a +2ab+1b 1 6 15 20 15 6 1
杨辉
杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质 与组合的性质有关，杨辉三角中蕴涵了许多优美的规 律。古今中外，许多数学家如贾宪、帕斯卡、华罗庚 等都曾深入研究过，并将研究结果应用于实践。
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
三.什么叫杨辉三角?
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
所有行的第二个 数构成等差数列
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
4.第三斜行的规律
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
【2010年高考浙江卷理科数学试题】（19）如图， 一个小球从M处投入，通过管道自上面下落到A或B 或C，已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能 性是相等的。 某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小 球落到A，B，C，则分别设为1，2，3等奖. （I）已知获得1，2，3等奖的折扣率分别为50%， 70%，90%，记随机变量 为获得k(k=1,2,3)等奖的 折扣率，求随机变量的分布列及数学期望 E （II）若有3人次（投入1球为1人次） 参加促销活动，记随机变量 为获 得1等奖或2等奖的人次，求 P( 2).
这个表就称为杨辉三角
4
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
四.这个表出自何处？ 这样的表，最早出现在我国南宋数学家 杨辉1261 年所著的《详解九章算术》一书 中。在这本书里，记载着类似下面的表：
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
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1
1 1 2 1 1
1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 ……
1 c
1 n
c c
2 n
r n
c
n 1 n
1
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8.斜行和水平行之间的关系
杨辉是谁?
什么叫杨辉三角 形?
……
2
第5行 1 5 10 10 5 1
…… …… ……
……
……
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
二.杨辉简介
解读:杨辉是中国南宋末年的一 位杰出的数学家、数学教育家。 字谦光，钱塘（今杭州）人。杨 辉的数学著作甚多,有《日用算 法》《杨辉算法》等.
n行中的第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和16
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
9.斐波那契数列
换一角度“斜”向看： 斜线的和依次为： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．． a1=1,a2=1, a3 ＝2，…… 1 1 1 有：an=an-1+an-2 (n≥3) 2 3 1 1 5 8 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
第0行
第1行 第2行 第3行 第4行
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
…… …… ……
……
……
……
n=34
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆ 高考模 拟题
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆ 高考模 拟题
由题意得 则
B (3,
9 ) 16
9 9 1701 P( 2) C12 ( ) 2 (1 ) . 3 3 16 16 4096
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
六.杨辉三角的实际应用
1.在弹球游戏中的应用
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ……………………………… 29
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
在弹球游戏中的应用
弹球游戏，小球向容器内 跌落，碰到第一层挡物后 向两侧跌落碰到第二层阻 挡物，再向两侧跌落第三 层阻挡物，如此一直下跌 最终小球落入底层。根据 具体地区获的相应的奖品 （AG区奖品最好，BF区 奖品次之，CE区奖品第三， D 区奖品最差）。
☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
第六章 杨辉三角问题
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
一.引入高考问题
(2004年上海市普通高校春季高考数学试卷第11题)如图，在由
二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 _____行中 从左至右第14与第15个数的比为2:3.
第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1
☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
历史证明，“杨辉三角”出现在杨 辉编著的《详解九章算术》一书中， 且我国北宋数学家贾宪（约公元11世 纪）已经用过它，这表明我国发现这 个表不晚于11世纪．然而，在欧洲， 这个表被认为是法国数学家物理学家 帕斯卡首先发现的,他们把这个表叫做 帕斯卡三角．其实，杨辉三角的发现 要比欧洲早500年左右.
n(n 1) an 2
三角形数
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
5.与数字11的幂的关系
11 1 11 2 11 3 11
0
1
y 11
n 1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
斐波那契数与植物花瓣 3……百合和蝴蝶花
5…蓝花、耧[lóu] 斗菜、金凤花、飞 燕草、毛茛[gè n] 花 8………………………翠雀花
13………………………金盏和玫瑰
21……………紫宛 34、55、89……………雏菊
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第 2行
☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
第 1行
1
1 1 第 3行 1 2 1 第 4行 1 3 3 1 第 5行 1 4 6 4 1 第 6行 1 5 10 10 5 1 第7行 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
（Ⅰ）解：由题意得的 分布列为
P
E
50%
3 16
70%
3 8
90%
7 16
则 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，获得1等奖或2等奖的概率 3 3 9 为 .
16 8 16
3 3 7 3 50% 70% 90% . 16 8 16 4
A B C D E F G
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
华罗庚是这样解释：钢珠从每一通道通过的可能情 况是：任何一层的左右两边的通道都只有一个可能情形， 而其他任一个通道的可能情形，等于它左右肩上两个通 道的可能情形相加。 于是，钢珠通过每一层每个通道的可能情形是： 第一层 第二层 第三层 第四层 第五层 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 ………
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆ 2007年高考
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多
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆ 高考模 拟题
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
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（a+b)3= 1a3+3a2b+3ab2+1b3
（a+b)4= 1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4
（a+b)5= 1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5 （a+b)6=1a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+1b
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（a+b)n 展开式的系数就是杨辉三角的第n+1行 13
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
重要性质： （每年必考）
(a+b)n ＝ Cn0 an ＋Cn1 an-1b ＋Cn2 an-2b2 ＋‥· ＋ Cnk an-kbk ＋ ‥· ＋Cnnbn (n∈N*) 右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式 Cnk an-kbk ：二项展开式的通项,记作Tk+1 Tk+1 =Cnk an-kbk
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同学们，杨辉三角中还有很多奥秘等待你们去探索、发现！
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解决高考问题
(2004年上海市普通高校春季高考数学试卷第11题)如图，在由
二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 _____行中 从左至右第14与第15个数的比为2:3.
