2运筹学课件 对偶理论

解：利用互补松弛定理的关系对应表，将对偶问题（D）的最优解带
入其模型中，从而发现
对偶问题（D）
原问题（L）
第1个约束 y1* ＋2y2* = 2 第2个约束 y1* － y2* ＜3 第3个约束 2y1* ＋3y2* ＜5 第4个约束 y1* ＋ y2* ＜2 第5个约束 3y1* ＋ y2* = 3 第1个变量 y1*＞0
引入松弛变量 x4，x5 化为标准形后，用单纯形法求解得到最优解
x1=1000（捆），x2=2000（打），其最优单纯形表为：
x1 x2 x3 x4 x5
T BB P1
P2

8000 1000
: 若


y xs 0 和 ys x 0
则
z w yAx

则
x, y 为最优解.
:

x, y 为最优解.

则 z w yAx 所以 y xs 0 和

ys
x

0 第14页
例：已知对偶问题最优解 y1*=4/5, y2*=3/5 求原问题的最优解。
Min =2x1＋3x2＋5x3＋2x4＋ 3x5
14 0 0 3 / 2 1/ 8 0


BP1 P5 P2

4 4 2
10 0 0 0 2 0 1 1/2
1/4 0
1/ 2 1/ 8
10
对偶问题D的最优解：
y1*= 3/2 y2*=1/8 y3*=0
影子价格及经济意义
线性规划问题的对偶问题的最优解被称为影子价格。当线性规划问题的
Max Z=2x1＋3x2
x1＋2x2＋x3 = 8
4x1 ＋x4 = 16
4x2
＋x5= 12
x1, x2 , x3, x4, x5 ≥0 x3, x4, x5 是松弛变量
对偶问题D
Min
=8y1＋16y2＋12y3
y1＋4y2 ≥2
2y1 ＋4y3 ≥4
y1, y2, y3≥0
最优单纯形表
x1 x2 x3 x4 x5
第23页
这个性质最终告诉我们的是，当原问题的最优基本可行解求得时，此时原问
题的松弛变量的检验数就是对偶问题最优解，即 y*= CBB－1, 也即影子价格。 让我们来看下面的例子。
原问题L
原问题L一般形式
Max Z=2x1＋3x2 x1＋2x2≤8 4x1 ≤16 4x2≤12 x1, x2 ≥0
原问题L标准形
第17页
补充：单纯形法的矩阵描述
考虑问题
LP : max z cx s.t.Ax b
x0
引入松弛变量 xs ( xn1 , xn2 , xnm )T 得
max z cx 0xs s.t.Ax Ix s b
x, xs 0
第18页
设B是一个可行基，若
( A, I ) (B, N )
? 产，而另一企业预将上述企业拥有的资源买过来，至
少应付出多少代价，才能使前一企业愿意放弃生产活 动，出让资源。
若设yi表示收买该企业一单位i种资源时付出的代价。 则另一线性规划问题为：
收买的企业付出的代价是该商品的价格吗？
若不M是inw，它b1和y1 原 b本2 y2的 价格b是m ym什么关系？
最优基为 B 时，我们从性质 6 已经知道了它的对偶问题的最优解 Y*=CBB－1,
这就是影子价格。从经济学的边际概念出发，影子价格
CB B1b b

CB B1
实质上是资源的边际收益或边际成本。表示当资源得到最优利用的前提下，
每增加一个单位的这个资源，目标函数的增加量。
同时，在资源出售、出租或购入行为决策中，它也可作为机会成本予以考虑。
原问题（L） x1＋x2＋2x3＋x4＋3x5≥4 2x1－x2＋3x3＋x4＋x5 ≥3
xj ≥0, j=1,2, …,5
Max z=4y1＋3y2 对偶问题（D）
y1 ＋2y2 ≤ 2 y1 － y2 ≤ 3 2y1 ＋3y2 ≤ 5 y1 ＋ y2 ≤ 2 3y1 ＋ y2 ≤ 3
y1, y2≥0
n
若yi 0，则 aij x j bi j 1
n
若 aij x j bi，则yi 0 j1
（另外说法）：若

