勾股定理的应用题型

正确的是（
）
7
20 25 24
7
15
(A)
25
20
24
7
15
(B)
24 25 20 7
15 (C)
24来自百度文库
15
20
25 (D)
6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数
（ A） 钝角三角形
（ B） 锐角三角形
, 得到的三角形是 ( ) （C） 直角三角形 （ D） 等腰三角形 .
7.如图小方格都是边长为 1 的正方形 ,则四边形 ABCD 的面积是 ( )
求 CD 。
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3.四边形 ABCD 中，∠ B=90 °，AB=3 ，BC=4 ，CD=12 ，AD=13 ，求四边形 ABCD 的面积。
4．小明坐着轮船由 A 点出发沿正东方向 AN 航行，在 A 点望湖中小岛 M ，测得∠ MAN ＝ 30°，当他到达 B 点时，测得∠ MBN ＝ 45°，若 AM=200 米，求 AB 的长度。
）
（ A） 2,3,4 (B) 2 , 3 , 5 (C) 2,3, 5
(D) 9,12,15
（ 3）已知如图， AB=13， BD=5， AD=12， DC=9，则 AC=
(4) 如图，在四边形 ABCD中， BAD=90 ， AD=3， AB=4， BC=12， DC=13.则△ BDC是直角
三角形吗？为什么？
如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮
a 元计算，那么共需要资金（
）.
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（ A） 50 a 元
（ B） 600 a 元
（ C）1200 a 元
（ D） 1500 a 元
10.如图， A B⊥CD于 B，△ ABD和△ BCE都是等腰直角三角形，如果
的长为（
）.
CD=17，BE=5，那么 AC
勾股定理评估试卷（ 1）
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1. 直角三角形一直角边长为 12，另两条边长均为自然数，则其周长为 ( ).
（ A ）30
（ B） 28
（C） 56
（ D）不能确定
2. 直角三角形的斜边比一直角边长 2 cm，另一直角边长为 6 cm，则它的斜边长 （ A ） 4 cm（ B） 8 cm（ C） 10 cm（ D） 12 cm
一只鸟 .忽然， 两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，
它们立刻飞去抓鱼， 并且同
时到达目标 .问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？
20. 如图，已知一等腰三角形的周长是 16，底边上的高是 4. 求这个三角形各边的长 .
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21. 如图， A、B 两个小集镇在河流 CD的同侧， 分别到河的距离为 AC=10千米，BD=30千米，
3. 已知一个 Rt△的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（
）
（ A ） 25
（ B ） 14 （ C） 7
（D ） 7 或 25
4. 等腰三角形的腰长为 10, 底长为 12, 则其底边上的高为 ( )
（ A） 13
（ B） 8
（ C） 25
（ D） 64
5. 五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中
（ A） 12
（ B） 7 A
（C） 5
（ D）13
E
3米
D
C
5米
B
（第 10 题）（第 11 题）（第 14 题） 二、填空题（每小题 3 分， 24 分）
11. 如图为某楼梯 , 测得楼梯的长为 5米 , 高 3米 , 计划在楼梯表面铺地毯 , 地毯的长度至少需 要 ____________米 .
a
c
C
b
A
如果三角形的三边长 a、 b、c 满足，那么这个三角形是直角三角形 .
如图：如果 a2 b 2 c 2 ， 则有：
★ 课前练习 ：
（ 1）已知直角三角形的两直角边长分别为 9 和 12，则它的斜边长为 _______．
（ 2）下列四组数分别表示 4 个三角形的 3 条边长，则其中是直角三形的是（
C D
第 18 题 图
三、解答题（每小题 8 分，共 40 分）
19. 11 世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题： “小溪边长着两棵棕榈树， 恰好隔岸相望 .一棵树高是 30 肘尺 （肘尺是古代的长度单
位），另外一棵高 20 肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是 50 肘尺 .每棵树的树顶上都停着
D
第 24 题图 B
25.（ 14 分）△ ABC 中， BC a ，AC b ， AB c ，若∠ C=90 °，如图（ 1），根据勾股 定理，则 a 2 b2 c 2 ，若△ ABC 不是直角三角形，如图（ 2）和图（ 3），请你类比勾 股定理，试猜想 a 2 b 2 与 c 2 的关系，并证明你的结论 .
b2－ x2＝ c2― (a― x) 2
即 b2－x2 ＝c2― a2＋2ax― x 2
∴ a2＋ b2＝ c2＋ 2ax
∵ a>0，x>0
∴ 2ax>0 ∴ a2+b2>c2
当△ ABC 是钝角三角形时，
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证明：过点 B 作 BDAC ，交 AC 的延长线于点 D.
设 CD 为 x，则有 DB 2=a2－ x2
17. 如图，四边形 ABCD 是正方形， AE 垂直于 BE ，且 AE =3， BE =4，阴影部分的面积是 ______.
B
A
18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角
7cm
三角形，其中最大的正方形的边和长为 7cm,则正方形 A ，B ，
2
C， D 的面积之和为 ___________cm .
C D
A
B
23. 如图，一架 2.5 米长的梯子 AB，斜靠在一竖直的墙 AC上，这时梯足 B 到墙底端 C 的 距离为 0.7 米，如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4 米，那么梯足将向外移多少米？
A A1
四、综合探索（共 26 分）
B1
B
C
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24.（ 12 分）如图，某沿海开放城市 A 接到台风警报，在该市正南方向 100km 的 B 处有一 台风中心， 沿 BC方向以 20km/h 的速度向 D移动， 已知城市 A 到 BC的距离 AD=60km，那 么台风中心经过多长时间从 B 点移到 D 点？如果在距台风中心 30km 的圆形区域内都将 有受到台风的破坏的危险，正在 D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可 脱离危险？ C A
12. 在直角三角形 ABC 中，斜边 AB =2，则 AB 2 AC 2 BC 2 =______.
