微积分课后习题答案第五章

第五章

习题5-1

1.求下列不定积分：

(1)

5)x -d x ;

(2) 2

?x ; (3)

3e x x

d x ； (4) 2cos 2

?d x ； (5) 23523

x x

?-??d x ； (6) 22cos 2d cos sin x

x x x ?.

解

15173

2222

210(1)

5)(5)573d d d d x x x x x x x x x x C -=-=-=-+???

11322

222113222

2(2)(2)24235

d d d d x x x x x x

x x x x x x x x C

==-+=-+=++????

213(3)3(3)(3)ln(3)1ln 3

1cos 1111

(4)cos cos sin 222222235222(5)[25()]25()333

125225()223(ln 2ln 3)3ln()3

e e d e d e e d d d d d d d d x x x

x x x x

x x

x x C C

x x x x x x x x x C

x x x x x C x C ==+=+++==+=++?-?=-?=-?=-?+=-+-??????????2222

222222cos 2cos sin (6)(csc sec )cos sin cos sin csc sec cot tan d d d d d x x x x x x x x x x x x

x x x x x x C

-==-=-=--+?????

2. 解答下列各题：

(1) 一平面曲线经过点(1，0)，且曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程； (2) 设sin x 为f (x )的一个原函数，求

()f x '?d x ；

(3) 已知f (x )的导数是sin x ，求f (x )的一个原函数；

(4) 某商品的需求量Q 是价格P 的函数，该商品的最大需求量为1000(即P=0时，Q =1000),

已知需求量的变化率(边际需求)为Q ′(P )=-10001()3

ln3,求需求量与价格的函数关系. 解 (1)设所求曲线方程为y =f (x ),由题设有f′(x )=2x -2,

2()(22)2d f x x x x x C ∴=-=-+?

又曲线过点(1,0),故f (1)=0代入上式有1-2+C =0得C =1,所以,所求曲线方程为

2()21f x x x =-+.

(2)由题意有(sin )()x f x '=,即()cos f x x =, 故 ()sin f x x '=-, 所以

()sin sin cos d d d f x x x x x x x C '=-=-=+???.

(3)由题意有()sin f x x '=,则1()sin cos d f x x x x C ==-+?

于是

()(cos )sin d d f x x x C x x C x C

=-+=-++??.

其中12,C C 为任意常数,取120C C ==,得()f x 的一个原函数为sin x -.

注意此题答案不唯一.如若取121,0C C ==得()f x 的一个原函数为sin x x --. (4)由1()1000()ln 33

Q P '=-得

111

()[1000()ln 3]1000ln 3()1000().333

d d P P P Q P x x C =-=-?=?+??

将P =0时,Q =1000代入上式得C =0

所以需求量与价格的函数关系是1()1000()3

Q P =.

习题5-2

1.在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立： (1) d x = d(ax +b )(a ≠0)； (2) d x = d(7x -3)； (3) x d x = d(52

x )； (4) x d x = d(1-2

x )； (5) 3

x d x = d(3x 4-2); (6) 2e x

d x = d(2

e x

)； (7) 2e

x -d x = d(1+2

x -

); (8)

d x

= d(5ln ｜x ｜);

(9)

= d(1-arcsin x ); (10)

= d

(11)

2d 19x x += d(arctan3x ); (12) 2

d 12x

x +=

d(arctan );

(13) (32x -2)d x = d(2x -3

x )； (14) cos(23x -1)d x = dsin(23x -1).

解 1

(1)()(0)()d d d d ax b a x a x ax b a +=≠∴=+

22224334222221

(2)(73)7(73)

(3)(5)10(5)

101

(4)(1)2(1

)

(5)(32)12(32)

121

(6)

()2()

(7)(1)d d

d d d d

d d d d d d d d d d d

e e d e d d e d e e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=∴=-=∴=-=-∴=---=∴=-=?∴=+=222221

(

)2(1)

(8)(5ln )(5ln )

(9)(1arcsin )

(1arcsin )

(10)1(2)3(11)(arctan 3)19d e d d e d d d d d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --?-∴=-+=∴=-==---=-==-=+2

22322231

(arctan 3)193

(12)))

1212(13)(2)(23)(32)(32)(2)

222232(14)sin(

1)cos(1)cos(1)sin(1)333323

d d d d d d d d d d d d

d x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x ∴=+=∴=++-=-=--∴-=---=-∴-=- 2.求下列不定积分： (1)

5e d t t ?; (2) 3

(32)x -?

d x ; (3)

d 12x

x -?; (4)

(5)

t ; (6)

d ln ln ln x

x x x ?;

(7)

102

tan sec d x x x ?

