三元基本不等式解析
基本不等式在求最值中的应用与完善
杨亚军
函数的最值是函数这一章节中很重要的部分，它的重要性不仅在题型的多样、方法的灵活上，更主要的是其在实际生活及生产实践中的应用。高考应用题几乎都与最值问题有关,而基本不等式是解决此类实际问题的有力工具.本文着重就基本不等式在求最值中的应用与完善谈一些个人的体会.只有扎实地掌握好基本不等式求最值的基本技能与注意事项，才能更好地去解决实际应用问题。
一、基本不等式的内容及使用要点
1、二元基本不等式：
①a，b∈R时，a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时“=”号成立）；
②a，b≥0时，a+b≥2 （当且仅当a=b时“=”号成立）。
这两个公式的结构完全一致，但适用范围不同。若在非负实数范围之内，两个公式均成立，此时应根据题目的条件和结论选用合适的公式
及公式的变形：ab≤ ，ab≤ 。对不等式ab≤ ，还有更一般的表达式：|ab|≤ 。
由数列知识可知，称为a，b的等差中项，称为a，b的等比中项，故算术平均数与几何平均数的定理又可叙述为：“两个正数
的等比中项不大于它们的等差中项”。
2.三元基本不等式：
当a，b，c>0时，a+b+c≥ ，当且仅当a=b=c时，等号成立，……
乃至n元基本不等式；当a
i >0（i=1，2，…，n）时，a
1
+a
2
+…+a
n
≥
。
二元基本不等式的其它表达形式也应记住：当a>0，b>0时，
≥2，a+ ≥2等。
当字母范围为负实数时，有时可利用转化思想转化为正实数情形，
如a<0时，可得到a+ ≤-2。
基本不等式中的字母a，b可代表多项式。
3.利用基本不等式求函数的最大值或最小值是高中求函数最值的主要方法之一。利用基本不等式求函数最值时，其条件为“一正二定三等”，“一正”指的是在正实数集合内，“二定”指的是解析式各因式的和或积为定值（常数），“三等”指的是等号条件能够成立。
利用基本不等式求函数最值的方法使用范围较广泛，既可适用于已学过的二次函数，又可适用于分式函数，高次函数，无理函数。
利用基本不等式求函数最值时，可能上面的三个条件不一定满足，此时不能认为该函数不存在最值，因为通过化归思想和初等变形手段可以使条件得到满足。常用的初等变形手段有均匀裂项，增减项，配系数等。
在利用基本不等式求最值时，若不能直接得到结论，应考虑与间接法的解题思路连用，如通过解不等式的途径。
一般说来，“见和想积,拆低次,凑积为定值,则和有最小值；
见积想和, 拆高次,凑和为定值,则积有最大值。”
二、基本不等式求最值的应用
例1、已知a>1，0 a b+log b a≤-2。 解题思路分析： 由对数函数可知：，log b a<0，因此由的结构特点联想到用基本不等式去缩小，但条件显然不满足，应利用相反数的概念去转化。 ∵ log a b<0 ∴ -log a b>0 ∴≥2 =2 ∴ log a b+ ≤-2 即 log a b+log b a≤-2 当且仅当，log a 2b=1，log a b=-1时，等号成立，此时 ab=1。 例2、已知x，y，z均为正数，且xyz(x+y+z)=1，求证：(x+y)(y+z)≥2。解题思路分析： 这是一个含条件的不等式的证明，欲证不等式的右边为常数2，联想到二元基本不等式及条件等式中的“1”。下面关键是凑出因式xyz和x+y+z。对因式(x+y)(y+z)展开重组即可。 (x+y)(y+z)=xy+xz+y2+yz=(xy+y2+yz)+xz=y(x+y+z)+xz。 将y(x+y+z)，xz分别看成是两个因式，得用二元基本不等式： y(x+y+z)+xz=2 =2 =2 当且仅当 时等号成立 例3、（1）已知x>1，求3x+ +1的最小值； （2）已知x ，y 为正实数，且 =1，求 的最大值； （3）已知x ，y 为正实数，3x+2y=10，求函数W 的最值； （4）已知x>0，求函数f(x)=4x+ 的最小值； （5）已知a>b>0，求函数y=a+ 的最小值； （6）求函数y=x(10-x)(14-3x)??? ? ?<<3140x 的最大值； （7）求函数y=sin 2θcosθ，θ∈?? ? ??20π,的最值。 解题思路分析： 这一组练习主要介绍在利用基本不等式求最大值或最小值时，为满足“一正二定三等”的条件所涉及的一些变形技巧。 （1） 在分式的位置凑出分母x-1，在3x 后面施加互逆运算：±3 原式=(3x-3)+3+ +1=3(x-1)+ +4≥2 =4 +4 （2）因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤ 。同时还 应化简 中y 2前面的系数为 下将x，分别看成两个因式 ≤ ∴≤ （3）若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，≤ ，本题很简单 ≤ 否则，这样思考： 条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。 W>0，W2=3x+2y+2 ≤ =10+(3x+2y)=20 ∴W≤ （4）函数式为和的形式，故考虑凑积为常数。分母为x的二次，为使积的结果在分式位置上出现x2，应对4x均匀裂项，裂成两项即可。 f(x)=2x+2x+ ≥ （5）本题思路同（1）： y=(a-b)+b+ ≥ （6）配x项前面系数为4，使得与后两项和式中的x相消 y= (4x)(10-x)(14-3x)≤ 基本不等式练习题及答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . ． 