DSP第四章
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分段 卷积
x[n i ( N M +1)] 0 n N 1 xi (n) 0 其它n
yi (n ) xi (n ) * h(n ) xi (n )
N
h( n )
舍弃yi(n)的前M-1个点，再将yi(n)顺次连接， 即得y(n)。
5
2014/5/17
九、线性卷积和线性相关的FFT算法
1、线性卷积的FFT算法
若L点x(n)，M点h(n)， 则直接计算其线性卷积y(n)
FFT法：以圆周卷积代替线性卷积
令 N 2m M L 1 x ( n) 0 n L 1 x ( n) L n N 1 0
h( n) 0 n M 1 h( n) M n N 1 0 则 y ( n ) x ( n ) * h( n ) x ( n ) N h( n )
nk * nk ( N n ) k n ( N k ) (WN ) WN WN WN nN nk nk WN WN WNNk WN nk ( N n ) k n ( N k ) WN WN WN nk mnk WN WmN nk nk / m WN WN /m
周期性 可约性
e
j
2 mnk mN
e
j
2 N N 2
e j 1
0 ( k N / 2) k 特殊点： WN 1 WNN / 2 1 WN WN
1
2014/5/17
FFT 算法的基本思想： 利用DFT 系数的特性，合并DFT 运算中的某些项， 把长序列DFT 短序列DFT，从而减少其运算量。
得到利用FFT程序求IFFT
混合基FFT算法——基4FFT算 法
(l) 将X(k)取共轭得X*(k)； (2) 将X*(k)进行FFT运算(用FFT程序) (3) 对FFT的结果取共轭，并除以N得x(n)。
与以前讲过的比较，基2和基4的加法 次数算法相同，与基2相比基4算法的复 乘数可以节约25%。经过分析可以得出 基8比基4的复乘数相差不远，节约有限。
y (n ) yi (n ) [ xi (n ) * h( n )] [ xi ( n )
i i i
N
h( n )]
则N M L 1 L
M 2 3log 2 L
Km
1）X i (k ) FFT [ xi (n )]
4）yi (n ) IFFT [Yi (k )]
h( n) h( M 1 n)
则需运算量： md LM / 2
mF N (1 3/ 2*log 2 N )
比较直接计算和FFT法计算的运算量
Km md ML mF 2 N (1 3/ 2*log 2 N )
1）重叠相加法
对长序列x (n )分段，每段L点， L与h(n )的长度M 等数量级
第四章 快速傅里叶变换
FFT: Fast Fourier Transform
一、直接计算DFT的问题及改进途径
N点有限长序列x(n)
DFT :
nk X (k ) DFT [ x(n )] x(n )WN RN ( k ) n 0 N 1
1965年，Cooley, Tukey 《机器计算傅里叶级数的一种算法》
x(n)Wቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n 0
N 1
对称性
a jb c jd ac bd j ad cb
一次复乘 一次复加 一个X (k) N个X (k) (N点DFT) 4N 4N 2 实数乘法 4 实数加法 2 2 2N+2 (N – 1)=2 (2N – 1) 2N (2N – 1)
x(n) iL n (i 1) L 1 xi (n) 其它n 0
讨论：
1）当 M L
则N M L 1 2M
i 0,1,...
Km
2）当
M2 M 4M [1 3/ 2*(1 log 2 M )] 10 6log 2 M
令N 2m M L 1
2、线性相关的FFT算法
若L点x(n)，M点y(n)，计算线性相关：
rxy (n) x(n m) y* (m)
m 0 M 1
1）X (k ) FFT [ x(n )] 2）Y (k ) FFT [ y (n )]
3）Rxy (k ) X (k ) Y * (k )
4）rxy (n ) IFFT [ Rxy (k )]
1. IFFT
再做复加减， DIF-FFT则相反； 运算量相同；
设有序列x(n)，其DFT为X(k)，则IDFT为
IDFT的快速算法IFFT
1. IFFT
IDFT的快速算法IFFT
2.利用FFT的程序求IFFT的方法
对DFT正变换式取共轭为
再取一次共轭为
3
2014/5/17
IDFT的快速算法IFFT
2014/5/17
第四章学习目标
理解按时间抽选的基-2FFT算法的算法原理、运
数字信号处理
中山大学南方学院
算流图、所需计算量和算法特点
理解按频率抽选的基-2FFT算法的算法原理、运
算流图、所需计算量和算法特点
理解IFFT算法 了解混合基、分裂基和基-4FFT算法 了解CZT算法 理解线性卷积的FFT算法及分段卷积方法
5）y (n ) yi (n )
i
L
Km
重叠相加法 需采用分段卷积 重叠保留法
2）H (k ) FFT [h(n )]
3）Yi (k ) X i (k ) H (k )
4
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2）重叠保留法
0 0 n M 2 右移序列 x(n) x [ n ( M 1)] M 1 n
分解后的运算量
运算量
2
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频率抽选法
频率抽选法就是在频域内将X(k)逐次分解
成偶数点子序列和奇数点子序列，然后 对这些分解得越来越短的子序列进行 DFT运算，就可得整个频域内序列的FFT 流图。
DIT-FFT与DIF-FFT的异同
基本碟形运算不同；DIT-FFT是先做复乘
IDFT的快速算法IFFT
rxy (n ) 1 N
令N 2 M L 1
m
