微积分第五章不定积分习题解答

12
sin 2 x d(sin 2 x ) ( 38) ∫ dx = ∫ = arctan(sin 2 x ) + C . 4 4 1 + sin x 1 + sin x
dx (40) ∫ = ∫ csc 4 x dx = − ∫ (1 + cot 2 x ) d(cot x ) sin 4 x
1 = − cot x − cot 3 x + C . 3 dx (42) ∫ , 令 3 x + 1 = t , x + 1 = t 3 , dx = 3t 2 dt , 3
= tan x − sec x + C .
1 dx dx 1 2 (13) ∫ =∫ = ∫ sec x dx = tan x + C . 2 2 1 + cos 2 x 2 cos x 2
5
sin x sin x (16) ∫ dx = ∫ dx 2 1 + cos 2 x 2 cos x
1 1 = ∫ sec x tan x dx = sec x + C . 2 2 2 x 1 (17) ∫ dx = ∫ (1 − ) dx = x − arctan x + C . 2 2 1+ x 1+ x
= 2 ∫ arctan x d(arctan x )
= (arctan x ) + C .
2
10
dx ( 28) ∫ =∫ 1 + cos x
1 2 x dx = ∫ sec dx 2 x 2 2 2 cos
1 2
x = tan + C . 2
dx 1 − cos x dx =∫ 或解： 或解：∫ 2 1 + cos x sin x
(19)
∫
1 1 1 dx = ∫ ( 2 − ) dx 2 2 2 x (1 + x ) x 1+ x
1 = − − arctan x + C . x
6
习题5. 5.3 P218 习题5.3 2.求下列不定积分： 2.求下列不定积分： 求下列不定积分
1 ( 2 ) ∫ ( 3 − 2 x ) d x = − ∫ ( 3 − 2 x ) 3 d( 3 − 2 x ) 2 1 4 = − (3 − 2 x ) + C . 8 dx dx 1 d( 2 x − 3 ) 1 ( 4) 2= ∫ (2 x − 3) 2 = − 2(2 x − 3) + C . ( 2 x − 3) 2
f ′(1) = k = tan 45 o = 1 , 1 2 f ( x) = x + C , 2 1
习题5. 5.2 P201 习题5.2 1.求下列不定积分： 1.求下列不定积分： 求下列不定积分
1 3 (1) ∫ ( x − 2) dx = ∫ ( x − 4x + 4) dx = x − 2x2 + 4x + C . 3
x+1 + C , 求 f ( x) . 4. 若 ∫ f ( x ) dx = x −1
解
x+1 −2 . f ( x) = ( )′ = 2 x −1 ( x − 1)
2
6. 已知一条曲线上任一点的切线的斜率与该点的横坐 标成正比,又已知曲线过点(1,3), 标成正比,又已知曲线过点(1,3), 并且这一点处的切线 o 求此曲线方程. 的倾角为 45 , 求此曲线方程.
ex x ex
9
( 24)
∫
dx d(ln x ) =∫ x ln x ln ln x ln x ln ln x
d(ln ln x ) =∫ = ln ln ln x + C . ln ln x
arctan x ( 26) ∫ dx = 2 arctan x d x ∫ 1+ x x (1 + x )
19
t2 2 dt = t 2 arctan t − ∫ （6）原式 = ∫ arctan t dt ） 2 1+ t
x =t
1 )dt = t arctan t − ∫ (1 − 2 1+ t
2
= t 2 arctan t − t + arctan t + C
= x arctan x − x + arctan x + C
由题意, 设曲线方程为 y = f ( x ) , 由题意, y ′ = kx , 1 2 所以 f ( x ) = ∫ kx dx = kx + C , 2
解
因为
所以
5 已知曲线过点(1,3), 已知曲线过点(1,3), f (1) = + C = 3 , ⇒ C = , 2 2 1 2 5 即所求曲线的方程为 f ( x ) = x + . 2 2 3
20
1 (8) ∫ ln x dx = x ln x − ∫ x ⋅ 2 ln x ⋅ dx x 2 = x ln x − 2 ∫ ln x dx
2
2
= x ln x − 2 x ln x + 2 x + C .
2
1 (8) ∫ x sin x cos x dx = ∫ x sin 2 x dx 2 1 1 1 = − ∫ x d cos 2 x = − x cos 2 x + ∫ cos 2 x dx 4 4 4 1 1 = − x cos 2 x + sin 2 x + C . 4 8
(44)
∫
x dx , 2 − 3x
2
1 2 2 解 令 2 − 3 x = t ， x = ( 2 − t ) ， dx = − t dt ， 3 3
2 ( 2 − t 2 )t 2 2 3 4 2 d t = ∫ ( t − 2 ) dt = 原式 = − ∫ t − t+C 3 3t 9 27 9 3 2 4 2 (2 − 3 x ) − 2 − 3x + C . = 27 9 x 1 2 − 3x − 2 或解: 或解: ∫ dx = − ∫ dx 3 2 − 3x 2 − 3x 3 1 2 2 4 2 )dx = (2 − 3 x) − = − ∫ ( 2 − 3x − 2 − 3x + C . 3 2 − 3x 27 9
( t + 1) ∫ t 10 dt
2
1 2 1 1 1 1 = ∫ ( 8 + 9 + 10 ) dt = − 7 − 8 − 9 + C 7t 4t 9t t t t
1 1 1 =− − − +C . 7 8 9 7( x − 1) 4( x − 1) 9( x − 1)
(54)
∫
1 3x = arcsin +C . 2 3 2 4 − 9x
3 2
1 u+1−1 1 1 du = ∫ ( u + 1 − = ∫ ) du 2 2 u+1 u+1 3 3 1 1 2 2 = ( u + 1) − u + 1 + C = ( x + 1) 2 − x 2 + 1 +15C . 3 3
x2 x −1 = t (50) ∫ dx 10 ( x − 1)
( 2)
xe − x dx = − ∫ x de − x = − xe − x + e − x dx ∫
∫
= − xe
2
−x
−e
−x
= −( x + 1)e − x + C . +C
1 (4) ∫ x ln x dx = ∫ ln x dx 3 3
1 3 1 3 1 = x ln x − ∫ x ⋅ dx 3 3 x 1 3 1 3 = x ln x − x + C . 3 9
1+ x +1 t2 t2 −1+1 1 dt = 3 ∫ dt = 3 ∫ ( t − 1 + ) dt 原式 = 3 ∫ 1+ t 1+ t 1+ t 3 2 = t − 3t + 3 ln t + 1 + C 2 2 3 = ( x + 1) 3 − 33 x + 1 + 3 ln 3 x + 1 + 1 + C . 13 2
1 − cos x +C sin x
= ∫ (csc x − cot x ⋅ csc x ) dx
2
= − cot x + csc x + C .