2 8 基本不等式专题辅导 2 2 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若 a,b R ,则 a b 2 ab 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若 a,b R *，则 2 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数 的和为定植时，它们的积有最小值； a b 6、柯西不等式 （1）若 a, b,c, d R ，则（a 2 b 2）（c 2 d 2） （ac bd ）2 (2) 若 a 1, a 2, a 3, bi, b 2, b 3 R ，则有： 2 2 2 2 2 2 2 (a 1 a 2 a 3 )(柑 b ? b 3 ) (aQ a ?b 2 a s b s ) (3) 设a 1,a 2, ,a n 与 db, ,b 是两组实数，则有 2 2 2 p22 2 佝 a 2 a . )(0 b 2 b n )(日山 a 2b 2 a n b n ) 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 (1)若 a,b R ，则 a 2 b 2 2ab 1、设a,b 均为正数，证明不等式：、.ab 二 (2)右 a, b R ，则 ab a,b,c 为两两不相等的实数， (2)若 a, b R ,则 ab b 2 ab bc ca 4、求最值的条件：“一正， 二定，三相等” 5、常用结论 1 (1)若 x 0，则 x — 2 （当且仅当 x 1时取“=”) x 1 (2)若 x 0,则 X - 2 （当且仅当 x 1时取 “=”) X (3)若 ab 0,则-- 2 （当且仅当 a b 时取 “=”) b a 2 2 (4)若 a, b R ，则 ab （ 旦 b)2 a b 2 2 (5)若 a, b R ，贝U 1 . a ab b a 2 b 2 v ------ 1 1 2 2 (1 已知a a,b,c a )(1 1, 求证: b)(1 c) 8abc a, b, c R 基本不等式及其应用 新课标要求: 掌握基本不等式 2 a b +（0,0≥≥b a ）；能用基本不等式证明简单不等式（指只用一次基本不等式即可解决的问题）；能用基本不等式求解简单的最大（小）值问题（指只用一次基本不等式即可解决的问题）. 考试说明要求:C 级 ● 主要知识： 1.基本不等式：若0,0≥≥b a ，则 a b +a b =时成立）; 2.平方平均不等式：如果,a b R ∈≥2a b +; 3.最值定理：当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和有最小值. 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：⑴当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正 所谓“积定和最小，和定积最大”． ⑵求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． ●主要方法： 1.使用基本不等式求最值的前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设条件(加项变换，系数变换，平方变换，拆项变换，常量代换，三角代换等)；还要注意选择恰当的公式； 2. 基本不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等号的条件是否一致; 3.当使用基本不等式求最值等号不能成立时，应考虑函数的单调性. 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ; （2）y ＝x ＋1 x 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。 变式：设2 3 0< 基本不等式专项基础练习 @ 1.若实数b a ,满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是（ ） C.32 D.432 2.设0,0>>b a ，若3是a 3与b 3的等比中项，则b a 1 1 +的最小值为（ ） D.41 3.若0>x ，则x x 2 +的最小值为 此时x 的值为( ) 若x<0则x x 2 +有最（ ）值为_______ 4.4.已知a,b 为正实数，且b a b a 1 1 ,12+=+则的最小值为（ ） A ．24 B ．6 C ．3－22 D ．3+22 ； 5.若y x y x y x 21,14,0,0+=+>>则且的最小值为（ ） A ．9 B ．28 C ．249+ D ．24 6.已知，且满足，则xy 的最大值为_____ 7.已知232=+y x )0,0(>>y x ，则xy 的最小值是_____________。 8.已知,则函数的最小值为 ___________ 9若21x y +=，则24x y +的最小值是______ 10 正数,x y 满足21x y +=，则 y x 11+的最小值为______ 11若x >0，求函数y ＝x ＋4x 的最小值，并求此时x 的值； (2)设0 11解 (1)当x >0时，x ＋4x ≥2 x ·4x ＝4， 当且仅当x ＝4x ，即x 2＝4，x ＝2时取等号． ∴函数y ＝x ＋4x (x >0)在x ＝2时取得最小值4. (2)∵0 基本不等式及其应用 一、教学分析设计 【教材分析】 人教版普通高中课程标准试验教科书分不同的章节处理不等式问题。