; (8) 2

e d x x x -?;

(9)

sin cos x x x ?; (10) ?; (11)

e e x x x

-+?; (12)

x ;

(13) 3

3d 1x x x

-?; (14) 3sin d cos x

x x ?;

(15)

x ; (16) 3

2d 9x x x +?; (17)

2d 21x

x -?; (18) d (1)(2)x

x x +-?;

(19 2

cos ()d t t ω?+?

); (20) 2cos ()sin()d t t t ω?ω?++?; (21) sin2cos3d x x x ?; (22) cos cos d 2

x x x ?; (23)

sin5sin 7d x x x ?; (24) 3

tan

sec d x x x ?;

(25)

x ; (26)

;

(27)

ln tan d cos sin x

x x x ?; (28)

21ln d (ln )x

x x x +?;

(29)

,0x a >; (30)

(31)

d x

; (32)

(33)

; (34)

,0x a >;

(35)

x ; (36) x ; (37)

2sec ()d 1tan x x x +?; (38) (1)d (1e )

x x x x x ++?(提示：令x

t e =). 解 5555111(1)5(5)555

e d e d e d e t

t t t

t t t C =

?==+?

411(2)(32)(32)(32)(32)28

d d x x x x x -=---=--??

122333

111

(3)(12)ln 12122122

1131(4)(23)(23)()(23)(23)3322(5)22sin 111

(6)(ln ln )ln ln l ln ln ln ln ln ln ln ln d d d d d d d d x x C x x x x x x C x C

t t C x x x x x x x x x x

-=--=-+---=---=--+=--+===-=?==?

??????222210210112

n 1

(7)tan sec tan (tan )tan 11

111(8)(2))222(9)22csc 22sin cos 2sin cos sin 2ln ln csc 2cot 2tan sin c d d e d e d e d(-e d d d d d 或x x x x C

x x x x x x x C

x x x x x C

x x x

x x

x x x x x C C x x x x x ----+?==+=-?-=-=-+===??=+=+-??????????2cos 1

tan ln tan os sin cos tan d d x x x C

x x x x x

=?==+?

234(10)ln 1(11)()arctan 11()

11(12)631333(13)14d d e d d e e e e e e d x x x

x x

x x C

x x C x x x

x x x -==-+===++++'

=-=-=-==--??????

?34

4443

2334313(1)ln 11414

sin sin 1(14)cos cos cos cos cos 2

(15)1218)2381

d d d d d d d x x x C x x x x x x x x x x C x x x x x

x x x

---=--=-+----=-=-=+=-=+-=?????12

2221(94)(94)38)d x x x -+--?

12arcsin 23x C =

33222222

2999(16)()9999119(9)ln(9)2922

111(17)212221)1)x x x x x

x x x x x x x

x x x x x C x x x x x

x +-==-+++=-+=-+++==--=-+???????d d d d d d d

2111111111

(18)()(2)(1)

(1)(2)32132311112ln ln ln 2133311cos(22)11

(19)cos ()cos(22224C C

x x x x x x x x x x x C C

x x x t t t t t t ω?ω?ωω

+++=-=--++--+-+-=-+=+-+++++==++?????? d d d d d d d 223)(2)11

cos(22)(22)2411

sin(22)241

(20)cos ()sin()cos ()cos()

cos ()3(21)sin 2cos3t t t t t t C

t t t t t t C x x ?ωω?ω?ω

ω?ω

ω?ω?ω?ω?ω

ω?ω

?=+++=+++++=-++=-

++?????d d d d 111

(sin 5sin )sin 55sin 210211

cos5cos 102

13133(22)cos cos (cos cos )cos ()cos ()

222232222

13sin sin 3221

(23)sin 5sin 7(cos12x x x x x x x x

x x C

x x x x x x x

x x x x x

x x x =-=-=-++=+=+=++=-????????d d d d d d d d d 2cos 2)11

cos12(12)cos 2(2)

24411

sin12sin 2244x x x

x x x x x x C

-=-+=-++????d d d

322

(24)tan sec tan(sec)(sec1)sec

sec sec

(25)2arctan2

(arctan

(26)

(arcsin)

d d d

x x x x x x x

x x C

x x x

==-

=-+

???

(arcsin)

arcsin

x C

=-+

ln tan1

(27)ln tan sec

cos sin tan

ln tan(ln tan)(ln tan)

1ln111

(28)(1ln)(ln)

(ln)ln(ln)ln

(29)

d d

d d d

x x x x

x x x

x x x C

x x x x x C x x x x x x x x

x a

=??