sin x +C 1 + cos x
11
1 ( 30) ∫ cos x dx = ∫ (1 − sin x ) d sin x = sin x − sin 3 x + C . 3
14
( 48)
∫
x3 1+ x
2
dx
x = tan t
wenku.baidu.com
tan 3 t ⋅ sec 2 t ∫ sec t dt
= ∫ tan 3 t ⋅ sec t dt = ∫ (sec 2 t − 1) d sec t
1 1 2 3 2 = sec t − sec t + C = ( x + 1) − x + 1 + C . 3 3 2 3 2 x 1 x 2 x = u dx = ∫ dx 或解: 或解: ∫ 2 1 + x2 x2 + 1
微积分第五章习题解答
1
习题5.1 P198 习题5.1 1.求下列不定积分： 1.求下列不定积分： 求下列不定积分
( 2)
∫x
dx
2
x
=∫x
−
5 2
2 dx = − x 3
−
3 2
+C .
( 3e) x ( 3) ∫ 3 x e x dx = ∫ ( 3e) x dx = +C . ln( 3e)
2
2
3 2 ( 5) ∫ ( − ) dx = 3 arctan x − 2 arcsin x + C . 2 1+ x 1 − x2
3 (6) ∫ ( 2e + ) dx = 2e x + 3 ln x + C . x
x
1 (9) ∫ (1 − 2 ) x x dx = ∫ ( x − x x
4 = x + 4x 7
16
dx
(56)
∫ 1+
dx 1 − x2
1
x = sin t
cos t ∫ 1 + cos t dt
t ) dt = t − tan + C = ∫ (1 − 2 2 t 2 cos 2 sin t x =t− + C = arcsin x − +C . 2 1 + cos t 1+ 1− x
17
3 2
x3 9 1 2 9 1 2 ( 32) ∫ dx = ∫ (1 − ) dx = x − ln( 9 + x 2 ) + C . 9 + x2 2 9 + x2 2 2
dx 1 x+2 ( 34) ∫ = ln +C . 2 4− x 4 x−2
1 ( 36) ∫ sin 2 x cos 3 x dx = ∫ (sin 5 x − sin x ) dx 2 1 1 = − cos 5 x + cos x + C . 10 2
3
∫
( 6)
2 − 3x 1 =− 2 − 3x2 + C . 3
2
∫
x
dx = − 1
∫ 6
1 2 − 3x2
d( 2 − 3 x )
2
7
1 − x2 (8) ∫ xe dx = − e + C . 2 1 + cos 6 x 1 1 2 (10) ∫ cos 3 x dx = ∫ dx = x + sin 6 x + C . 2 2 12 1 1 1 1 1 (12) ∫ 2 sin dx = − ∫ sin d( ) = cos + C . x x x x x
7 4 − 1 4
3 4
−
5 4
) dx
+C .
4
2 x 2 ⋅ 3x − 5⋅ 3x (10) ∫ dx = ∫ [2 − 5( ) ] dx x 3 3
5 2 x ( ) +C . = 2x − ln 2 − ln 3 3
(11)
sec x(sec x − tan x ) dx = ∫ (sec 2 x − sec x tan x ) dx ∫
习题5.5 习题5.5 5.
(1)
∫
1 x sin 2 x dx = − ∫ x d cos 2 x 2
1 1 = − x cos 2 x + ∫ cos 2 x dx 2 2
1 1 = − x cos 2 x + sin 2 x + C . 2 4
18
习题5. 5.4 P225 习题5.4 1.求下列不定积分： 1.求下列不定积分： 求下列不定积分
− x2
(14)
∫ tan
3
x sec x dx = ∫ tan x d(sec x )
2
1 = ∫ (sec x − 1) d(sec x ) = sec 3 x − sec x + C . 3
2
8
dx d(tan x ) (16) ∫ =∫ = 2 tan x + C . 2 cos x tan x tan x
(18)
∫
dx d(ln x ) =∫ = ln ln x + C . x ln x ln x
1 + cos x d( x + sin x ) ( 20) ∫ dx = ∫ = ln x + sin x + C . x + sin x x + sin x
( 22)
∫e
ex + x
dx = ∫ e de = e + C .