在必修5的第三章中，首先介绍了不等关系与不等式；然后是一元二次不等式及其解法，二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题；最后在第四节介绍基本不等式。在选修教材《不等式选讲》中对不等式与绝对值不等式、证明不等式的基本方法、柯西不等式与排序不等式、数学归纳法证明不等式作了更详细的介绍。并在书中还安排章节复习了基本不等式，并将其推广到三元的形式。基本不等式从数学上凸显了沟通基础数学知识间的内在联系的可行性。 基本不等式的课程标准内容为：探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最值问题。教学要求为：了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程；理解算数平均数、几何平均数的概念；会用基本不等式解决简单的最值问题；通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值（说明：突出用基本不等式解决问题的基本方法，不必推广到三个变量以上的情形）。《考试说明》中内容为：会用基本不等式解决简单的最值问题。通过对比分析，他们的共同都有“会用基本不等式解决简单的最值问题”。基本不等式与函数（包括三角函数）、数列、解析几何等内容均有丰富的联系，在《考试说明》中属于C及内容（含义：对该知识有实质性的理解并能与已有知识建立联系，掌握内容与形式的变化；相关技能已经形成，能用它来解决简单的相关问题）。 【学生分析】 从知识储备上看，高三学生已经基本掌握了不等式的简单性质和证明，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的数学模型，也具备一定的几何知识。 从思维特点看，学生了解了不等关系的数学模型是解决实际问题的重要工具，具备一定的归纳、猜想、演绎证明和抽象思维的水平。 【目标分析】 结果性目标： 1、能在具体的问题情景中，通过抽象概括、数学建模以及逻辑推理获得基本不等式； 2、掌握基本不等式应用的条件“一正二定三相等”，和基本不等式的常见变形； 3、会用基本不等式解决一些简单的实际问题。 体验性目标： 1、在解决实际问题的过程中，体验基本不等式的本质是求二元的最值问题； 2、在解决实际问题中，体验“形”与“数”间的关联。 重点：创设基本不等式使用的条件。 难点：基本不等式的简单应用，以及使用过程中定值的取得。 【核心问题分析】 核心问题：在学校文化厘清过程中，拟对一块空地实行打造，现对其规划如下：将这块空地建成一个广场，在广场中间建一个长方形文化长廊，在其正中间造一个长方形景观池，并利用长廊内部左下角的那颗古树打造一条直线型景观带。请同学们按照以下要求实行数据设计： 问题1：文化长廊的周长为480米，要求文化长廊所围成的长方形面积最大，应怎样设计其长和宽？ 问题2：已知景观池的容积为4800米，深为3米。已知景观池底每平米的造价是150元，池壁每平方米的造价是120元，问怎样设计，使造价最低，最低造价是多少？ 问题3：设文化长廊为ABCD，现在长廊ABCD的左下角点E处有颗古树，且点E距左边AB和下边AD的D距离各为20米、10米，为保护古树，现经过古树E建造一直线型的景观带 基本不等式 1. 若 a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2111 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ． 1 2 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. C. D. 5. 若x , y 是正数，且 14 1x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ． 111a b c + + ≥ D ．a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ．114x y ≤+ B ．11 1x y +≥ C 2≥ D ．11xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,2 a b ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab a b ++ 22a b ab a b +≤≤ + Ｃ． 22ab a b a b ++ Ｄ．22 ab a b a b +≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+ 11. 函数y =的最大值为 . 基本不等式 【考纲要求】 1. 2 a b +≤ 的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2. 2 a b +≤ 解决最大（小）值问题. 3.会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【知识网络】 【考点梳理】 考点一：重要不等式及几何意义 1．重要不等式： 如果,R a b ∈，那么2 2 2a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 2．