13.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 .
14. 如图，在△ ABC中，∠ C=90°， BC=3，AC=4.以斜边 AB为直径作半圆，则这个半圆的
面积是 ____________.
A
D
E
B
且 CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向
A、 B 两镇供水，铺设水管的费用为每
千米 3 万，请你在河流 CD上选择水厂的位置 M，使铺设水管的费用最节省， 并求出总费
用是多少？
B
A
L
C
D
第 21 题图
22. 如图所示的一块地， ∠ADC=90°， AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。
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勾股定理及其逆定理的应用解题
【教学目标】
准确运用勾股定理及逆定理解决实际问题。
【学习重点、难点】
重点： 熟练掌握勾股定理及其逆定理。 难点： 正确运用勾股定理及其逆定理解决问题。
【教学过程】
（一）知识回顾
B
1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方。 如图：如果∠ C=900 ，则有： 2、勾股定理的逆定理：
； 15. 13 ；
8
16.4； 17.19； 18.49；
三、解答题
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19.20；
20. 设 BD=x，则 AB=8-x 由勾股定理，可以得到
AB2=BD2+AD2，也就是 (8-x) 2=x2+42.
所以 x=3，所以 AB=AC=5， BC=6
21.作 A 点关于 CD 的对称点 A′，连结 B A′，与 CD交于点 E，则 E 点即为所求 . 总费用 150 万元 . 22.116m2； 23. 0.8 米； 四、综合探索
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（二）典型例题
例 1：如图，在四边形 的面积。
ABCD中，
B=90 ， AB=4， BC=3，CD=12， AD=13.求四边形 ABCD
例 2：如图 , 在冰雪灾害中 , 一棵大树被折断 , 树的顶端落地点 A 距离树的底部 6 米远 , 若这 棵树折断之前的高度是 18 米，问树的折断之处 C 离树底 B 多高？
M
A
B
N
5. 如图，矩形纸片 ABCD的长 AD=9㎝，宽 AB=3㎝，将其折叠，使点 D 与点 B 重合， 求 AE 的长。
6. 已知 AB=25， DA⊥ AB于 A， DA=15， CB⊥ AB于 B， CB=10，点 E在 AB边上，且 DE=CE。试 求 AE 的长度。
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24.4 小时， 2.5 小时 . 25. 解：若△ ABC 是锐角三角形，则有 a2+b2>c2 若△ ABC 是钝角三角形，∠ C 为钝角，则有 a2+b2<c2 当△ ABC 是锐角三角形时，
证明：过点 A 作 AD ⊥CB ，垂足为 D 。设 CD 为 x，则有 DB=a－ x
根据勾股定理得
根据勾股定理得
(b＋ x) 2＋ a2― x 2＝ c2
即 b2＋2bx ＋ x2＋ a2― x 2＝ c2
∴ a2＋ b2＋ 2bx＝ c2
∵ b>0， x>0
∴ 2bx>0 ∴ a2+b2<c2.
★试一试：如图，在长方形 ABCD中， DC=9，点 E 在 DC边上，沿直线 AE将△ ADE折叠，使 点 D 恰好落在 BC边上的 F 点，若 AD=15，求△ AED的面积。 （※提示：求△ AED的面积需要求出 DE的长度，由折叠可以知道 DE=且 AD=）
A
D
E
B
FC
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例 3：已知△ ABC中， AB=AC=10， BC=12，求△ ABC的面积。
C
（第 15 题）（第 16 题）（第 17 题）
15. 如图，校园内有两棵树，相距 12 米，一棵树高 13 米，另一棵树高 8 米，一只小鸟从
一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞
___________米 .
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16. 如图，△ ABC 中，∠ C=90 °， AB 垂直平分线交 BC 于 D 若 BC=8，AD =5，则 AC 等于 ______________.
★变式练习：如图已知∠ B=30°，∠ C=45°， AB=12，求△ ABC的面积。
（三）自主练习
1.（ 1）在 R t ABC 中， a 、 b 、 c 分别是 A 、 B 、 C 的对边， C= 90 若 a =6 ， c =10，则 b =； （ 2）在 R t ABC 中， a 、 b 、 c 分别是 A 、 B、 C 的对边， A= 90 若 a =41， b =9，则 c =； 2. 如图所示，在四边形 ABCD中， BAD= 90 ， DBC= 90 ， AD=3 ， AB=4 ，BC=12 ，
（ A ） 25
（ B） 12.5 （ C） 9
（ D） 8.5
D
8. 三角形的三边长为 (a b) 2 c 2 2ab , 则这个三角形是 ( ) A
C
（ A） 等边三角形
（ B） 钝角三角形
（ C） 直角三角形
（ D） 锐角三角形 .
B
9. △ ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地 . 已知∠ C=90°，AC=30米，AB=50 米，
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参考答案
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1.（ D ）； 2.（ C）； 3.（D ）；4.（ B ）； 5.（ C）；
6.（ C）；7.（ B）； 8.（ C）； 9.（B ）；10.（ D）；
二、填空题（每小题 3 分， 24 分）
25
11.7； 12.8； 13.24； 14.