第六章(曲线插值)

i, j= 0, 1
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4.2 埃尔米特插值
将插值条件代入立即可得
H3 ( x ) y00 ( x) y11 ( x) m00 ( x) m11 ( x)
0(x), 1(x), 0(x), 1(x) 的表达式？ 0(x)
0 ( x0 ) 1, 0' ( x0 ) 0, 0 ( x1 ) 0, 0' ( x1 ) 0
9
4.1 拉格朗日插值
此方程组的系数行列式为
1 x0 D 1 x1 1 xn
x x
2 0
x x
n 0
2 1
n 1

0 j i n
(x
i
xj)
x
2 n
x
n n
上式即为范得蒙行列式，由于插值结点 xi 互不相同， 故D 0 ，则Pn(x)可由a0, a1,…, an唯一确定。
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4.2 埃尔米特插值
x x0 x x1 0 ( x) 1 2 x x x x 1 0 0 1
同理可得
2
x x1 x x0 1 ( x ) 1 2 x0 x1 x1 x0
2
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相类似地，可以推出
x x1 0 ( x ) ( x x0 ) x0 x1 x x0 1 ( x ) ( x x1 ) x x 0 1
2
2
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4.2 埃尔米特插值
满足插值条件
P(x0) = f(x0) = y0，P’(x0) = f’(x0) = m0 P(x1) = f(x1) = y1，P’(x1) = f’(x1) = m1
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4.1 拉格朗日插值
上述多项式插值方法需要解算方程组，而
拉格朗日插值公式的基本思想是，把 pn(x)
的 构 造 问 题 转 化 为 n+1 个 插 值 基 函 数
li(x)(i=0,1,…,n)的构造。
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4.1 拉格朗日插值
构造各个插值节点上的基函数 li(x)(i=0,1,…,n) 满足如下条件
特别地，当n=1时，为线性插值： 记
x x1 l0 ( x) x0 x1
x x0 l1 ( x) x1 x0
则有： P1 ( x )
x x0 x x1 y0 y1 x0 x1 x1 x0
满足插值条件。
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4.1 拉格朗日插值
P1(x)可以改写为
故线性插值多项式的几 何含义就是构造过插值 节点的一条线段 线性插值多项式
8
4.1 拉格朗日插值
设所要构造的插值多项式为：
Pn ( x ) a0 a1 x a2 x an x
2
n
由插值条件
Pn ( xi ) yi i 0, 1,, n
得到如下线性代数方程组：
n 1 a0 x0 a1 x0 a n y0 n 1 a0 x1a1 x1 a n y1 1 a x a x n a y n 1 n n n 0
插值条件：P(xi) = f(xi)，i = 0, 1, 2，P’(x1) = f’(x1)
两点三次 Hermite 插值 插值节点：x0 , x1
插值条件：P(xi) = f(xi)，P’(xi) = f’(xi) ，i = 0, 1
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4.2 埃尔米特插值
两点三次 Hermite 插值
插值节点：x0 , x1 插值条件：P(xi) = f(xi) = yi，P’(xi) = f’(xi) = mi，i = 0, 1
的三次 Hermite 插值多项式为
x x0 x x1 x x1 x x0 H 3 ( x ) y0 1 2 y1 1 2 x1 x0 x0 x1 x0 x1 x1 x0 x x1 x x0 m0 x x0 m1 x x1 x x x x 1 0 0 1
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5.1 五点光滑法
五点光滑法各数据点的一阶导数是由其他相邻四个 点求得的。 图中 P1 点的一阶导数待求， 设其值为t1
t1
k 4 k3 k 2 k 2 k1 k3 k 4 k3 k 2 k1
K1 ， K2 ， K3 ， K4 分别为四 个 折 线 段 Pi-2Pi-1 ， Pi-2Pi-1,

j 0 jk
n
x xj
xk x j
从而得n 阶拉格朗日（Lagrange）插值公式：
n x xj Pn ( x ) l k ( x ) yk yk k 0 k 0 j 0 xk x j jk
n n
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4.1 拉格朗日插值
2
x x1 0 ( x1 ) 0, 0' ( x1 ) 0 0 ( x ) ( ax b) x x 1 0 0 ( x0 ) 1, 0' ( x0 ) 0
3 x0 x1 2 x0 2 a , b 1 x0 x1 x0 x1 x0 x1
Pn ( x ) a0 a1 x a2 x 2
an x n
使Pn(x) 满足条件 Pn ( xi ) yi , i 0, 1, , n 函数 y=f(x) 称为被插函数， x0,x1,x2,…,xn 被称为插值 节点，条件式被称成为插值条件。
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4.1 拉格朗日插值
插值多项式的几何意义实质上是将通过 n+1 个点 (xi,yi),i=0,1,2,…,n的多项式曲线当作被插函数曲线 y=f(x)的近似曲线。
在计算机图形学中，与上述相对应的问题即是 自由
曲线的生成： 给出一组有序的型值点列，根据应用
要求求得一条光滑曲线，使其尽可能逼近原始函数
曲线，通常采用两种方法，即插值和拟合。
插值方法要求生成的曲线通过每个给定的型值点。 拟合 方法要求生成的曲线靠近每个型值点，但不一
定要求通过每个点。
5
4 插值方法
模仿 Lagrange 多项式的思想，设
H3 ( x) a00 ( x) a11 ( x) b00 ( x) b11 ( x)
其中 0 ( x ), 1 , 0 ( x ), 1 ( x ) 均为 3 次多项式，且满足
j ( xi ) ji , j' ( xi ) 0, j ( xi ) 0, j' ( xi ) ji
计算机图形学基础
Computer Graphics
第六章 自由曲线和曲面
赵东保 华北水利水电学院 2011.9
1 概述
自由曲线和曲面是指那些形状比较复杂、不 能用初等解析函数直接表示出来的曲线和曲 面。汽车车身、飞机机翼和轮船船体等的曲 线和曲面均属于这一类。一般情况下，它们 需要利用插值或逼近的方法，对型值点进行 拟合，得到拟合曲线和曲面。
k 1
即 Pn(x) 满足插值条件
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4.1 拉格朗日插值
根据lk(x) 的表达式，xk 以外所有的结点都是lk(x) 的根
( x x0 )( x x1 )( x xk 1 )( x xk 1 )( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 )( xk x1 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn )
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4.1 拉格朗日插值
当n=2时，为抛物线插值： 记
( x x0 )( x x2 ) ( x x1 )( x x2 ) l0 ( x) l1 ( x) ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) l2 ( x) ( x2 x0 )( x2 x1 )
3
3 插值与拟合

