模型的动力学分析

有限理性Bertrand模型的动力学分析

摘要：研究了具非线性成本的有限理性Bertrand模型的动力学，分析了此非线性系统均衡的存在与稳定性问题，观看到了分叉、混沌行为等复杂现象，并对混沌现象的阻碍及操纵做了有益的探讨。

关键词：有限理性；Nash均衡；动态演化；稳定性

中图分类号: F713 文献标识码: A

Dynamics of Bertrand model with bounded rationality

Zeng xiang-jin, Yi qi-guo

(School of Sciences ,Wuhan University of Technology, Wuhan ,

Hubei ,China,430070)

Abstract : A Bertrand model with bounded rationality are studied. We analyze the existence and stability of the nonlinear system, and observe the complicated phenomenon such as bifurcation and chaos. We also study the influence and control of chaos and gain some helpful results.

Key words : bounded rationality ; Nash equilibrium; dynamical evolution; stability

Zeng Xiang-jin :Prof . ; School of Sciences , WU T , Wuhan 430070 , China.

1 引言

近年来,关于有限理性条件下的寡头博弈的研究工作引起了越来越多的经济学者的兴趣。Bischi和Naimzada 研究了一个具线性成本的有限理性双寡头博弈模型，Ahmed , Agiza 以及Hassan等把Puu 的模型修改成具非线性成本的有限理性多寡头博弈模型和不同行为规则的寡头非线性博弈的混沌动力学,观看到了分叉、混沌行为等复杂现象。Yassen 和Agiza 则研究了一个具有滞后效应的有限理性双寡头博弈模型,并发觉滞后效应能够增加博弈达到均衡的可能性[1-6]。

易余胤,盛昭瀚,肖条军研究了具溢出效应的有限理性双寡头博弈的动态演化[7],指出溢出效应将增加博弈达到Nash 均衡的可能性。文章用数字模拟的方法观测到了这一现象,并对混沌现象的出现及其对市场、企业的阻碍做了有益的探究。他们在不同行为规则下的Cournot 竞争的演化博弈模型[8]中，分析了把企业产量动态调整机制和企业行为规则选择机制结合在一起构成一个非线性的演化博弈动态系统,并分析了双寡头竞争的产量均衡和企业对行为规则的选择概率的动态演化。

然而，他们研究的寡头模型差不多上企业选择产量的Cournot模型，近几年在中国西式快餐市场, 双寡头麦当劳和肯德基之间的竞争在价格上频频做文章，胶卷市场富士激战柯达也

是以降价作为利器。这些实例表明有必要探讨寡头企业选择价格的Bertrand 模型的动力学机制，并就此探讨混沌的出现对市场的阻碍，并为企业在混沌市场中生存进展提供理论参考。 2 模型分析

假设p i (t)是第i 个寡头在时期t 的价格，i=1,2,t 时期的产量q 是由双方的价格决定的一个线性逆需求函数为q i (p i ,p j )= a-p i +bp j i,j =1,2, i ≠j ，其中常系数a>0,b<0,表示两企业的产品是互补的,b>0表示两企业的产品是可替代的。两个企业的成本函数为非线性形式c i (q i )= cq i 2,即为简化讨论，假设俩企业的生产方式类似。第i 个企业的利润函数为

i ∏(p i ,p j )=p i q i -cq i 2 i,j=1,2, i ≠j

假设每个寡头企业差不多上有限理性的，他们进行重复的Bertrand 双寡头博弈,他们都不完全清晰需求函数,只是在每一期依照对边际利润的可能来更新他们的生产策略：在每个时期t ,假如可能的边际利润是正(负) 的,那么企业将增加(减少)第t+1 期的价格. 每一期的边际利润按如下可能:

Φi (t) =

i i p ?∏?=a (1+2c)-2(1+c)p i +(1+2c)bp j , i,j =1,2, i ≠j (1)

其中

c c 21)1(2++

c 21)1(2++ (2) 那么描述Bertran

d 双寡头重复博弈的价格动态调整机制能够表

示为

p i(t+1)=p i(t) + αi(p i)Φi,i = 1 ,2 (3)

那个地点函数αi (p i) > 0 ,它表示第i个企业相应于他所可能的

边际利润的产量调整幅度。有了那个动态调整机制,完全理性博

弈的两个假设条件就能够放宽:双寡头不需要需求函数的完全信

息,只需要推断产量发生小变化时市场如何反应。产量的变化由

对边际利润的可能决定。显然,对边际利润的局部可能要比获得

需求函数的完全信息容易得多。这种每一期重新决定产量的动态

调整机制比传统经济学的瞬间调整更贴近现实, 因为现实的市

场经济中,产量决策不可能在瞬间改变。

假设函数αi( p i)为线性函数,αi(p i) = αi p i ,i = 1 ,2 ,

即假设产量的相对变化与边际利润是成比例的,即

[p i(t + 1) - p i(t)]/p i( t)= αiΦi

那个地点αi表示产量调整速度的正常数,代表企业对每单位产

品利润信号的反应速度。动态系统(2)能够写为如下形式

p i(t+1)=p i(t) + αi p i(t)[ a(1+2c)-2(1+c)p i+(1+2c)bp j]

(4)

从经济学的观点,只有非负均衡才有意义。能够定义那个有限理

性双寡头重复博弈的均衡点为系统(4) 的非负定点。则在系统(4)

中令p i(t+1)=p i(t), i = 1 ,2 得到非线性系统(4)的4个均衡

为

弹簧模型的动力学分析方法

弹簧模型的动力学分析方法【例二】如图所示，劲度系数为21,k k 的轻质弹簧竖直悬挂，两弹簧之间有一质量为1m 的重物，最下端挂一质量为2m 的重物，用一力竖直向上缓慢托起2m ，当力为多少时，两弹簧的总长等于弹簧原长之和？解析：两弹簧的总长等于弹簧原长之和，必定是弹簧1k 伸长， 1k 弹簧2k 压缩，且形变量21x x = 1m 对1m 物体有 g m x k x k 12211=+ 2k 对2m 物体有 222x k g m F += 2m 21121k k g m x x +==∴ 2 1122k k g m k g m F ++= 【变式3】如图所示，竖直放置的箱子内，用轻质弹簧支撑着一个重G 的物块，静止时物块对箱顶P 的压力为2 G ，若将箱子倒转，使箱顶向下，静止时物块对箱顶P 的压力是多少？（物块和箱顶间始终没有发生相对滑动） P 【变式4】如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上有两个轻质弹簧相连的物块B A ,，它们的质量分别为B A m m ,，弹簧的劲度系数为k ，C 为一固定挡板，现开始用一恒力F 沿斜面方向拉物块A 使之向上运动，求物块B 刚要离开C 时物块A 的加速度a 和从开始到此时物块A 的位置d （重力加速度为g ）（变式3图） C A B θ （变式4图）【变式5】如图所示，水平面上质量均为m 的两木块B A ,用劲度系数为k 的轻质弹簧连接，整个系统处于平衡状态，现用一竖直向上的力F 拉动木块A ，使木块A 向上做加速度为a 的匀加速直线运动，取木块A 的起始位置为坐标原点，图乙