基本不等式： 如果,a b 是正数，那么 2a b +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 要点诠释：22 2a b ab +≥ 和2 a b +≥ （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”。 （3）2 2 2a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2a b ab +≥可以变形为：2()2 a b ab +≤. 3.如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD . 易证~Rt ACD Rt DCB ??，那么2 CD CA CB =?，即CD ab = . 这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2 ，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立. 要点诠释：1.在数学中，我们称 2 b a +为,a b 的算术平均数，称ab 为,a b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.如果把 2 b a +看作是正数,a b 的等差中项，ab 看作是正数,a b 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 考点二：基本不等式2 a b ab +≤的证明 1. 几何面积法 如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为a 、b 22a b +4个直角三角形 的面积的和是2ab ，正方形ABCD 的面积为2 2 a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所 以：22 2a b ab +≥。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有2 2 2a b ab +=。 基本不等式在求最值中的应用与完善 杨亚军 函数的最值是函数这一章节中很重要的部分，它的重要性不仅在题型的多样、方法的灵活上，更主要的是其在实际生活及生产实践中的应用。高考应用题几乎都与最值问题有关,而基本不等式是解决此类实际问题的有力工具.本文着重就基本不等式在求最值中的应用与完善谈一些个人的体会.只有扎实地掌握好基本不等式求最值的基本技能与注意事项，才能更好地去解决实际应用问题。 一、基本不等式的内容及使用要点 1、二元基本不等式： ①a，b∈R时，a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时“=”号成立）； ②a，b≥0时，a+b≥2 （当且仅当a=b时“=”号成立）。 这两个公式的结构完全一致，但适用范围不同。若在非负实数范围之内，两个公式均成立，此时应根据题目的条件和结论选用合适的公式 及公式的变形：ab≤ ，ab≤ 。对不等式ab≤ ，还有更一般的表达式：|ab|≤ 。 由数列知识可知，称为a，b的等差中项，称为a，b的等比中项，故算术平均数与几何平均数的定理又可叙述为：“两个正数 的等比中项不大于它们的等差中项”。 2.三元基本不等式： 当a，b，c>0时，a+b+c≥ ，当且仅当a=b=c时，等号成立，…… 乃至n元基本不等式；当a i >0（i=1，2，…，n）时，a 1 +a 2 +…+a n ≥ 。 二元基本不等式的其它表达形式也应记住：当a>0，b>0时， ≥2，a+ ≥2等。 当字母范围为负实数时，有时可利用转化思想转化为正实数情形， 如a<0时，可得到a+ ≤-2。 基本不等式中的字母a，b可代表多项式。 3.利用基本不等式求函数的最大值或最小值是高中求函数最值的主要方法之一。利用基本不等式求函数最值时，其条件为“一正二定三等”，“一正”指的是在正实数集合内，“二定”指的是解析式各因式的和或积为定值（常数），“三等”指的是等号条件能够成立。 利用基本不等式求函数最值的方法使用范围较广泛，既可适用于已学过的二次函数，又可适用于分式函数，高次函数，无理函数。 利用基本不等式求函数最值时，可能上面的三个条件不一定满足，此时不能认为该函数不存在最值，因为通过化归思想和初等变形手段可以使条件得到满足。常用的初等变形手段有均匀裂项，增减项，配系数等。 在利用基本不等式求最值时，若不能直接得到结论，应考虑与间接法的解题思路连用，如通过解不等式的途径。 一般说来，“见和想积,拆低次,凑积为定值,则和有最小值； 基本不等式知识点归纳 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期: 基本不等式知识点总结 向量不等式： ||||||||||||a b a b a b -±+≤≤ 【注意】： a b 、 同向或有0?||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-; a b 、反向或有0?||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+; a b 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+.(这些和实数集中 类似) 代数不等式： ,a b 同号或有 0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥; ,a b 异号或有 0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥. 