==+

=+==-+

==-

???

利用教材§5.2例16及公式(20)可得:

原式

arcsin arcsin arcsin

2222

x a x a x

a C C

a a a

--=-.

(30)令tan,(,)

ππ

x t t

=∈-,则2

sec

d d

x t t

所以2

sec cos sin

sec

d d

t t t t t C

====+

tan,sin原式

x t t C

=∴=∴=+.

(31)令3sec,(0,)

x t t

=∈,可求得被积函数在x>3上的不定积分,此时

3sec tan3tan

d d

x t t t t

=?=

故

3tan

3sec tan3tan3(sec1)

3sec

d d d

x t t t t t t t

=??==-

???

3tan3

t t C

=-+.

由3sec,(0,)

x t t

=∈

得tan

t=,

又由3sec

x t

=得

sec,cos,arccos

t t t

x x

===,

3arccos 3arccos )x C C x x

∴=+=+ 又令x =3sec t ,类似地可得被积函数在x <-3上的不定积分

11333arccos 3(arccos )3

3arccos d π x C C x x x C

=+=-+=+?

综上所述有

3arccos x C x

=+. (32)令sin ,(,)22

ππ

x t t =∈-

,则cos d d x t t =

. 11cos sin cos sin cos sin cos 2sin cos 11111(sin cos )ln sin cos 22sin cos 2211

arcsin ln .22

d d d d d t t t t

t t t

t t t t

t t t t C t t t t x C x ++-=?=++=

++=++++=++???? (33)令sin ,(,)22

ππ

x t t =∈-

,则cos ,d d x t t =

2cos 1(1)sec ()

1cos 1cos 22tan arcsin .

2d d d d t t t

t t t t t t t C x C ∴==-=-++=-+=-???

(34)

1(2d d x a x x a =+=+?

arcsin

a C a

=?. (35)令2sin ,(,),2cos 22

ππd d x t t x t t =∈-=,

所以

2222cos 2cos cot csc 4sin d d d d t

x t t t t t t t t

=?==-????

cot arcsin 2

x t t C C x =--+=--+.

(36)

2d x x x ==

(1)ln1

x C

=+=+

由被积函数知x≤-2或x>0,令

当x>0时,(

此时t

>0)

2(12)(12)

d d

x t t

t t

t t C

C C C

==-

=-=-++=-

-=-+=-+

当x≤-2时

,此时

-≤<

2(12)(12)

d d

x t t

t t

t t t C

C C C

==-

==++

==+=+

综上所述:原式= ln1C

x+.

(37)

sec sec11

()(1tan)

1tan(1tan)(1tan)1tan

d d d

x x

x x x C x x x x

==+=-+ ++++

???.

(38)令e x=t,则x=ln t,d x=

d t.

11ln1111

(ln)(ln)

(1)ln(1ln)ln(1ln)ln1ln

(ln)(1ln)ln ln

ln1ln

ln ln ln ln ln ln

d d d d

d d

e e e

e x

x x x

x x t

x t t t t t x x t t t t t t t t t t t t

t t t t C

t t t t

C C x C

x x x

x ++??

=?==-

??++++

=-+=-+

=-+=+-+=++

????

习题5-3

1.求下列不定积分：

(1) sin d

x x x

?; (2) e d x x x

(3) arcsin d x x ?; (4) e

cos d x

x x -?;

(5) 2e sin d 2

x x -?; (6) 2

tan d x x x ?

; (7) 2e d t t t -?; (8)2

(arcsin )d x x ?; (9)

e sin d x x x ?;

(10) x ?;

(11)cos(ln )d x x ?; (12)2(1)sin 2d x x x -?

;

(13)ln(1)d x x x -?; (14)22

cos

d 2

x x x ?

; (15)32ln d x

x x

?; (16)sin cos d x x x x ?;

(17)2cot csc d x x x x ?; (18)

2(1)e d x

x x x +?

; (19)1

(ln ln )d ln x x x

; (20)e ln(1e )d x x x +?; (21) 23sin d cos x x x ?;

(22)22

ln(d (1)x x x x +?; (23)2

e d (1)x x x x +?; (24)arctan 3

e d (1)x

x x x +?. 解 (1)sin cos cos cos cos sin d d d x x x x x x x x x x x x C =-=-+=-++???

(2)()(1)e d de e e d e e d e e e x x x x x x x

x x x x x x x x C x C

---------=-=-+=---=--+=-++????

21(3)arcsin arcsin arcsin (1)2arcsin d x x x x x x x x x x x C

=-=+

-=+???

(4)cos cos cos (sin )cos sin cos sin cos e d de e e d e de e e e d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

---------=-=-+-=-+=-+-?????