设已知某个函数关系 y f ( x) 在某些离散点上的函 数值：
x x 0 x1 y y0 y 1


x n 1 x n y n 1 yn
根据这些已知数据来构造原始函数 y=f(x) 的近似 表达式，并尽可能逼近它，从而反映这些数据所 隐含的函数变化规律。
4
3 插值与拟合
xi
l0 ( x)
x0
x1
x2
xn
1 0 0
0 1 0
0 0 0
0 0 1
l1 ( x)
ln ( x)
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4.1 拉格朗日插值
求n次多项式lk(x)(i=0,1,…,n)， k = 0, 1,…, n
1, l k ( xi ) 0,
则
n
ki ki
i = 0, 1, 2,…, n
Pn ( xi ) yk l k ( xi ) yi
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5 基于插值思想的曲线生成
基于 插值 方法生成的曲线通过每个型值点，在 GIS地图制图中一般通过插值，使得曲线变得更 光滑，如等高线的光滑就常采用插值方法，常 见的有： 三点光滑法 五点光滑法 三次样条光滑法
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5.1 五点光滑法
五点光滑法是等高线光滑中最常使用的方法，其 光滑的结果类似于制图员的手工光滑效果。基本 思路为： 每两个数据点之间建立一条三次多项式曲线方 程。 曲线具有连续的一阶导数。 各数据点的导数是以一点为中心，左右两边各 相邻的两个点，一共五个点来确定的。
则有：P ( x ) l ( x ) y l ( x ) y l ( x ) y 2 0 0 1 1 2 2 满足插值条件。
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4.1 拉格朗日插值
抛物线插值多项式的几 何含义就是从几何上看 就是用通过三点抛物线 函数 P2(x) 近似代替原始 被插函数f(x)。
P2(x)
抛物线插值多项式
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4.2 埃尔米特插值
在实际应用中，不仅要求插值函数与被插函数在节 点上函数值相等，而且要求若干阶导数也相等，如 机翼设计等。
f ( x) ( x)
( xi ) f ( xi ) （i = 0, 1, …, n） '( xi ) f '( xi )
( xi ) f ( x i ) (m) (m) ( xi ) f ( x i )
2 2
2
2
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4.2 埃尔米特插值
参数连续性条件 0 阶导数连续性，记作 C0 连续，是指两个曲线段在公共 点处有相同的坐标。 一阶导数连续性，记作 C1 连续，指两个相邻曲线段在交 点处有相同的一阶导数。 二阶导数连续性，记作C2连续，指两个相邻曲线段在交 点处有相同的一阶和二阶导数。 0阶几何连续性，记为G0连续，与0阶导数连续性相同。 一阶几何连续性，记为G1连续，指一阶导数在两个相邻 段的交点处成比例，而大小不一定相等。 二阶几何连续性，记为G2连续，指两个曲线段在相交处 其一阶和二阶导数均成比例。 G2 连续下，两个曲线段在交 点处的曲率相等。
选用不同类型的插值函数，逼近的效果就 不同，一般有：
（1）拉格朗日插值（lagrange插值） （2）Hermite插值 （3）三次样条插值
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4.1 拉格朗日插值
已知函数 y=f(x) 在 n+1 个互不相同的点处的函数值 yi =f(xi),i=0,1,…,n ，为求得 y=f(x)的近似表达式，容易 想到的是选择n次多项式
( 2) ( 2)
满足函数值相等且导数也相等的插值方法称为埃尔米 特（Hermite插值）
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4.2 埃尔米特插值
一般来说，给定 m+1 个插值条件，就可以构造出一 个 m 次 Hermite 插值多项式
两个典型的 Hermite 插值
三点三次 Hermite 插值 插值节点：x0 , x1 , x2
2
2 曲线的参数表示
曲线的参数方程为
x x (t ) y y (t ) z z (t )
归一化处理：为了方便起见，可以将参数t的范围区 间规范化成[0，1]。 参数化表示比显式、隐式有更多的优点！ 参数化表示方式易于用矢量和矩阵运算，对曲率、 斜率等的计算也有别于传统方式。