中实线部分表示从力F 作用在木块A 到木块B 刚离开地面这个过程中，F 和木块A 的位移x 之间的关系，则（） A.k ma x /0-= F F B.k g a m x /)(0+-= A 0F C.ma F =0 B D.)(0g a m F += 0x O x 甲乙【2】如图所示，B A ,两个物快的重力分别是N G N G B A 4,3==，弹簧的重力不计，系统沿着竖直方向处于静止状态，此时弹簧的弹力N F 2=，则天花板受到的拉力和地板受到的有压力有可能是（） A.N N 6,1 A B.N N 6,5 C.N N 2,1 B D.N N 2,5 【5】如图所示，一辆有力驱动力驱动的小车上有一水平放置的弹簧，其左端固定在小车上，右端与一小球相连，设在某一段时间内小球与小车相对静止且弹簧处于压缩状态，若忽略小球与小车间的摩擦力，则在此段时间内小车可能是（） A.向右做加速运动 B.向右做减速运动 C.向左做加速运动 D.向左做减速运动左右【6】如图所示，质量均为m 的物体B A ,通过一劲度系数为k 的轻质弹簧相连，开始时B 放在地面上，B A ,都处于静止状态，现通过细绳缓慢地将A 向上提升距离1L 时，B 刚要离开地面，若将A 加速向上拉起，B 刚要离开地面时，A 上升的距离为2L ，假设弹簧一直都在弹性限度范围内，则（） A.k mg L L = =21 B. k mg L L 221== A C.121,L L k mg L >= C.121,2L L k mg L >= B

弹簧阻尼系统动力学模型ams仿真

弹簧阻尼系统动力学模型a m s仿真集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

震源车系统动力学模型分析报告一、项目要求 1）独立完成1个应用Adams软件进行机械系统静力、运动、动力学分析问题，并完成一份分析报告。分析报告中要对所计算的问题和建模过程做简要分析，以图表形式分析计算结果。 2）上交分析报告和Adams的命令文件，命令文件要求清楚、简洁。二、建立模型 1）启动admas，新建模型，设置工作环境。对于这个模型，网格间距需要设置成更高的精度以满足要求。在ADAMS/View菜单栏中，选择设置（Setting）下拉菜单中的工作网格（WorkingGrid）命令。系统弹出设置工作网格对话框，将网格的尺寸(Size)中的X和Y分别设置成750mm和500mm，间距（Spacing）中的X和Y都设置成50mm。然后点击“OK”确定。如图2-1所表示。图2-1设置工作网格对话框 2）在ADAMS/View零件库中选择矩形图标，参数选择为“onGround”，长度（Length）选择40cm高度Height为1.0cm，宽度Depth为30.0cm，建立系统的平台，如图2-2所示。以同样的方法，选择参数“NewPart”建立part-2、part-3、part-4，得到图形如2-3所示，图2-2图2-3创建模型平台 3）施加弹簧拉力阻尼器，选择图标，根据需要输入弹簧的刚度系数K和粘滞阻尼系数C，选择弹簧作用的两个构件即可，施加后的结果如图2-4 图2-4创建弹簧阻尼器

4）添加约束，选择棱柱副图标，根据需要选择要添加约束的构件，添加约束后的模型如2-5所示。图2-5添加约束至此模型创建完成三、模型仿真 1)、在无阻尼状态下，系统仅受重力作用自由振动，将最下层弹簧的刚度系数K设置为10，上层两个弹簧刚度系数均设置为3，小物块的支撑弹簧的刚度系数为4，阻尼均为0，进行仿真，点击图标，设置EndTime为5.0，StepSize为0.01，Steps为50，点击图标，开始仿真对所得数据进行分析。选择物块的位移、速度、加速度与时间的图像如图3-1、3-2、3-3所示，经过傅里叶变换之后我们可以清楚地看到系统的各阶固有频率。图3-1位移与时间图像以及FFT变换图像图3-2速度与时间图像以及FFT变换图像图3-3加速度与时间图像以及FFT变换图像通过傅里叶变换，从图中可以看出系统为三阶系统，表现出三阶的固有频率，通过测量得到w1=2.72，w2=4.29，w3=6.15.。 2）为了更进一步验证系统的各阶固有频率，我们给系统施加一定频率的正弦激振力，使系统做受迫振动，观察系统的振动情况，（a）F1=50*sin(2*3.14*w1*time)时，物块振动的速度与时间的图像如3-4所示。图3-4 F1作用下速度与时间图像以及FFT变换图像

系统动力学模型部分集

第10章系统动力学模型系统动力学模型(System Dynamic)是社会、经济、规划、军事等许多领域进行战略研究的重要工具，如同物理实验室、化学实验室一样，也被称之为战略研究实验室，自从问世以来，可以说是硕果累累。 1 系统动力学概述 2 系统动力学的基础知识 3 系统动力学模型第1节系统动力学概述 1.1 概念系统动力学是一门分析研究复杂反馈系统动态行为的系统科学方法，它是系统科学的一个分支，也是一门沟通自然科学和社会科学领域的横向学科，实质上就是分析研究复杂反馈大系统的计算仿真方法。系统动力学模型是指以系统动力学的理论与方法为指导，建立用以研究复杂地理系统动态行为的计算机仿真模型体系，其主要含义如下： 1 系统动力学模型的理论基础是系统动力学的理论和方法； 2 系统动力学模型的研究对象是复杂反馈大系统； 3 系统动力学模型的研究内容是社会经济系统发展的战略与决策问题，故称之为计算机仿真法的“战略与策略实验室”； 4 系统动力学模型的研究方法是计算机仿真实验法，但要有计算