2cos (sin cos )(sin cos )

cos 2

e d e e e d x x x x

x x x x C x x x x C

----∴=-+-∴=+??

22221111(5)sin sin sin cos 22222222

e d de e e d x x x x x x x x

x x ----=-=-+????

2222222211sin cos 22821111sin cos (sin )2282822111sin cos sin 2282162

e de e e e d e e e d x x

x x x x x x x x

--------=--=--+-=---???

2221221711sin sin cos 1622282

2sin (cos 4sin )21722e d e e e d e x x x x x x x x

x C x x x

x C

-----∴

=--+∴=-++??

2222

222222221

(6)tan (sec )sec 2

(tan )tan tan 22

tan ln cos 2

111

(7)2221111

(2)2424

d d d d d

e d de e e d e e d e t t t t t t t x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x C

x t t t t t

t t t -------=-=-=-=--=+-+=-=-+=---=--???????

?222222(8)(arcsin )(arcsin )2arcsin (arcsin )2arcsin (arcsin )2(arcsin )2e d d t C

x x x x x x x

x x x x -+=-?=+=+-=+-????

?22(arcsin )21cos 211

(9)sin cos 222211

cos 222

e d e d e d e d e e d x x x x x x x x x x C

x x x x x x x

x x

=+-+-==-=-?????

而

cos 2cos 2cos 22sin 2cos 22sin 2e d de e e d e de x x x x x x

x x x x x x x x ==+=+????

cos 22sin 24cos 2e e e d x x x x x x x =+-?

cos 2(cos 22sin 2),

11111

(cos 22sin 2)(sin 2cos 2).

2102510

e d e 原式e e e x x x x x x x x x C x x C x x C ∴=++∴=-++=--+?

(10)

t =,则32

,3d d x t x t t ==

2222222

3336363663663(22)32)e d de e e d e de e e e d e e e e t t t t t t t t t t t t t x t t t t t t

t t t t t t t C t t C C

===-=-=-+=-++=-++=+??????

(11)令ln x =t ,则,e d e d t

x x t ==,

cos(ln )cos cos de e cos e sin e cos sin e e cos e sin e cos cos(ln )sin(ln )cos(ln )cos(ln )[cos(ln )sin(ln )]2

d e d d d d d d t t t t

x x t t t t t t t t t t t t

x x x x x x

x x x x C

===+=+=+-=+-∴=++????????

22222211(12)(1)sin 2sin 2sin 2cos 2sin 2(2)22

cos 2cos 2cos 222111

cos 2cos 2sin 222211cos 2cos 2sin 222d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x

x x x x -=-=-

-=-++=-++=-++???????221

2sin 22111

cos 2cos 2sin 2cos 2222413()cos 2sin 2222

d x x x

x x x x x x C

x x x C

-=-++++=--++?222

2222221(13)ln(1)ln(1)()ln(1)2221

111111

ln(1)ln(1)(1)2212221111

ln(1)()ln 122221(1)ln(1)2d d d d d d x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x C

x x x -=-=----+=--=--+---=--+-+-=--??????211

x x C --+ 2222232321cos 11

(14)cos cos 2222

1111

sin sin sin 6262

d d d d d d x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

+=?=+=+=+-??????

3232321111

sin cos sin cos cos 6262

sin cos sin .62d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x C =

++=++-=++-+??

333222323223232232ln 111

(15)ln ()ln 3ln 11131

ln 3ln ()ln ln 6ln 131

ln ln 6ln ()

1361

ln ln ln 613ln ln d d d d d d d x x x x x x

x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x =-=-+=--=--+=---=---+=--???????3266

ln 1

(ln 3ln 6ln 6) x x C

x x x x x C

x --+=-++++ 11(16)sin cos sin 2cos 22411

cos 2cos 2cos 2cos 2244481

cos 2sin 248

d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x C

=-=-+=-+=-++?????

()222221

(17)cot csc csc csc csc 2

csc csc csc cot 2222

d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x C

=-=-

=-+=--+????

22222222222222222211(18)(1)(1)(1)221111

(1)2(1)()2222

111

(1)222

e d e d de e e d e e d e e e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x C x C

+=+=+-?=+-=+-+=+???

11111(19)(ln ln )ln ln ln ln ln ln ln ln 11

ln ln ln ln ln ln d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x C

x x

=+=-??+=-+=+???????