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6.与数字2的幂的关系
☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
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y2
n1
1+1 2 1 + 2 +1 1 + 3 + 3 +1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
(k∈{0,1,2, ‥· n})
Cnk： 二项式系数
(k∈{0,1,2, ‥· n})
二项式系数为Cn0，Cn1，Cn2 ，… Cnk , … , Cnn .
就是杨辉三角的第n+1行的数字.
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第 1行 第 2行 第 3行 第 4行 第 5行 第 6行 第7 行 第 8行 第 9行 第n+1行
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讨论
五.杨辉三角基本性质
1
1.三角形的两条斜边上都是 数字1，而其余的数都等于 它肩上的两个数字相加
2.杨辉三角具有对称性（对 称美），与首末两端“等距 离 ”的两个数相等
1 1 1 2 1 1 3 3 1 3. 所有行的第二个数构成等 1 4 6 4 1 差数列 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
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杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂。
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写一写
☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
1 1 7.与二项式展开式系数的关系 1 2 1 1 3 3 1 （a+b)1= 1a+1b 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 2 2 2 （a+b) = 1a +2ab+1b 1 6 15 20 15 6 1
杨辉
杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质 与组合的性质有关，杨辉三角中蕴涵了许多优美的规 律。古今中外，许多数学家如贾宪、帕斯卡、华罗庚 等都曾深入研究过，并将研究结果应用于实践。
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
三.什么叫杨辉三角?
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1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
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所有行的第二个 数构成等差数列
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4.第三斜行的规律
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1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
【2010年高考浙江卷理科数学试题】（19）如图， 一个小球从M处投入，通过管道自上面下落到A或B 或C，已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能 性是相等的。 某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小 球落到A，B，C，则分别设为1，2，3等奖. （I）已知获得1，2，3等奖的折扣率分别为50%， 70%，90%，记随机变量 为获得k(k=1,2,3)等奖的 折扣率，求随机变量的分布列及数学期望 E （II）若有3人次（投入1球为1人次） 参加促销活动，记随机变量 为获 得1等奖或2等奖的人次，求 P( 2).
这个表就称为杨辉三角
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四.这个表出自何处？ 这样的表，最早出现在我国南宋数学家 杨辉1261 年所著的《详解九章算术》一书 中。在这本书里，记载着类似下面的表：
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1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 ……
1 c
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c c
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8.斜行和水平行之间的关系
杨辉是谁?
什么叫杨辉三角 形?
……
2
第5行 1 5 10 10 5 1
…… …… ……
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二.杨辉简介
解读:杨辉是中国南宋末年的一 位杰出的数学家、数学教育家。 字谦光，钱塘（今杭州）人。杨 辉的数学著作甚多,有《日用算 法》《杨辉算法》等.
n行中的第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和16
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆
9.斐波那契数列
换一角度“斜”向看： 斜线的和依次为： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．． a1=1,a2=1, a3 ＝2，…… 1 1 1 有：an=an-1+an-2 (n≥3) 2 3 1 1 5 8 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
第0行
第1行 第2行 第3行 第4行
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆ 高考模 拟题
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☆数 学 文 化 与 数 学 高 考☆ 高考模 拟题
由题意得 则
B (3,
9 ) 16
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六.杨辉三角的实际应用
1.在弹球游戏中的应用
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1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ……………………………… 29
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在弹球游戏中的应用
弹球游戏，小球向容器内 跌落，碰到第一层挡物后 向两侧跌落碰到第二层阻 挡物，再向两侧跌落第三 层阻挡物，如此一直下跌 最终小球落入底层。根据 具体地区获的相应的奖品 （AG区奖品最好，BF区 奖品次之，CE区奖品第三， D 区奖品最差）。
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第六章 杨辉三角问题
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一.引入高考问题
(2004年上海市普通高校春季高考数学试卷第11题)如图，在由
二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 _____行中 从左至右第14与第15个数的比为2:3.
第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1
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历史证明，“杨辉三角”出现在杨 辉编著的《详解九章算术》一书中， 且我国北宋数学家贾宪（约公元11世 纪）已经用过它，这表明我国发现这 个表不晚于11世纪．然而，在欧洲， 这个表被认为是法国数学家物理学家 帕斯卡首先发现的,他们把这个表叫做 帕斯卡三角．其实，杨辉三角的发现 要比欧洲早500年左右.
n(n 1) an 2
三角形数
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5.与数字11的幂的关系
11 1 11 2 11 3 11
0
1
y 11
n 1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
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斐波那契数与植物花瓣 3……百合和蝴蝶花
5…蓝花、耧[lóu] 斗菜、金凤花、飞 燕草、毛茛[gè n] 花 8………………………翠雀花
13………………………金盏和玫瑰
21……………紫宛 34、55、89……………雏菊
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第 2行
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第 1行
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1 1 第 3行 1 2 1 第 4行 1 3 3 1 第 5行 1 4 6 4 1 第 6行 1 5 10 10 5 1 第7行 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………