机仿真语言DYNAMIC的支持，如：PD PLUS，VENSIM等的支持； 5 系统动力学模型的关键任务是建立系统动力学模型体系； 6 系统动力学模型的最终目的是社会经济系统中的战略与策略决策问题计算机仿真实验结果，即坐标图象和二维报表；系统动力学模型建立的一般步骤是：明确问题，绘制因果关系图，绘制系统动力学模型流图，建立系统动力学模型，仿真实验，检验或修改模型或参数，战略分析与决策。地理系统也是一个复杂的动态系统，因此，许多地理学者认为应用系统动力学进行地理研究将有极大潜力，并积极开展了区域发展，城市发展，环境规划等方面的推广应用工作，因此，各类地理系统动力学模型即应运而生。 1.2 发展概况系统动力学是在20世纪50年代末由美国麻省理工学院史隆管理学院教授福雷斯特（JAY.W.FORRESTER）提出来的。目前，风靡全世界，成为社会科学重要实验手段，它已广泛应用于社会经济管理科技和生态灯各个领域。福雷斯特教授及其助手运用系统动力学方法对全球问题，城市发展，企业管理等领域进行了卓有成效的研究，接连发表了《工业动力学》，《城市动力学》，《世界动力学》，《增长的极限》等著作，引起了世界各国政府和科学家的普遍关注。在我国关于系统动力学方面的研究始于1980年，后来，陆续做了大量的工作，主要表现如下： 1）人才培养

《机械系统动力学仿真分析软件》

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(完整版)系统动力学模型案例分析

系统动力学模型介绍 1.系统动力学的思想、方法系统动力学对实际系统的构模和模拟是从系统的结构和功能两方面同时进行的。系统的结构是指系统所包含的各单元以及各单元之间的相互作用与相互关系。而系统的功能是指系统中各单元本身及各单元之间相互作用的秩序、结构和功能，分别表征了系统的组织和系统的行为，它们是相对独立的，又可以在—定条件下互相转化。所以在系统模拟时既要考虑到系统结构方面的要素又要考虑到系统功能方面的因素，才能比较准确地反映出实际系统的基本规律。系统动力学方法从构造系统最基本的微观结构入手构造系统模型。其中不仅要从功能方面考察模型的行为特性与实际系统中测量到的系统变量的各数据、图表的吻合程度，而且还要从结构方面考察模型中各单元相互联系和相互作用关系与实际系统结构的一致程度。模拟过程中所需的系统功能方面的信息，可以通过收集，分析系统的历史数据资料来获得，是属定量方面的信息，而所需的系统结构方面的信息则依赖于模型构造者对实际系统运动机制的认识和理解程度，其中也包含着大量的实际工作经验，是属定性方面的信息。因此，系统动力学对系统的结构和功能同时模拟的方法，实质上就是充分利用了实际系统定性和定量两方面的信息，并将它们有机地融合在一起，合理有效地构造出能较好地反映实际系统的模型。 2.建模原理与步骤

(1)建模原理用系统动力学方法进行建模最根本的指导思想就是系统动力学的系统观和方法论。系统动力学认为系统具有整体性、相关性、等级性和相似性。系统内部的反馈结构和机制决定了系统的行为特性，任何复杂的大系统都可以由多个系统最基本的信息反馈回路按某种方式联结而成。系统动力学模型的系统目标就是针对实际应用情况，从变化和发展的角度去解决系统问题。系统动力学构模和模拟的一个最主要的特点，就是实现结构和功能的双模拟，因此系统分解与系统综合原则的正确贯彻必须贯穿于系统构模、模拟与测试的整个过程中。与其它模型一样，系统动力学模型也只是实际系统某些本质特征的简化和代表，而不是原原本本地翻译或复制。因此，在构造系统动力学模型的过程中，必须注意把握大局，抓主要矛盾，合理地定义系统变量和确定系统边界。系统动力学模型的一致性和有效性的检验，有一整套定性、定量的方法，如结构和参数的灵敏度分析，极端条件下的模拟试验和统计方法检验等等，但评价一个模型优劣程度的最终标准是客观实践，而实践的检验是长期的，不是一二次就可以完成的。因此，一个即使是精心构造出来的模型也必须在以后的应用中不断修改、不断完善，以适应实际系统新的变化和新的目标。 (2)建模步骤系统动力学构模过程是一个认识问题和解决问题的过程，根据人们对客观事物认识的规律，这是一个波浪式前进、螺旋式上升的过程，因此它必须是一个由粗到细，由表及里，多次循环，不断深化的过程。系统动力学将整个构模过程归纳为系统分析、结构分析、模型建立、模型试验和模型使用五大步骤这五大步骤有一定的先后次序，但按照构模过程中的具体情况，它们又都是交叉、反复进行的。第一步系统分析的主要任务是明确系统问题，广泛收集解决系统问题的有关数据、资料和信息，然后大致划定系统的边界。第二步结构分析的注意力集中在系统的结构分解、确定系统变量和信息反馈机制。第三步模型建立是系统结构的量化过程(建立模型方程进行量化)。第四步模型试验是借助于计算机对模型进行模拟试验和调试，经过对模型各种性能指标的评估不断修改、完善模型。第五步模型使用是在已经建立起来的模型上对系统问题进行定量的分析研究和做各种政策实验。 3.建模工具系统动力学软件VENSIM PLE软件 4.建模方法因果关系图法在因果关系图中，各变量彼此之间的因果关系是用因果链来连接的。因果链是一个带箭头的实线(直线或弧线)，箭头方向表示因果关系的作用方向，箭头旁标有“+”或“-”号，分别表示两种极性的因果链。