大学高等数学第四章不定积分答案

第四章不定积分习题 4-1 1.求下列不定积分：（1）解：C x x x x x x x x x +-=-= -??- 25 232 122d )5(d )51( （2）解：?+x x x d )32(2 C x x x ++ ?+ =3 ln 29 6 ln 6 22 ln 24 （3）略. (4) 解：? ??-+ -= +-x x x x x x x d )1(csc d 1 1d )cot 1 1( 2 2 2 2 =C x x x +--cot arcsin (5) 解：?x x x d 2103 C x x x x x x += ==??80 ln 80 d 80 d 810 (6) 解：x x d 2 sin 2 ?=C x x x x ++= -= ?sin 2 12 1d )cos 1(2 1 (7)? +x x x x d sin cos 2cos C x x x x x x x x x x +--=-= +-= ?? cos sin d )sin (cos d sin cos sin cos 2 2 (8) 解：? x x x x d sin cos 2cos 2 2 ?? - = -= x x x x x x x x d )cos 1sin 1( d sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2 C x x +--=tan cot (9) 解： ???-=-x x x x x x x x x d tan sec d sec d )tan (sec sec 2 =C x x +-sec tan (10) 解：},,1max{)(x x f =设?? ? ??>≤≤--<-=1,11,11,)(x x x x x x f 则. 上连续在),()(+∞-∞x f ， )(x F 则必存在原函数，???? ???>+≤≤-+-<+-=1,2 1 11, 1,21)(32212 x C x x C x x C x x F 须处处连续，有又)(x F )2 1(lim )(lim 12 1 21 C x C x x x +- =+-+-→-→ ，,2 1112C C +- =+-即

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3分）定积分22 π π-?的值为（）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限二、填空题（共12分） 1．（3分）平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 20 1 lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分）设2 ,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?

4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分

大学高等数学上考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（）.

微积分第4章习题解答(上)

第四章习题参考解答习题4-1 1、下列各方程中,哪些是微分方程,哪些不是微分方程?若是微分方程，请指出其阶数（1）是一阶微分方程；（2）不是微分方程；（3）是一阶微分方程；（4）是二阶微分方程；（5）是一阶微分方程；（6）是一阶微分方程。 2、在下列各题所给的函数中，检验其中哪个函数是方程的解?是通解还是特解? （1）（B ）是特解（C ）是通解；（2）(A)是特解（B ）是通解；（3）（A ）是通解（B ）是特解 3、求下列各微分方程在指定条件下的特解（1）解：x x x y xe dx xe e dx ==-?? (1)x y e x C ∴=-+ 将(0)1y =代入上式，得2C = 故满足初始条件的特解为：2)1(+-=x e y x （2）解：C x x dx y +==? ln 将(1)1y =代入上式，得1C = 故满足初始条件的特解为：1ln +=x y 4、写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程（1）解：设曲线为)(x y y = 由条件得2x y =' （2）解：设曲线为)(x y y =，则曲线上点),(y x P 处的法线斜率为y k '- =1 由条件知PQ 中点的横坐标为0，所以Q 点的坐标为)0,(x -，从而有 01 ()y x x y -=-' --

即：20yy x '+= 注：DQ PD k = 习题4-2 1、求下列微分方程的通解（1）sec (1)0x ydx x dy ++= 解：原方程变形为：cos 1x ydy dx x =- + 积分：11 cos 1 x ydy dx x +-=-+?? 得：sin ln 1y x x C =-+++ 所求的通解为：C y x x =++-sin 1ln （2） 10x y dy dx += 解：原方程变形为： 1010 x y dy dx = 积分：1010x y dy dx =? ? 得：1111010ln10ln10 y x C -=+ 所求的通解为：1010x y C --= （3）ln y y y '= 解：原方程变形为： ln dy dx y y = 积分：1ln dy dx y y =? ? 得：ln ln y x C =+，2ln x y C e = 所求的通解为：x Ce y e = 注：21,2C C e C e C ==；（4）tan cot ydx xdy = 解：原方程变形为：cot tan ydy xdx =

大一微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷选择题（6×２） cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时，与相比是（　）Ａ高阶无穷小Ｂ低阶无穷小Ｃ等价无穷小Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　）Ａ连续点Ｂ可去间断点Ｃ跳跃间断点Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（）n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（）Ａ仅有水平渐近线Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２２１１、（）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为：ｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１４、ｙ拐点为：ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-3

1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（） 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（） 5、设函数ｆ(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求解：3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限