绝对值不等式: 123123a a a a a a ++++≤ (0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式:a b a b a b -±+≤≤ (左边当0(0)ab ≤≥时取得等号，右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.) 放缩不等式： ①00a b a m >>>>，，则b m b b m a m a a m -+<<-+. 【说明】： b b m a a m +<+（0,0a b m >>>，糖水的浓度问题)． 【拓展】:，则，，000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1． ②,,a b c R + ∈， b d a c <,则b b d d a a c c +<<+； ③n N +∈,1 112n n n n n +-< <--; ④,1n N n +∈>,211111 11n n n n n - <<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈． 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1）函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab ; x a b ab 2-ab 2a b - o y 三元均值不等式求最值 三元均值不等式： 例1、求函数)0(,322>+=x x x y 的最大值 例2、求函数)01y x x =<<的最大值。 例3、 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。 例4、已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。 练习： 1、求函数)(,422+∈+=R x x x y 的最小值。 2、0>x 时，求236x x y += 的最小值。 3、求函数)20(,)2(2a x x a x y <<-= 的最大值。 4、若10< 绝对值不等式 例1、证明（1） b a b a +≥+，（2）b a b a -≥+ 例2、证明 b a b a b a +≤-≤-。 例3、证明 c b c a b a -+-≤-。 例4、已知 2,2c b y c a x <-<-，求证.)()(c b a y x <+-+ 例5、已知 .6,4a y a x <<求证：a y x <-32。 练习： 1、已知 .2,2c b B c a A <-<-求证：c b a B A <---)()(。 2、已知 .6 ,4c b y c a x <-<-求证：c b a y x <+--3232。 解含绝对值不等式 例1、解不等式213+<-x x 。 例2、解不等式x x ->-213。 例3、解不等式 52312≥-++x x 。 例4、解不等式 512≥-+-x x 。 例5、不等式 31++-x x >a ，对一切实数x 都成立，求实数a 的取值范围。 练习： 1、423+≤-x x . 2、x x -≥+21. 3、1422<--x x 4、212+>-x x . 5、 42≥-+x x 6、.631≥++-x x 7、 21<++x x 8、.24>--x x 基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2 b a a b +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若* ,R b a ∈，则 22111 22b a b a ab +≤+≤≤+ （1）若,,,a b c d R ∈，则2 2 2 2 2 ()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设,,,,,,a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知 c b a ,,为两两不相等的实数，求证： ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：2 2 2 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： 《三元基本不等式》教学设计 一、教材背景分析 1.教材的地位和作用 本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质以及二元基本不等式的基础上展开的，作为二元基本不等式的延续, 为了更好地研究最值问题，此时三元基本不等式是必不可缺的。它在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材。在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如作差比较、类比猜想、演绎推理、分析法证明等在各种不等式研究问题中有着广泛的应用。就内容的人文价值上来看，三元基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。 2.学情分析 在认知上，学生已经掌握了二元基本不等式及其应用，并能够根据二元基本不等式进行最值，和不等式的简单证明. 如何让学生再认识“基本”二字，是本节学习的前提. 