系统动力学模型

第10 章系统动力学模型系统动力学模型(System Dynamic)是社会、经济、规划、军事等许多领域进行战略研究的重要工具，如同物理实验室、化学实验室一样，也被称之为战略研究实验室，自从问世以来，可以说是硕果累累。 1 系统动力学概述 2 系统动力学的基础知识 3 系统动力学模型第1 节系统动力学概述 1.1 概念系统动力学是一门分析研究复杂反馈系统动态行为的系统科学方法，它是系统科学的一个分支，也是一门沟通自然科学和社会科学领域的横向学科，实质上就是分析研究复杂反馈大系统的计算仿真方法。系统动力学模型是指以系统动力学的理论与方法为指导，建立用以研究复杂地理系统动态行为的计算机仿真模型体系，其主要含义如下： 1 系统动力学模型的理论基础是系统动力学的理论和方法； 2 系统动力学模型的研究对象是复杂反馈大系统； 3 系统动力学模型的研究内容是社会经济系统发展的战略与决策问题，故称之为计算机仿真法的“战略与策略实验室” ； 4 系统动力学模型的研究方法是计算机仿真实验法，但要有计算机仿真语言DYNAMIC勺支持，如：PD PLUS VENSIM等的支持； 5 系统动力学模型的关键任务是建立系统动力学模型体系； 6 系统动力学模型的最终目的是社会经济系统中的战略与策略决策问题计

算机仿真实验结果，即坐标图象和二维报表；系统动力学模型建立的一般步骤是：明确问题，绘制因果关系图，绘制系统动力学模型流图，建立系统动力学模型，仿真实验，检验或修改模型或参数，战略分析与决策。地理系统也是一个复杂的动态系统，因此，许多地理学者认为应用系统动力学进行地理研究将有极大潜力，并积极开展了区域发展，城市发展，环境规划等方面的推广应用工作，因此，各类地理系统动力学模型即应运而生。 1.2 发展概况系统动力学是在20世纪50年代末由美国麻省理工学院史隆管理学院教授福雷斯特（JAY.W.FORRESTERI出来的。目前，风靡全世界，成为社会科学重要实验手段，它已广泛应用于社会经济管理科技和生态灯各个领域。福雷斯特教授及其助手运用系统动力学方法对全球问题，城市发展，企业管理等领域进行了卓有成效的研究，接连发表了《工业动力学》，《城市动力学》，《世界动力学》，《增长的极限》等著作，引起了世界各国政府和科学家的普遍关注。在我国关于系统动力学方面的研究始于1980 年，后来，陆续做了大量的工作，主要表现如下： 1 ）人才培养自从1980年以来，我国非常重视系统动力学人才的培养，主要采用“走出去，请进来”的办法。请进来就是请国外系统动力学专家来华讲学，走出去就是派留学生，如：首批派出去的复旦大学管理学院的王其藩教授等，另外，还多次举办了全国性的讲习班。 2 ）编译编写专著

动力学模型

月球软着陆控制系统综合仿真及分析（课程设计）在月球探测带来巨大利益的驱使下，世界各国纷纷出台了自己的探月计划，再一次掀起了新一轮探月高潮。在月球上着陆分为两种，一种称为硬着陆，顾名思义，就是探测器在接近月球时不利用制动发动机减速而直接撞击月球。另一种称为软着陆，这种着陆方式要求探测器在距月面一定高度时开启制动系统，把探测器的速度抵消至零，然后利用小推力发动机把探测器对月速度控制在很小的范围内，从而使其在着陆时的速度具有几米每秒的数量级。显然，对于科学研究，对探测器实施月球软着陆的科学价值要大于硬着陆。 1月球软着陆过程分析目前月球软着陆方式主要有以下两种方式：第一种就是直接着陆的方式。探测器沿着击中轨道飞向月球，然后在适当的月面高度实施制动减速，最终使探测器软着陆于月球表面。采用该方案时，探测器需要在距离目标点很远时就选定着陆点，并进行轨道修正。不难发现，该方法所选的着陆点只限于月球表面上接近轨道能够击中的区域，所以能够选择的月面着陆点的区域是相当有限的。第二种方法就是先经过一条绕月停泊轨道，然后再伺机制动下降到月球表面，如图17-1所示。探测器首先沿着飞月轨道飞向月球，在距月球表面一定高度时，动力系统给探测器施加一制动脉冲，使其进入一条绕月运行的停泊轨道；然后根据事先选好的着陆点，选择霍曼变轨起始点，给探测器施加一制动脉冲，使其进入一条椭圆形的下降轨道，最后在近月点实施制动减速以实现软着陆。主制动段开始点图17-1 月球软着陆过程示意图与第一种方法相比，第二种方法有以下几个方面较大的优越性： 1）探测器可以不受事先选定着陆点的约束，可以在停泊轨道上选择最佳的着陆点，具有很大的选择余地。

7-2 动力学之“三大基本模型”

专题7.2、动力学之三大基本模型题型一、过程分析之板块模型由滑块和木板组成的相互作用的系统一般称之为“木板—滑块模型”,简称'板块模型'。此类问题涉及的相关知识点包括：静摩擦力、滑动摩擦力、运动学规律、牛顿运动定律、动能定理、能量转化与守恒等多方面的知识。此类问题涉及的处理手段包括：受力分析、运动分析、临界条件判断、图像法处理、多过程研究等多种方法。因此对大家的综合分析能力要求极高,也是高考的热点之一。 “滑块——木板”模型【解题方略】两种类型如下：木板条件是物块恰好滑到木板左端时二者速度相等，则位移关系为物块条件是物块恰好滑到木板右端时二者速度相等，则位移关系为例1、如图所示，质量为M=8kg的小车放在光滑的水平面上，在小车左端加一水平推力F=8N，当小车向右运动的速度达到v0=1.5m/s时，在小车前端轻轻放上一个大小不计、质量为m=2kg的小物块，物块与小车间的动摩擦因数μ=0.2。已知运动过程中，小物块没有从小车上掉下来，取g=10m/s2。求：（1）经过多长时间两者达到相同的速度；（2）小车至少多长，才能保证小物块不从小车上掉下来；（3）当小车与物块达到共速后在小车合物块之间是否存在摩擦力？（4）从小物块放上小车开始，经过t=1.5s小物块通过的位移大小为多少；（5）二者共速后如果将推力F 增大到28N ，则二者的加速度大小分别为；【答案】（1）1s.(2)0.75m. (3)有，1.6N .(4)2.1m （5）2m/s2. 8m/s2 【解析】