x
,

y
分别是原问题和对偶问题的

可行解，则 x, y 为最优解的充分必要条件是


y xs 0 和 ys x 0
第12页
性 质 5证 明
化原问题和对偶问题为标准形式
收购资源s.t.的aa企1121yy业11 能赚aa钱2221yy吗22 ?怎 么aamm赚12yy？mm

c1 c2
a1n y1 a2n y2 amn ym cn
y1 , y2 , ym 0
原问题与对偶问题对应关系
原问题（L）
max问题
解：建立数学模型。设 x1 , x2 ,x3 分别是每天生产原稿纸、日记本、
练习本的数量。F 为所获利润（元），则数学模型：
max F =2x1＋3x2＋x3 1/30 x1＋1/30 x2＋1/30 x3 ≤100 （资源 1：工人）
10/3 x1＋40/3 x2＋80/3 x3 ≤30000 （资源 2：白坯纸） x1,x2,x3≥0
原问题
max z cx
s.t
.
Ax x, x
xs s
0
b
对偶问题
minw yb
s.t
.
yA y, y
ys s 0
c
yA ys c
z ( yA ys )x yAx ys x
第13页
Ax xs b
w y( Ax xs ) yAx yxs
s.t. a11x1

a21 x1
am1 x1
a12 x2 a22 x2 am2 x2
a1n xn a2n xn amn xn
b1 b2 bm
x1 , x2 , xn 0
第3页
现从另一角度提出问题：假设此企业拥有资源但未生
Ax b
s.t .
x0
对偶问题
min w yb
yA c
s.t .
y0
第7页
性质1（弱对偶性）
若 x j ( j 1,2, n) 是原问题的可行解， yi (i 1,2, m) 是其对偶问题的可行解，则恒有
证明
n
m
c j x j bi yi
s.t
.
yB yN

ys1 ys2

cB cN
() ( )

ys1, ys2 , ys 0
第22页
若求得原问题的以解 xB B1b 检验数为cN cB B1 N 和 cB B1 令 y cB B 1 将它代入（*）,(**),得
ys1 0 ys2 cN cB B1N
有m个约束条件
约 束
第j个约束条件为≤关系 第j个约束条件为≥关系
一
第j个约束条件为等式关系
一
对
变 量
第j个变量≥0 第j个变量≤0
应
第j个变量无非负约束，自由变
量
资Biblioteka Baidu向量
价值向量
对偶问题（D） min问题
有m个变量 第j个变量≥0 第j个变量≤0 第j个变量无非负约束，自由变量 第j个约束条件为≥关系 第j个约束条件为≤关系 第j个约束条件为＝关系
j1
i 1
对于原问题的任意可行解 x 和对偶问题的任意可行解 y ， 由于 x 0 所以有
cx yAx yb
第8页
性质2（最优性）
若 x j ( j 1,2, n) 是原问题的可行解，
yi (i 1,2, m) 是其对偶问题的可行解，且有
n
m
c j x j bi yi
第2个变量 y2*＞0
第1个变量 x1*≥0 第2个变量 x2*=0 第3个变量 x3*=0 第4个变量 x4*=0 第5个变量 x5*≥0 第1个约束 x1*＋x2*＋2x3*＋ x4*＋3x5*=4 第2个约束 2x1*－x2*＋3x3*＋ x4*＋x5* =3
所以， x1*＋3x5*=4 2x1*＋ x5* =3，
将（2）移项后得
s.t.BxB NxN b xB , xN 0
BxB b - Nx N
将（3）左乘 B1
xB B1b - B1NxN
将（4）代入目标（1）得
z CB B1b (CN - CB B1N )xN
( 1) ( 2)
( 3)
( 4)
( 5)
第20页
xB
价值向量 资源向量
变 量 约 束
第5页
实例
例：写出下列规划的对偶规划
min5 x1 21x3