大学微积分复习题

0201《微积分(上)》20１5年0６月期末考试指导一、考试说明考试题型包括：选择题(10道题，每题２分或者3分）。填空题（５-10道题,每题2分或者3分)。计算题（一般5-7道题,共4０分或者50分）。证明题(2道题，平均每题10分）。考试时间：90分钟。二、课程章节要点第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数１．考试内容集合的定义,集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法,分段函数,反函数，复合函数,隐函数，函数的性质（有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。 2.考试要求（１)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。（2）理解函数的概念。掌握函数的表示法,会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (４)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。 (二)极限１．考试内容数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。 2.考试要求 (1）理解数列及函数极限的概念（2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。（3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性）。掌握极限的四则运算法则。 (４）理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。（5）掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续１．考试内容函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性，反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，零点定理)。 2．考试要求（1）理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。

大一微积分期末试题附答案

微积分期末试卷一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（　）Ａ高阶无穷小Ｂ低阶无穷小Ｃ等价无穷小Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　）Ａ连续点Ｂ可去间断点Ｃ跳跃间断点Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（）n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（）Ａ仅有水平渐近线Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线Ｄ既有铅直渐近线二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２２１１、（）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为：ｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-3

三、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（） 5、设函数ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（）六、应用题 1、描绘下列函数的图形 21y x x =+

清华大学微积分习题(有答案版)

第十二周习题课一．关于积分的不等式 1．离散变量的不等式（1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2）广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时，就是AG 不等式。（3） Young 不等式：由（2）可得设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。（4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。（5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。（6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1

微积分第五章第六章习题答案

习题5.1 1.（1） sin x x ；3sin x （2）无穷多；常数（3）所有原函数（4）平行 2. 23x ；6x 3.（1）3223 x C --+（2）323sin 3x x e x C +-+（3）3132221(1565(2))15x x x x C -++-+ （4 2103)x x C -++ （5）4cos 3ln x x C -++（6）3 23 x x ex C +-+ （7） sin 22 x x C -+（8 ）5cos x x C --+ 4. 3113y x =+ 5. 32()0.0000020.0034100C x x x x =-++；(500)1600;(400)(200)552C C C =-= 习题5.2 1.（1）1a （2）17（3）110（4）12-（5）112（6）12（7）2-（8）15（9）-（10）12 - 2. （1）515t e C + （2）41(32)8x C --+（3）1ln 122x C --+（4）231(23)2 x C --+ （5 ）C -（6）ln ln ln x C +（7）111tan 11x C +（8）212 x e C --+ （9）ln cos ln sin x x C -++（10 ）ln C -+（11）3sec sec 3 x x C -++ （12 ）C （13）43ln 14x C --+（14）2sec 2 x C + （15 12arcsin 23x C + （16）229ln(9)22 x x C -++ （17 C （18）ln 2ln 133 x x C -+-+ （19）2()sin(2())4t t C ?ω?ωω++++ （20）3cos ()3t C ?ωω +-+ （21）cos 1cos5210x x C -+ （22）13sin sin 232x x C ++（23）11sin 2sin12424 x x C -+ 习题5.3 1.（1）arcsin ,,u x dv dx v x === （2）,sin ,cos u x dv xdx v x ===-

高等数学(同济大学版)第四章练习(含答案)

第四章不定积分一、学习要求 1、理解原函数与不定积分的概念及性质。 2、掌握不定积分的第一类换元法、第二类换元法及分部积分法。二、练习 1．在下列等式中，正确的结果是( C ). A. '()()f x dx f x =? B.()()df x f x =? C. ()()d f x dx f x dx =? D.[()]()d f x dx f x =? 2.若ln x 是函数()f x 的一个原函数，则()f x 的另一个原函数是（ A ）； A. ln ax B.1ln ax a C.ln x a + D.21(ln )2 x 3.设()f x 的一个原函数是2x e -，则()f x ＝（ B ）； A. 2x e - B. 22x e -- C. 24x e -- D. 24x e - 4．'' ()xf x dx =? （ C ）. A.'()xf x C + B. '()()f x f x C -+ C. '()()xf x f x C -+ D. '()()xf x f x C ++. 5 ．将化为有理函数的积分，应作变换x =（ D ）. A. 3t B. 4 t C. 7 t D. 12 t 6.dx = 1/7 ()73d x -， 2cos 2dx x = 1/2 ()tan 2d x ，2 19dx x =+1/3 ()arctan3d x ； 7. 已知(31)x f x e '-=，则()f x =1 3 3x e c ++. 8.设()f x 是可导函数，则'()d f x x ?为()f x C +. 9.过点(1,2)且切线斜率为34x 的曲线方程为41y x =+ 10.已知()cos xf x dx x C =+?，则()f x =sin x x - 11.求下列不定积分解: (1) 22 32tan 1tan tan tan 1sin 3 x dx xd x x c x ==+-?? (2) 22arctan 11 x x x x x x x dx e dx de e c e e e e -===++++??? 5 34 2 (3)t a n s e c t a n s e c s e c x x d x x x d x ? =??? 22 2(s e c 1)s e c s e c x x d x =-?? ()642sec 2sec sec sec x x x d x =-+?753121 sec sec sec 753 x x x c = -++