对木块受力分析得：)1...(1ma mg =μ 对小车受力分析得：)2...(2Ma mg F =-μ 解得： ... /5.0.../22 221s m a s m a == 分别对两车进行运动分析：假设经过时间t 两车达到共速，且达到共速时物块恰好到达木板的左端；对物块： ) 4...(2 1) 3...(2 1111t a x t a v == 对小车： ) 4...(2 1 ) 5...(2202202t a t v x t a v v +=+= 根据题意： ) 6...()5...(2121l x x v v v =-==共联立1、2、3、4、5、6式得：t=1s ， l=0.75，v 共=2m/s （3）当物块与小车共速后对整体受力分析： 2 /8.0)7...()(s m a a m M F =+= 此时小车与物块之间的摩擦力转化为静摩擦力，隔离物块对物块受力分析得：N ma f 6.18.02=?==。所以当二者共速后在小车物块之间存在静摩擦力大小为：1.6N . （4）二者共速后将以0.8m/s 2的加速度继续前进，所以在1.5s 内物块经历了两段运动（0-1s 与1-1.5s ），对物块进行运动分析得： )8...(/11x x x += 代入参数得：m x 1122 1 21=??= ， m x 1.15.08.02 1 5.022/1=??+?= m x 1.2= （5）当外力F 增加到28N 时，需要先判断，物块与小车之间是否发生相对运动是处理该问的关键；设：当外力F 增大到F0时。小车与物块之间刚好发生相对运动，此时AB 之间的静摩擦力达到最大值；结合叠加体临界问题的求解方法（见专题06）可得：

汽车动力学仿真模型的发展

!汽车动力学发展历史简介汽车动力学是伴随着汽车的出现而发展起来的一门专业学科。人们很早就认识到“$%&’()*+”转向和应用弹性悬架可使乘客感到更加舒适等基本原理［,］，但那只是一种感性的认识。在各国学者的不懈努力下，这门学科逐渐发展成熟。-’.’/在,00#年1)’%23举行的题为“车辆平顺性和操纵稳定性”的会议上发表的论文，对,00"年以前汽车动力学的发展做了较为全面的总结［ !］，见表,。近年来汽车动力学又有了进一步发展，大量的高水平学术论文和经典的汽车动力学专著相继被发表，而且开发出许多专为汽车动力学研究建立模型的软件，如美国密西根大学开发的$456%*(、$45678)等商业软件。汽车是一复杂的连续体系统，要想对其进行动力特性的预测和优化需建立经合理简化的抽象汽车模型，以达到缩短产品开发周期、保证整车性能指标和降低产品成本的目的。 "汽车动力学模型的发展汽车动力学从严格意义上来讲包括对一切与车辆系统相关运动的研究，然而最为核心的是平顺性和操纵稳定性这两大领域，一般认为平顺性主要研究影响车身的垂向跳跃、俯仰、侧倾振动的因素，而操纵稳定性主要研究车辆的横向、横摆和侧倾运动。建模时一般假设平顺性和操纵稳定性之间无偶合关系。 "#!汽车平顺性模型在汽车平顺性的早期研究阶段，限于当时数学、力学理论、计算手段及试验方法，把系统简化成集中质量—弹簧—阻尼模型，如图,所示。图,整车集中质量—弹簧—阻尼模型此类模型一般先以函数的形式给出其动能!和势能"以及表达系统阻尼性质的物理量耗散能 !的表达式：【摘要】汽车动力学包括对一切与车辆系统相关运动的研究，其最核心的是平顺性和操纵稳定性这两大领域。在简要说明了汽车动力学发展过程的基础上介绍了平顺性和操纵稳定性两大领域的模型发展过程。平顺性模型主要经过集中质量—弹簧—阻尼模型、有限元模型和动态子结构模型阶段；而操纵稳定性模型从低自由度线性模型、非线性多自由度模型发展到多体模型。最后提出了汽车动力学仿真模型的发展动向。主题词：汽车动力学模型发展中图分类号：9:;,<,文献标识码：$ 文章编号：,"""=#>"#（!""#）"!=""",=": $%&%’()*%+,(-.%/01’%$2+3*0140*5’3,0(+6(7%’ ?2*+.@’8A?2*+.B8+.2*8AC48D*8/8+AB8*D6+.E’8 （B8/8+9+8F’(785G ）【89:,;31,】H’28%/’IG+*)8%7754I8’7*//)6F’)’+57(’/’F*+556F’28%/’7G75’)*+I 857%6(’8752’5J6E8’/I76E (8I’K *L8/85G *+I 2*+I/8+.75*L8/85G<1+52’M*M’(AI’F’/6M8+.M(6%’776E )6I’/76E F’28%/’(8I’*L8/85G *+I 2*+I/8+.75*L8/85G *(’8+K 5(6I4%’I *E5’(I’F’/6M)’+5%64(7’6E F’28%/’IG+*)8%78778)M/G 8+5(6I4%’I

滑块—木板模型的动力学分析

滑块—木板模型的动力学分析湖北省黄梅县第五中学石成美在高三物理复习中，滑块—木板模型作为力学的基本模型经常出现，是对一轮复习中直线运动和牛顿运动定律有关知识的巩固和应用。这类问题的分析有利于培养学生对物理情景的想象能力，为后面动量和能量知识的综合应用打下良好的基础。滑块—木板模型的常见题型及分析方法如下：例1如图1所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m的物块A和木板B，A、B间的最大静摩擦力为μmg，现用水平拉力F拉B，使A、B以同一加速度运动，求拉力F的最大值。分析：为防止运动过程中A落后于B（A不受拉力F的直接作用，靠A、B间的静摩擦力加速），A、B一起加速的最大加速度由A决定。解答：物块A能获得的最大加速度为：． ∴A、B一起加速运动时，拉力F的最大值为：．变式1例1中若拉力F作用在A上呢？如图2所示。解答：木板B能获得的最大加速度为：。

∴A、B一起加速运动时，拉力F的最大值为：．变式2在变式1的基础上再改为：B与水平面间的动摩擦因数为（认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力），使A、B以同一加速度运动，求拉力F的最大值。解答：木板B能获得的最大加速度为：设A、B一起加速运动时，拉力F的最大值为F m，则：解得：例2 如图3所示，质量M=8kg的小车放在光滑的水平面上，在小车右端加一水平恒力F，F=8N，当小车速度达到1．5m/s时，在小车的前端轻轻放上一大小不计、质量m=2kg的物体，物体与小车间的动摩擦因数μ=0．2，小车足够长，求物体从放在小车上开始经t=1．5s通过的位移大小。（g取10m/s2）解答：物体放上后先加速：a1=μg=2m/s2 此时小车的加速度为：