事实上，该不等式反映了实数的两种基本运算（即加法和乘法）所引出的大小变化，另外，在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件，因此，在教学过程中，应借助辨误的方式让学生充分领会基本不等式成立的三个限制条件（一“正”、二“定”、三“相等”）在解决最值问题中的作用. 3、教学重难点： 重点：1、基本不等式成立时的三个限制条件（即一正、二定、三相等） 2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。 难点：不等式运用过程中的变形与拼凑方法。 二、教学目标 1、知识与能力目标：理解掌握三元基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题；并能类比推理得到n元基本不等式。 2、过程与方法目标：利用类比推理得出不等式内容，采取比较法证明，也可借助二元基本不等式演绎推理出三元基本不等式。如何将问题转化出积为定值，或和为定值。 3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。 三、教学基本流程设计 四、教学过程 基本不等式 【学习目标】 1. 理解基本不等式的内容及其证明. 2. 能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小求取值范围等问题. 【要点梳理】 要点一、基本不等式 1.对公式222a b ab +≥ 及2 a b +≥. （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”. 2.由公式222a b ab +≥ 和 2a b +≥ ①2b a a b +≥（,a b 同号）； ②2b a a b +≤-（,a b 异号）； ③2 0,0)112a b a b a b +≤≤>>+或22 2()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>> 要点诠释： 22 2a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤ ，2a b +≥可以变形为：2()2a b ab +≤. a + b 2 的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形 . 设直角三角形的两条直角边长为a 、b 这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形ABCD 的面积为22 a b +.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：222a b ab +≥.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=. 得到结论：如果+,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”） 特别的，如果0a >，0b >,a 、b ，可得： 如果0a >，0b >,则a b +≥a b =时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果0a >，0b >2 a b +≤ ，（当且仅当a b =时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵2222()0a b ab a b +-=-≥， 当a b ≠时，2()0a b ->； 当a b =时，2()0a b -=. 所以22()2a b ab +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）. 要点诠释： 特别的，如果0a >，0b >,a 、b ，可得： 如果0a >，0b >,则a b +≥a b =时取等号“=”）. 通常我们把上式写作： 如果0a >，0b >2 a b +≤，（当且仅当a b =时取等号“=”）. 2 a b +≤的几何意义 如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD . 易证~Rt ACD Rt DCB ??，那么2CD CA CB =?，即CD =这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2 ，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立. 要点诠释： 1.在数学中，我们称2 b a +为,a b 的算术平均数，称ab 为,a b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙 基本不等式基础练习 1．下列不等式正确的是 A ．212x x +≥-（ B 4(0)x ≥>C ）12x x +≥（D ）1sin 2()sin x x k x π+≥≠ 2．设0,0a b >>3a 与3b 的等比中项，则 11a b +的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ．1 D ． 14 3．已知0,0x y >>，且131x y +=，则2x y +的最小值为（ ） A ．7+ B ． C ．7+ D ．14 4．已知M 是△ABC 内的一点，且32=?AC AB ，?