大一上微积分试题(山东大学)

数学试题热工二班温馨提示：各位同学请认真答题，如果您看到有的题目有种似曾相识的感觉，请不要激动也不要紧张，沉着冷静的面对，诚实作答，相信自己，你可以的。祝你成功！一、填空题（共5小题，每题4分，共20分） 1、求极限2 2lim (1)(1)......(1)n n x x x →∞ +++= (1x <) 2、曲线y=（2x-1）e x 1 的斜渐近线方程是（） 3、计算I=dx e x e x x ? -+2 2 41sin π π =（） 4、设y=x e x 1si n 1t an ，则'y =（） 5、已知()()() 100 2 1000 ln 1212x y x t t t ??=++-+? ?? ? ?dt ，求( ) ()x y 1001 二、选择题（共5小题，每题4分，共20分）６、设()0 ()ln 1sin 0,1,1lim x x f x x A a a a →? ?+ ? ? ?=>≠-求20 ()lim x f x x →＝（）Ａ．ln a Ｂ．Ａln a Ｃ２Ａln a Ｄ．Ａ７、函数 1.01 ().12 x x x f x e e x -≤

（）Ａ.当()f x 是偶函数时，()F x 必是偶函数Ｂ.当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数Ｃ．当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数Ｄ．当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数９、设函数()f x 连续，则下列函数中必为偶函数的是（）Ａ．2 0()x f t dt ? Ｂ．2 0()x f t dt ? Ｃ[]0 ()()x t f t f t - -?dt Ｄ．[]0 ()()x t f t f t + -?dt １０、设函数ｙ＝()f x 二阶导数，且 () f x 的一阶导数大于０， ()f x 二阶导数也大于０，x 为自变量ｘ在0x 处得增量，y 与dy 分别为()f x 在点0 x 处的增量与微分，若x ＞０，则（）Ａ．０＜dy ＜ y Ｂ．０＜y ＜dy Ｃ．y ＜dy ＜０Ｄ．dy ＜ y ＜０三、计算，证明题（共６０分）１１、求下列极限和积分（１）222 22 sin cos (1)ln(1tan ) lim x x x x x x e x →--+（５分）（２）3 5 sin sin x xdx π -? （５分）（３）lim (cos 1cos x x x →∞ +-）（５分）１２．设函数()f x 具有一阶连续导数，且 " (0)f （二阶）存在，(0) f

微积分二课后题答案,复旦大学出版社第五章

第五章习题5-1 1.求下列不定积分： (1) 2 5)x -d x ; (2) 2 x ; (3) 3e x x ?d x ； (4) 2cos 2 x ?d x ； (5) 23523x x x ?-??d x ； (6) 22cos 2d cos sin x x x x ?. 解 5 15173 2 2222 22210 (1) 5)(5)573d d d d x x x x x x x x x x C -=-=-=-+??? 2. 解答下列各题： (1) 一平面曲线经过点(1，0)，且曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程； (2) 设sin x 为f (x )的一个原函数，求 ()f x '?d x ； (3) 已知f (x )的导数是sin x ，求f (x )的一个原函数； (4) 某商品的需求量Q 是价格P 的函数，该商品的最大需求量为1000(即P=0时，Q =1000),已知需求量的变化率(边际需求)为Q ′(P )=-10001( )3 P ln3,求需求量与价格的函数关系. 解 (1)设所求曲线方程为y =f (x ),由题设有f′(x )=2x -2, 又曲线过点(1,0),故f (1)=0代入上式有1-2+C =0得C =1,所以,所求曲线方程为 2()21f x x x =-+. (2)由题意有(sin )()x f x '=,即()cos f x x =, 故 ()sin f x x '=-, 所以 ()sin sin cos d d d f x x x x x x x C '=-=-=+???. (3)由题意有()sin f x x '=,则1()sin cos d f x x x x C ==-+? 于是 1 2 ()(cos )sin d d f x x x C x x C x C =-+=-++??. 其中12,C C 为任意常数,取120C C ==,得()f x 的一个原函数为sin x -. 注意此题答案不唯一.如若取121,0C C ==得()f x 的一个原函数为sin x x --. (4)由1()1000( )ln 33 P Q P '=-得将P =0时,Q =1000代入上式得C =0