动力学主要仿真软件

车辆动力学主要仿真软件 I960年，美国通用汽车公司研制了动力学软件DYNA主要解决多自由度无约束的机械系统的动力学问题，进行车辆的“质量－弹簧－阻尼”模型分析。作为第一代计算机辅助设计系统的代表，对于解决具有约束的机械系统的动力学问题，工作量依然巨大，而且没有提供求解静力学和运动学问题的简便形式。随着多体动力学的诞生和发展，机械系统运动学和动力学软件同时得到了迅速的发展。1973 年,美国密西根大学的N.Orlandeo 和，研制的ADAM 软件，能够简单分析二维和三维、开环或闭环机构的运动学、动力学问题，侧重于解决复杂系统的动力学问题，并应用GEAR 刚性积分算法，采用稀疏矩阵技术提高计算效率。1977年,美国Iowa 大学在，研究了广义坐标分类、奇异值分解等算法并编制了DADS软件，能够顺利解决柔性体、反馈元件的空间机构运动学和动力学问题。随后，人们在机械系统动力学、运动学的分析软件中加入了一些功能模块，使其可以包含柔性体、控制器等特殊元件的机械系统。德国航天局DLF早在20世纪70年代，Willi Kort tm教授领导的团队就开始从事MBS软件的开发，先后使用的MBS软件有Fadyna (1977)、MEDYNA1984),以及最终享誉业界的SIMPAC(1990). 随着计算机硬件和数值积分技术的迅速发展，以及欧洲航空航天事业需求的增长，DLR决定停止开发基于频域求解技术的MED YN软件，并致力于基于时域数值积分技术的发展。1985年由DLR开发的相对坐标系递归算法的SIMPACI软件问世，并很快应用到欧洲航空航天工业，掀起了多体动力学领域的一次算法革命。同时，DLR首次在SIMPAC嗽件中将多刚体动力学和有限元分析技术结合起来，开创了多体系统动力学由多刚体向刚柔混合系统的发展。另外，由于SIMPACI算法技术的优势，成功地将控制系统和多体计算技术结合起来，发展了实时仿真技术。

专题02 常见动力学模型(上)(解析版)

浙江高考物理尖子生核心素养提升之常见动力学模型(上) 滑块滑板问题是高考常考的热点，这类问题对学生的综合分析能力和数学运算能力要求较高，而且滑块滑板模型常和功能关系、动量守恒等结合，分析过程较复杂。学生常因为对过程分析不清或计算失误而丢分。命题点一水平面上的滑块—滑板模型 1．两种位移关系滑块由滑板的一端运动到另一端的过程中，若滑块和滑板同向运动，位移之差等于板长；反向运动时，位移大小之和等于板长。 2．解题思路 [典例]如图所示，质量m＝1 kg的物块A放在质量M＝4 kg的木板B的左端，起初A、B 静止在水平地面上。现用一水平向左的力F作用在B上，已知A、B之间的动摩擦因数为μ1＝0.4，地面与B之间的动摩擦因数为μ2＝0.1。假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g＝10 m/s2。求： (1)能使A、B发生相对滑动的力F的最小值； (2)若力F＝30 N，作用1 s后撤去，要想A不从B上滑落，则B至少多长；从开始到A、B 均静止，A的总位移是多少。 [解析](1)A的最大加速度由A、B间的最大静摩擦力决定，即对于A，根据牛顿第二定律得：μ1mg＝ma m 解得a m＝4 m/s2 对于A、B整体，根据牛顿第二定律得： F－μ2(M＋m)g＝(M＋m)a m 解得F＝25 N。 (2)设力F作用在B上时A、B的加速度大小分别为a1、a2，撤去力F时速度分别为v1、v2，

撤去力F后A、B速度相等前加速度大小分别为a1′、a2′，A、B速度相等时速度为v3，加速度大小为a3 对于A，根据牛顿第二定律得：μ1mg＝ma1 得a1＝4 m/s2，v1＝a1t1＝4 m/s 对于B，根据牛顿第二定律得： F－μ1mg－μ2(M＋m)g＝Ma2 得a2＝5.25 m/s2，v2＝a2t1＝5.25 m/s 撤去力F：a1′＝a1＝4 m/s2 μ1mg＋μ2(M＋m)g＝Ma2′ 得a2′＝2.25 m/s2 经过t2时间后A、B速度相等v1＋a1′t2＝v2－a2′t2 得t2＝0.2 s 共同速度v3＝v1＋a1′t2＝4.8 m/s 从开始到A、B相对静止，A、B的相对位移即为B的最短长度L L＝x B－x A＝v22 2a2＋v32－v22 －2a2′ － 1 2a1(t1＋t2) 2＝0.75 m A、B速度相等后共同在水平地面上做匀减速运动，加速度大小a3＝μ2g＝1 m/s2 对于A、B整体从v3至最终静止位移为 x＝v32 2a3＝11.52 m 所以A的总位移为x A总＝x A＋x＝14.4 m。 [答案](1)25 N(2)0.75 m14.4 m [规律方法] 求解“滑块—滑板”类问题的方法技巧 (1)弄清各物体初态对地的运动和相对运动(或相对运动趋势)，根据相对运动(或相对运动趋势)情况，确定物体间的摩擦力方向。 (2)准确地对各物体进行受力分析，并根据牛顿第二定律确定各物体的加速度，结合加速度和速度的方向关系确定物体的运动情况。 (3)速度相等是这类问题的临界点，此时往往意味着物体间的相对位移最大，物体的受力和运动情况可能发生突变。 [集训冲关] 1.如图所示，光滑水平面上静止放着长为L＝1.6 m、质量为M＝3 kg的木板，一质量为m＝1 kg的物块放在木板的最右端，物块与木板之间的动摩擦因数为μ＝0.1，对木板施加一水平向右的拉力F，g取10 m/s2。