=∠30BAC ，若△MBC, △ MCA 和△MAB 的面积分别y x ,,21，则 y x 41+的最小值是( )A.9 B.18 C.16 D.20 5．已知函数 2()(f x x b x a b =+-++是偶函数，则此函数的图象与 ｙ轴交点的纵坐标的最大值为 B.2 C.4 D.－2 6．若正实数,x y ，满足26x y xy ++=，则xy 的最小值是 __ 7．已知正数x y 、满足3xy x y =++，则xy 的范围是 。 8．函数()120)2 f x x x x =-<<（1）（的最大值是 9． 在等比数列{}n a 中，0n a >，且1816a a ?=，则45a a +的最小值为 ______． 10．不等式4210x x a x +?+≥∈R 对一切恒成立，则a 的取值范围 是 。 11．已知AD 是ΔABC 的中线，若∠A=120°，2-=?，则||的最小值是 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(2a ＋ c)·BC uuu r ·BA u u u r ＋c CA u u u r ·CB u u u r ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝AB u u u r ·CB u u u r 的最小值． 13．已知向量m ＝1sin ,2A ?? ?? ?与n ＝(3，sinA cosA)共线，其中A 是△ABC 的内角．(1)求角A 的大小；(2)若BC ＝2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状． 14．在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边,且a= 12 c+bcosC. (1)求角B 的大小; (2)若S △ABC 求b 的最小值. 均值不等式 姓名 一、均值不等式。 1、二元均值不等式 设+ ∈R b a 、,则： 2 2112 2 2b a b a a b b a +≤ +≤≤+,当且仅当b a =时取等。 即：调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数 2、三元均值不等式 设+ ∈R c b a 、、,则： 3 311132 223c b a c b a a b c c b a ++≤++≤≤++,当且仅当 c b a ==时取 等。 利用最原始的方法先证明：abc c b a 33 3 3 ≥++，（+ ∈R c b a 、、）。 证明：()abc ab b a c b a abc c b a 33332233 333---++=-++ ()()()[ ] ()c b a ab c c b a b a c b a ++-+?+-+++=322 ()( )()[] ab c c b a b a c b a 322 -+?+-+++= ()( ) ca bc ab c b a c b a ---++++=222 ()()()()021*******≥?? ? ???-+-+-++=a c c b b a c b a 所以:abc c b a 33 3 3 ≥++ 把“3 a → a , 3 b → b , 3 c → c”得33abc c b a ≥++即3 3 abc c b a ≥++,当且仅当a = b = c 时上式取”=”号. *3、n 元均值不等式 设+∈R a a a a n 、、、、 321, 调和平均数：n n a a a a n H 1111321 +++= 几何平均数：n n n a a a a G ??= 321 算术平均数：n a a a a A n n ++++= 321 平方平均数：n a a a a Q n n 2 232221++++= 则n n n n Q A G H ≤≤≤，当且仅当n a a a a ==== 321时取等。 二、利用三元均值不等式求最值 设+ ∈R c b a 、、,则： 3 a b c ++≥当且仅当c b a ==时取等。 变形1： (1)a b c ++≥a ，,b c R + ∈）等号成立a b c ?==。 积为定值时，和有最小值（积定和最小） 变形2：3 3a b c abc ++??≤ ? ? ?（a ，,b c R + ∈）等号成立a b c ?==。 和为定值时，积有最大值（和定积最大） 注意：一正，二定，三相等 例1、 求函数()2 4 20y x x x =+ >的最小值。 :变式1：求函数() ()2 4 11y x x x =+>-的最小值。 基本不等式知识点归纳 1基本不等式.ab空 2 (1) 基本不等式成立的条件： a . 0,b .0. (2) 等号成立的条件：当且仅当a =b时取等号. ［探究］1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？ 提示：①当a = b时，乞_卫_ ab取等号，即a = b= 皂卫hJ ab. 2 2 ②仅当a二b时，-—丄」ab取等号，即 -—=.-；：ab = a =b. 2 2 2?几个重要的不等式 2 2 b a a b 丄2ab(a,b R); 2(ab 0). a b 2 2 a + b 2 a +b 2 a +b ab 臥)(a,b R);( ) (a,b R) 2 2 2 3?算术平均数与几何平均数 设a 0,b 0,则a,b的算术平均数为』~卫，几何平均数为,ab，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术 2 平均数不小于它的几何平均数. 