x1

x2

6 x3

2
s.t. x1 x2 2 x3 1

x
j

0;
j

1,2,3
第6页
对偶问题的基本性质
以下各性质基于如下假设
原问题
max z cx
解此方程组，可得原问题的最优解为：X*=(1 0 0 0 1)T.
第16页
性质6（变量对应关系）
设原问题和对偶问题为
原问题
max z cx
对偶问题
minw yb
s.t
.
Ax x, x
xs s
0
b
s.t
.
yA ys y, ys 0
c
则，原问题单纯形表的检验数行对应其对偶问题的 一个基解。（对应关系见表）
运筹学课件
运
决
筹
胜
帷
对偶理论
千
幄
里
之
之
中
外
第1页
对偶理论
对偶问题 对偶理论 对偶单纯形算法
第2页
对偶问题的提出
例：设某企业有m种资源，用于生产n种不同的产品，
各种资源的拥有量为bi（i=1,2,…m）,又知生产单位 第j种产品（j=1,2,…n）消费第i种资源aij单位，产
值大为，cLPj元模任。型若意为用：线xj表性示规第划j种问产品题的都生产存量在，求产值最 一个M与ax之z c伴1x1随 c2的x2 对 偶cn x问n 题
xN
xs
0
cN cB B1 N
cB B1
ys1
ys2
y
第21页
性 质 6证 明
设B是原问题的一个可行基，所以 A (B, N )
max z cB xB cN xN
s.t
.
Bx
B
x
NxN N , xB , xs
xs 0
b
相应的对偶问题为 min w yb
第10页
性质3（无界性）：若原问题（对偶问题）有无界解， 则其对偶问题（原问题）无可行解。 性质4（强对偶性，对偶定理）：若原问题有最优解， 则其对偶问题也一定有最优解，且max z=min w。
第11页
性质5（互补松弛性）
在线性规划问题的最优解中，若对应某一约束条件的 对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式；反之 若约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定 为零。即
则对应于B的变量向量 xB ( xB1 , xB2 , xBm )T
则
x


xB xN

同时将C也分成两块 C CB CN
所以,有
B
N

xB xN


b
CB
CN

xB xN


CB
xB

CN
xN
第19页
所以，LP问题写成
max z CB xB CN xN
简单地说，影子价格反映了（稀缺）资源所创造的价值。
第25页
影子价格随具体情况而异：在完全市场经济条件下， 当某种资源的市场价格低于影子价格时，企业应该 买进该资源用于扩大生产；当某种资源的市场价格 高于影子价格时，企业应该把该资源卖掉。所以， 影子价格具有市场调节作用。
第26页
例 某造纸厂用原材料白坯纸生产原稿纸、笔记本和练习本三种产品。 该厂现有工人 100 人，每天白坯纸供应量为 3 万公斤。已知工人的劳 动生产率为：每人每天生产原稿纸 30 捆，或生产日记本 30 打，或练 习本 30 箱。而原材料的消耗为：每捆原稿纸用白坯纸 10/3 公斤，每 打笔记本用白坯纸 40/3 公斤，每箱练习本用白坯纸 80/3 公斤。生 产一捆原稿纸可获利 2 元，生产一打笔记本可获利 3 元，生产一箱 练习本可获利 1 元。试确定在现有生产条件下的最优生产方案。如 白坯纸的供应量不变，当工人数不足时可招收临时工，临时工的工资 支出为每人每天 40 元，问：要不要招收临时工？
i 1
i 1
则
x j ( j 1,2, n) 是原问题的最优解，
yi (i 1,2, m) 是其对偶问题的最优解。
第9页
性 质 2证 明
对于原问题的任意可行解 x 和对偶问题的任意
可行解 y ，有
cx yAx yb
又因为 则
cx yb
cx y Ax yb