弹簧阻尼系统动力学模型adams仿真

2）在ADAMS/View零件库中选择矩形图标，参数选择为“on Ground”，长度（Length）选择40cm高度Height为1.0cm，宽度Depth为30.0cm，建立系统的平台，如图2-2所示。以同样的方法，选择参数“New Part”建立part-2、part-3、part-4，得到图形如2-3所示，图2-2 图2-3创建模型平台 3）施加弹簧拉力阻尼器，选择图标，根据需要输入弹簧的刚度系数K和粘滞阻尼系数C，选择弹簧作用的两个构件即可，施加后的结果如图2-4 图2-4 创建弹簧阻尼器 4）添加约束，选择棱柱副图标，根据需要选择要添加约束的构件，添加约束后的模型如2-5所示。

图2-5 添加约束至此模型创建完成三、模型仿真 1)、在无阻尼状态下，系统仅受重力作用自由振动，将最下层弹簧的刚度系数K设置为10，上层两个弹簧刚度系数均设置为3，小物块的支撑弹簧的刚度系数为4，阻尼均为0，进行仿真，点击图标，设置End Time为5.0，Step Size为0.01，Steps为50，点击图标，开始仿真对所得数据进行分析。选择物块的位移、速度、加速度与时间的图像如图3-1、3-2、3-3所示，经过傅里叶变换之后我们可以清楚地看到系统的各阶固有频率。图3-1位移与时间图像以及FFT变换图像

系统动力学模型

1.1 海洋资源可持续开发研究综述海洋可持续发展包括三层含义，即海洋经济的持续性、海洋生态的持续性和社会的持续性，海洋的可持续发展以保证海洋经济发展和资源永续利用为目的，实现海洋经济发展与经济环境相协调，经济、社会、生态效益相统。运用海洋可持续发展理论和海域承载力理论研究海洋资源开发的可持续性，从我国的海洋产业入手，分析我国海洋资源开发利用的状况，从海洋产业结构和产业布局、海洋管理和海洋开发技术等方面总结我国海洋开发的问题，并针对这些问题，提出切实可行的实现海洋可持续发展的途径和措施。国外学者对海洋资源的发展和研究进行研究，建立相应的模型，认为技术在海洋资源发展过程中起到极其重要的作用。国内学者则以具体省份为例研究海洋资源可持续发展，对辽宁省所拥有的海洋资源进行概述后，分析了辽宁海洋资源开发与海洋生态环境保护之间的关系，提出开展海域资源价值折损评估，采用政策调控和市场机制保护海洋生态环境。利用我国重要海洋产业数据，分析我国海洋资源开发利用的状况，并从海洋产业结构和布局及管理等角度总结海洋资源开发存在的问题，提出实现海洋资源可持续发展的途径。学者从海洋资源与环境保护角度分析，研究开发海洋的过程中，存在着海洋环境污染、海洋渔业资源衰退等问题。 1.2 系统动力学模型研究综述到20 世纪70 年代初系统动力学被用来解决很多领域的问题，成为比较成熟的学科，系统动力学到20 世纪70 年代初所取得的成就使人们相信它是研究和处理诸如人口、自然资源、生态环境、经济和社会等相互连带的复杂系统问题的有效工具。基于市场均衡论和信用风险理论，完善运用于分析代际消费计划的系统动力学机制模型，并提出可替换选择。国内学者将系统动力学运用于研究资源与

动力学分析方法

1 动力学分析方法结构动力学的研究方法可分为分析方法（结构动力分析）和试验方法（结构动力试验）两大类。[7-10] 分析方法的主要任务是建模（modeling），建模的过程是对问题的去粗取精、去伪存真的过程。在结构动力学中，着重研究力学模型（物理模型）和数学模型。建模方法很多，一般可分为正问题建模方法和反问题建模方法。正问题建模方法所建立的模型称为分析模型（或机理模型）。因为在正问题中，对所研究的结构（系统）有足够的了解，这种系统成为白箱系统。我们可以把一个实际系统分为若干个元素或元件（element），对每个元素或元件直接应用力学原理建立方程（如平衡方程、本构方程、汉密尔顿原理等），再考虑几何约束条件综合建立系统的数学模型。如果所取的元素是一无限小的单元，则建立的是连续模型；如果是有限的单元或元件，则建立的是离散模型。这是传统的建模方法，也称为理论建模方法。反问题建模方法适用于对系统了解（称黑箱系统——black box system）或不完全了解（称灰箱系统——grey box system）的情况，它必须对系统进行动力学实验，利用系统的输入（载荷）和输出（响应——response）数据，然后根据一定的准则建立系统的数学模型，这种方法称为试验建模方法，所建立的模型称为统计模型。在动力平衡方程中，为了方便起见一般将惯性力一项隔离出来，单独列出，因此通常表达式为： +P M (2) u I - = 其中M为质量矩阵，通常是一个不随时间改变的产量；I和P是与位移和速度有关的向量，而与对时间的更高阶导数无关。因此系统是一个关于时间二级导数的平衡系统，而阻尼和耗能的影响将在I和P中体现。可以定义： + = (3) I Ku C u 如果其中的刚度矩阵K和阻尼矩阵C为常数，系统的求解将是一个线性的问题；否则将需要求解非线性系统。可见线性动力问题的前提是假设I是与节点位移和速度是线性相关的。将公式(2)代入(1)中，则有 (4) + M= + u P Ku C u