微积分刘迎东编第四章习题4.6答案

4.6 有理函数的积分习题4.6 求下列不定积分：（1）3 3 x dx x +? 解： ()()()33223227939272727ln 33239327327ln 3.32 x t t dxx t t t dt t t C x t x x x x C ??+=-+-=-+-+ ?+?? ++=-++-++?? （2）223310 x dx x x ++-? 解：()2222231310ln 310.310310 x dx d x x x x C x x x x +=+-=+-++-+-?? （3）2125x dx x x +-+? 解： ()()()()22222222511122412252252251211ln 25arctan .22 d x x d x x x dx dx x x x x x x x x x x C -+-+-+==+-+-+-+-+-=-+++???? （4）() 21dx x x +? 解：()()()()22 222222211111ln .2212111d x dx x d x C x x x x x x x ??==-=+ ?++++????? （5）331 dx x +? 解：

( )( )322222223121213ln 1111211131ln 1212121ln 1ln 1.2x x dx dx x dx x x x x x x d x x x dx x x x x x x C ---??=+=+- ?++-+-+?? -+=+-+-+??-+ ?? ???=+--+++????? （6）()() 221 11x dx x x ++-? 解：()()()222211111122ln 1.1121111x dx dx x C x x x x x x ?? ?+=+-=-++ ?-+++-+ ??? ?? （7）()()() 123xdx x x x +++? 解： ()()()13222123123132ln 2ln 1ln 3.22 xdx dx x x x x x x x x x C ??-- ?=++ ?++++++ ??? =+-+-++?? （8）5438x x dx x x +--? 解： ()()542233232 8811184332118ln 4ln 13ln 1.32x x x x dx x x dx x x x x x x x x dx x x x x x x x x x C ??+-+-=+++ ? ?-+-?? ??=+++-- ?+-?? =+++-+--+??? （9）()() 221dx x x x ++?

大学高等数学上习题(附答案)

《高数》习题1（上）一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?

高等数学第四章不定积分课后习题详解

第4章不定积分习题4-1 1.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！

★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

近十份大学微积分下期末试题汇总(含答案)

浙江大学2007-2008学年春季学期《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷一、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a = ,3b = ,3a b ?= ,则a b += . 3.设(,)f u v 可微，(,)y x z f x y =,则dz = . 4.设()f x 在[0，1]上连续，且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y = ≤≤≤≤,则 ()() ()() D af x bf y d f x f y σ++?? = . 5.设(,)f x y 为连续函数，交换二次积分次序 2220 (,)x x dx f x y dy -=? ? . 二、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，把所选字母填入题后的括号内） 6.直线l 1: 155 121x y z --+==-与直线l 2:623 x y y z -=??+=?的夹角为（A ） 2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6 π . [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数，极坐标系中的二次积分 cos 2 0d (cos ,sin )d f r r r r π θθθθ? ? 可以写成直角坐标中的二次积分为（A ）100(,)dy f x y dx ?? （B ）1 00(,)dy f x y dx ?? （C ） 10 (,)dx f x y dy ? ? （D ）10 (,)dx f x y dy ?? [ ] 8.设1, 02 ()122, 12 x x f x x x ? ≤≤??=??-≤?? ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数，则5()2S -= （A ） 12. （B ）12-. （C ）34. （D ）3 4 -. [ ] ＜

微积分总复习题与答案

第五章一元函数积分学例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写出cos t a == 邻边斜边，于是21arcsin(/)22a x a C =+ 例3：求不定积分sin x xdx ? 分析：如果被积函数()sin f x x x =中没有x 或sinx ，那么这个积分很容易计算出来，所以可以考虑用分部积分求此不定积分，如果令u=x ，那么利用分部积分公式就可以消去x （因为' 1u =）解令,sin u x dv xdx ==，则du dx =，cos v x =-. 于是sin (cos )(cos )cos sin x xdx udv uv vdu x x x dx x x x C ==-=---=-++???? 。熟悉分部积分公式以后，没有必要明确的引入符号,u v ，而可以像下面那样先凑微分，然后直接用分部积分公式计算： sin cos (cos cos )cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C =-=--=-++???

高等数学第四章不定积分课后习题详解

高等数学第四章不定积分课后习题详解 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第4章不定积分内容概要课后习题全解习题4-1 1.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)

思路: 被积函数52 x -=，由积分表中的公式（2）可解。解：5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?

思路:注意到22222 1111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23(1dx x -+? 思路:分项积分。解：2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★ (9) 思路 = 11172488x x ++==，直接积分。解：715888.15x dx x C ==+? ★★(10)221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。解：222222111111()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)211 x x e dx e --?

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