4?利用基本不等式求最值问题 已知x 0, y - 0,则 (1) 如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时，x y有最小值是2「p.(简记：积定和最小). 2 (2) 如果和x y是定值p,,那么当且仅当x = y时，xy有最大值是—.(简记：和定积最大). ［探究］2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 1 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解?例如，y=x 在x_2时的最小值，利用单调 x 5 性，易知X = 2时丫皿山二. 2 ［自测?牛刀小试］ 1.已知m?0, n ? 0,且mn =81，则m ? n的最小值为() A. 18 B. 36 C. 81 D . 243 解析：选 A 因为n>0, n>0,所以m+ n>2 mn= 2 81 = 18. 课题：基本不等式及其应用 一、教学目的 (1)认知：使学生掌握基本不等式a 2＋b 2≥2ab(a 、b ∈R ，当且仅当a=b 时取“=”号)和 ab b a ≥+2 (a 、b ∈R +，当且仅当a=b 时取“=”号)，并能应用它们证明一些不等式． (2)情感：通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力． 二、教学重难点 重点：两个基本不等式的掌握； 难点：基本不等式的应用。 三、教材、学生分析 教材分析：两个基本不等式为以后学习不等式的证明和求函数的最大值或最小值提供了一种 方法，基本不等式的理解和掌握对以后的解题是很有帮助的。 学生分析：学生在上新课之前都预习了本节内容，对上课内容有一定的理解。所以根据这一 情况多补充了一些内容，增加了课堂容量。 四、教学过程 （一）引入新课 客观世界中，有些不等式关系是永远成立的。例如，在周长相等时，圆的面积比正方形的面积大，正方形的面积又比非正方形的任意矩形的面积大。对这些不等关系的证明，常常会归结为一些基本不等式。今天， 我们学习两个最常用的基本不等式。 （二）推导公式 1．奠基 如果a、b∈R，那么有(a－b)2≥0 ① 把①左边展开，得 a2－2ab＋b2≥0， ∴a2＋b2≥2ab． ② ②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍．这就是课本中介绍的定理1，也就是基本不等式1，对任何两实数a、b都成立．由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出“=”号成立的充要条件．②式中取等号的充要条件是什么呢？ 学生回答：a=b，因为a=b a2+b2=2ab 充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)． 以公式①为基础，运用不等式的性质推导公式②，这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法．以公式②为基础，用综合法可以推出更多的不等式．现在让我们共同来探索． 2．探索 公式②反映了两个实数平方和的性质，下面我们研究两个以上的实数的平方和，探索可能得到的结果．先考查三个实数．设a、b、c∈R，依次对其中的两个运用公式②，有 a2＋b2≥2ab； 2.2基本不等式基础练习题 一、单选题 1．已知42 y x x =++，则y 的取值范围为（ ） A ．(,6][2,)-∞-?+∞B ．(,4][4,)-∞-+∞C ．(,2][2,)-∞-+∞ D ．[2,)+∞ 2．已知0a >，0b >，且21a b +=，则11a b +的最小值为（ ） A ．3+ B ．3+ C ．3+ D ．3+3．已知实数x ，y 满足0x >，0y >，且1353y x x y + ++=，则3x y +的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 4．已知0a >，那么42a a -+ 的最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．5 5．若对任意的(0,)x ∈+∞都有1x a x +≥，则a 的取值范围是（ ） A ．(]2-∞， B ．()2-∞， C ．(2,)+∞ D ．[2,)+∞ 6．设0x >，则133y x x =-- 的最大值是（ ） A ．3 B ．3- C ．3+ D ．0 7．若20x -<<则函数(2)y x x =-+的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．5 8．下列不等式中，正确的是（ ） A ．a ＋4a ≥4 B ．a 2＋b 2≥4ab C ．x 2＋23x ≥ D 2a b +≥ 9．若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ） A ．2 a b a b +>> >B ．2a b a b +>>> C ．2a b a b +>>> D ．2a b a b +>>> 10．已知0,0a b >>，且 191a b +=，则ab 的最小值为（ ） A ．100 B ．81 C ．36 D ．9 11．已知正数m ,n 满足22100m n +=，则mn （ ）基本不等式练习题及标准答案
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