等差数列前n项求和PPT课件

a9= 27 ,
5. 三个数成递增的等差数列，它们的乘积为48，
和为12，这三个数为 2,4,6 ，
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问题呈现
问题1
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世 纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所 建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的 主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇 迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令 人叫绝。
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课前练习
1.在数列中{ a
列的通项a
n
n
}
， 若2na-11
1
.
，an1an2(n1)，则该数
2.已知等差数列{ a n } 中，首项 ,公差 ，则
－397是该数列的第_2__0_0__项.
3.{ a n }是等差数列，且a1+a4+a7+a10=46，则a3+a8 = 23 ，
4. 已知{an}是等差数列，且 a3=3 ,a6=15，则
即
公式1
Sn
n(a1an) 2
.
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公式1
Sn
n(a1an) 2
即前n项的和与首项末项及项数有关
若已知a1，n，d，则如何表示Sn 呢？
公 式 2
n(n1) Snna1 2 d
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由此得到等差数列的{an}前n项和的公式
Sn
n(a1 an) 2
即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。
-------方程思想
3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量，可以求其余两个 -------知三求二
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公
解：（1（ ）2） 根已 据a等 知 1 差 3,d数 n项12列和 ,求 前公 s10.式，得 式应用
S5 03210150 2600
之
选
（2）根据等差数 n项列和前公式，得用公
S1010312 091 2
105 2
式
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练 习一
根据条件，求相应等差数列{an}的Sn:
①a1=5, an=95, n=10; ②a1=100, d=－2, n=50;
由等差数列的通项公式
上面的公式又可以写成
an = a1+(n-1)d
Sn n1 an(n21)d
解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。
公式 5 个 共 a 1 量 ,涉 d ,n ,a n ： ,S 及 n .已 到 知 3 个 其 可 2 个
正所谓：知三求二
百度文库
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例1：在等差{数an}列 中，
（1）已a知 1 3,a5010,1求s50
等差数列前n项和公式
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复习回顾
1、等差数列的概念
an-an-1=d (n∈N*且 n≥2)
2、等差数列的通项公式:
已知首项a1和公差d,则有:
an=a1+ (n-1) d
已知第m项am和公差d,则有:
an=am+ (n-m) d
3、等差数列的性质:
在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q
(m,n,p,q∈N*),那么: an+am=ap+aq
因此等差数列－10, －6, －2, 2 , …前9项的
和是54.
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练习二
等差数列 an的前 n项和记为 s n .已
知
a10 30 ,
a 50. 20
(1)求通项 a n ;
(2)令 sn 242,求 n .
小结：
1.推导等差数列前 n项和公式的方法 -------倒序相加法
2.公式的应用中的数学思想.
设等差数列a1,a2,a3,…
倒
序
它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1)
相
若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2)
加
法
由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
由(1)+(2) 得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
你知道高斯是怎样计算的吗？
1+2+3+ …… +100 = ？
高斯的算法是：
首项与末项的和：
1+100=101
第2项与倒数第2项的和: 2+99 =101
第3项与倒数第3项的和: 3+98 =101 …… 第50项与倒数第50项的和: 50+51=101
于是所求的和是：101× 100 =5050
答案：①500； ②2550；
公式应用之 变用公式
例2 等差数列－10，－6，－2，2，…的前 多少项的和为54？
解: 设该数列为{an}, 前n项的和是54 ,
∵a1=－10, d=－6－(－10)=4 ,
10nn(n1)454. 2
整理得 n2－6n－27=0.
解得 n=9, n=－3(舍弃).
问题2：图案中，第1层到第21层一共有 多少颗宝石？
借助几何图形之 直观性，使用熟悉的 几何方法：把“全等 三角形”倒置，与原 图补成平行四边形。
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探究发现
问题2：图案中，第1层到第21层一共有 多少颗宝石？
1 2 3
21 20 19
获得算法：
s21
(121)21 2
21
1
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下面将对等差数列的前n项和公式进行推导
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同 大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见 左图），奢靡之程度，可见一斑。
你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
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200多年前，德国古代著名数学家高斯10岁 的时候很快就解决了这个问题。
高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师 说: “现在给大家出道题目: 1+2+…100=?”过了两 分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10… 算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+…+100=5050．”
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探究发现
问题2：图案中，第1层到第21层一共有 多少颗宝石？ 这是求奇数个项和的问题，不
能简单模仿偶数个项求和的办法， 需 要 把 中 间 项 11 看 成 首 、 尾 两 项1和21的等差中项。
通过前后比较得出认识：高斯 “首尾配对” 的算法还得分奇、 偶个项的情况求和。
有无简单的方法？
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探究发现