新一代动力学仿真软件Motionview

新一代动力学仿真软件——MotionView 机械系统的动力学性能是制造商和用户共同关心的重要性能指标，如果能在新产品方案的制定和产品研发阶段通过虚拟仿真的手段就能对机械系统的动力学性能进行充分的分析评估和优化，无疑能大大降低产品方案制定和设计中的风险，缩短产品研发周期，减小物理样机的实验次数，从而使企业在激烈的市场竞争中取得先机。美国澳汰尔工程软件公司的新一代动力学仿真软件MotionView在该领域内提供了专业的解决方案。□ 澳汰尔工程软件（上海）有限公司吴俊刚随着国外机械产品不断占领中国市场，国内机械行业面临巨大的竞争压力，特别突出的是汽车行业。因而新产品的性能以及研发的成本和周期无疑是企业新品自主研发的核心问题。但传统的研发手段成本高、周期长，已经无法满足产品研发需求。随着CAD/CAE 技术的突飞猛进，虚拟仿真技术已成为企业自主创新研发的有效手段。美国澳汰尔工程软件公司开发了一套集CAE分析和优化的软件平台－HyperWorks系列产品。包括：前处理软件HyperMesh、后处理可视化环境HyperView、多体分析和优化工具OptiStruct、结构动力学分析软件MotionView、板料成形分析工具HyperForm、CAE环境下实验设计、优化及随机分析工具HyperStudy等等。下面主要介绍一下HyperWorks中的多体动力学分析软件MotionView。 MotionView软件概述 MotionView是澳汰尔公司开发的新一代系统动力学仿真分析软件。它是一个通用的多体动力学仿真前处理器和可视化工具，采用完全开放的程序架构，可以实现高度的流程自动化和客户化定制。 MotionView具有简洁友好的界面，高效的建模语言（MDL），同时也是第一款支持多求解器输出的多体动力学软件，可以将模型直接输出成 ADAMS、DADS、ABAQUS和 NASTRAN等多种求解格式文件，或直接由MotionSolve求解。而MotionSolve求解器的是采用新一代的点辅助坐标系原理（Point-Auxilary-Coordinate system）的多体动力学求解器，它具有计算更快速、更稳定的特点，而且适用范围广泛，可以处理机械系统动力学、车辆动力学、隔振、控制系统设计、针对耐久性分析的载荷预期和稳健性仿真等多方面的问题，还可以对零自由度的机械系统和具有复杂非线性应变的模型进行仿真。 MotionView特征及优势 MotionView作为新一代的动力学仿真软件，除了具有其它多体动力学软件所具备的基本功能外，还在如下方面有自身的突出特征。 1、特色功能模型库：针对某些应用领域开发模型库，直接进行子系统组装和工况施加，通过对拓扑关系和参数缺省值的修改快速建立用户模型。报告模板：自动生成并提交行业标准的图形和曲线，通过数据叠加快速对结果进行分析比较。载荷输出：使用Load Export 工具直接将多体动力学分析结

系统动力学模型案例分析

系统动力学模型介绍 1、系统动力学的思想、方法系统动力学对实际系统的构模与模拟就是从系统的结构与功能两方面同时进行的。系统的结构就是指系统所包含的各单元以及各单元之间的相互作用与相互关系。而系统的功能就是指系统中各单元本身及各单元之间相互作用的秩序、结构与功能,分别表征了系统的组织与系统的行为,它们就是相对独立的,又可以在—定条件下互相转化。所以在系统模拟时既要考虑到系统结构方面的要素又要考虑到系统功能方面的因素,才能比较准确地反映出实际系统的基本规律。系统动力学方法从构造系统最基本的微观结构入手构造系统模型。其中不仅要从功能方面考察模型的行为特性与实际系统中测量到的系统变量的各数据、图表的吻合程度,而且还要从结构方面考察模型中各单元相互联系与相互作用关系与实际系统结构的一致程度。模拟过程中所需的系统功能方面的信息,可以通过收集,分析系统的历史数据资料来获得,就是属定量方面的信息,而所需的系统结构方面的信息则依赖于模型构造者对实际系统运动机制的认识与理解程度,其中也包含着大量的实际工作经验,就是属定性方面的信息。因此,系统动力学对系统的结构与功能同时模拟的方法,实质上就就是充分利用了实际系统定性与定量两方面的信息,并将它们有机地融合在一起,合理有效地构造出能较好地反映实际系统的模型。 2、建模原理与步骤 (1)建模原理

用系统动力学方法进行建模最根本的指导思想就就是系统动力学的系统观与方法论。系统动力学认为系统具有整体性、相关性、等级性与相似性。系统内部的反馈结构与机制决定了系统的行为特性,任何复杂的大系统都可以由多个系统最基本的信息反馈回路按某种方式联结而成。系统动力学模型的系统目标就就是针对实际应用情况,从变化与发展的角度去解决系统问题。系统动力学构模与模拟的一个最主要的特点,就就是实现结构与功能的双模拟,因此系统分解与系统综合原则的正确贯彻必须贯穿于系统构模、模拟与测试的整个过程中。与其它模型一样,系统动力学模型也只就是实际系统某些本质特征的简化与代表,而不就是原原本本地翻译或复制。因此,在构造系统动力学模型的过程中,必须注意把握大局,抓主要矛盾,合理地定义系统变量与确定系统边界。系统动力学模型的一致性与有效性的检验,有一整套定性、定量的方法,如结构与参数的灵敏度分析,极端条件下的模拟试验与统计方法检验等等,但评价一个模型优劣程度的最终标准就是客观实践,而实践的检验就是长期的,不就是一二次就可以完成的。因此,一个即使就是精心构造出来的模型也必须在以后的应用中不断修改、不断完善,以适应实际系统新的变化与新的目标。 (2)建模步骤系统动力学构模过程就是一个认识问题与解决问题的过程,根据人们对客观事物认识的规律,这就是一个波浪式前进、螺旋式上升的过程,因此它必须就是一个由粗到细,由表及里,多次循环,不断深化的过程。系统动力学将整个构模过程归纳为系统分析、结构分析、模型建立、模型试验与模型使用五大步骤这五大步骤有一定的先后次序,但按照构模过程中的具体情况,它们又都就是交叉、反复进行的。第一步系统分析的主要任务就是明确系统问题,广泛收集解决系统问题的有关数据、资料与信息,然后大致划定系统的边界。第二步结构分析的注意力集中在系统的结构分解、确定系统变量与信息反馈机制。第三步模型建立就是系统结构的量化过程(建立模型方程进行量化)。第四步模型试验就是借助于计算机对模型进行模拟试验与调试,经过对模型各种性能指标的评估不断修改、完善模型。第五步模型使用就是在已经建立起来的模型上对系统问题进行定量的分析研究与做各种政策实验。 3、建模工具系统动力学软件VENSIM PLE软件 4、建模方法因果关系图法在因果关系图中,各变量彼此之间的因果关系就是用因果链来连接的。因果链就是一个带箭头的实线(直线或弧线),箭头方向表示因果关系的作用方向,箭头旁标有“+”或“-”号,分别表示两种极性的因果链。 a.正向因果链A→+B:表示原因A的变化(增或减)引起结果B在同一方向上发生变化(增或减)。