x ( n) 0 n L 1 x ( n) L n N 1 0 y ( n) 0 n M 1 y ( n) M n N 1 0
R
k 0
N 1
xy
nk (k )WN
1 N 1 * Rxy (k )WNnk N k 0
*
思考题：
下列DFT应用中，能否将x(n)补零点使 N 2m 1）频谱分析 2）计算线性卷积
3）计算X ( z )
z re
j
2 k N
6
1) H(k) = FFT [h(n)] 2) X(k) =FFT [x(n)] 3) Y(k) = H(k)X(k) 4) y(n) = IFFT [Y(k)] N /2*log2N N /2*log2N N N /2*log2N
y (n ) h(m) x(n m)
m 0
M 1
需运算量： md LM 若系统满足线性相关，即：
FFT算法分类:
时间抽选法
时间抽选法
时间抽选法，就是在时域内逐次将序列
DIT: Decimation-In-Time
频率抽选法
分解成奇数子序列和偶数子序列，通过 求子序列的DFT而实现整个序列的DFT， 将计算DFT的运算量从N2复乘减少到 (N2)log2N次复乘。
DIF: Decimation-In-Frequency
IDFT : x(n ) IDFT [ X ( k )] 1 N
X (k )W
k 0
N 1
nk N
RN ( n )
运算量
复数乘法 复数加法 一个X(k) N个X(k) (N点DFT) N N2 N–1 N (N – 1)
nk N
nk WN 的特性
nk WN e
j
2 nk N
x[n i ( N M +1)] 0 n N 1 xi (n) 0 其它n
yi (n ) xi (n ) * h(n ) xi (n )
N
h( n )
舍弃yi(n)的前M-1个点，再将yi(n)顺次连接， 即得y(n)。
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九、线性卷积和线性相关的FFT算法
1、线性卷积的FFT算法
若L点x(n)，M点h(n)， 则直接计算其线性卷积y(n)
FFT法：以圆周卷积代替线性卷积
令 N 2m M L 1 x ( n) 0 n L 1 x ( n) L n N 1 0
h( n) 0 n M 1 h( n) M n N 1 0 则 y ( n ) x ( n ) * h( n ) x ( n ) N h( n )
nk * nk ( N n ) k n ( N k ) (WN ) WN WN WN nN nk nk WN WN WNNk WN nk ( N n ) k n ( N k ) WN WN WN nk mnk WN WmN nk nk / m WN WN /m
周期性 可约性
e
j
2 mnk mN
e
j
2 N N 2
e j 1
0 ( k N / 2) k 特殊点： WN 1 WNN / 2 1 WN WN
1
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FFT 算法的基本思想： 利用DFT 系数的特性，合并DFT 运算中的某些项， 把长序列DFT 短序列DFT，从而减少其运算量。
得到利用FFT程序求IFFT
混合基FFT算法——基4FFT算 法
(l) 将X(k)取共轭得X*(k)； (2) 将X*(k)进行FFT运算(用FFT程序) (3) 对FFT的结果取共轭，并除以N得x(n)。
与以前讲过的比较，基2和基4的加法 次数算法相同，与基2相比基4算法的复 乘数可以节约25%。经过分析可以得出 基8比基4的复乘数相差不远，节约有限。
y (n ) yi (n ) [ xi (n ) * h( n )] [ xi ( n )
i i i
N
h( n )]
则N M L 1 L
M 2 3log 2 L
Km
1）X i (k ) FFT [ xi (n )]
4）yi (n ) IFFT [Yi (k )]
h( n) h( M 1 n)
则需运算量： md LM / 2
mF N (1 3/ 2*log 2 N )
比较直接计算和FFT法计算的运算量
Km md ML mF 2 N (1 3/ 2*log 2 N )
1）重叠相加法
对长序列x (n )分段，每段L点， L与h(n )的长度M 等数量级
第四章 快速傅里叶变换
FFT: Fast Fourier Transform
一、直接计算DFT的问题及改进途径
N点有限长序列x(n)
DFT :
nk X (k ) DFT [ x(n )] x(n )WN RN ( k ) n 0 N 1
1965年，Cooley, Tukey 《机器计算傅里叶级数的一种算法》
x(n)Wቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n 0
N 1
对称性
a jb c jd ac bd j ad cb
一次复乘 一次复加 一个X (k) N个X (k) (N点DFT) 4N 4N 2 实数乘法 4 实数加法 2 2 2N+2 (N – 1)=2 (2N – 1) 2N (2N – 1)
x(n) iL n (i 1) L 1 xi (n) 其它n 0
讨论：
1）当 M L
则N M L 1 2M
i 0,1,...
Km
2）当
M2 M 4M [1 3/ 2*(1 log 2 M )] 10 6log 2 M
令N 2m M L 1
2、线性相关的FFT算法
若L点x(n)，M点y(n)，计算线性相关：
rxy (n) x(n m) y* (m)
m 0 M 1
1）X (k ) FFT [ x(n )] 2）Y (k ) FFT [ y (n )]
3）Rxy (k ) X (k ) Y * (k )
4）rxy (n ) IFFT [ Rxy (k )]
1. IFFT
再做复加减， DIF-FFT则相反； 运算量相同；
设有序列x(n)，其DFT为X(k)，则IDFT为
IDFT的快速算法IFFT
1. IFFT
IDFT的快速算法IFFT
2.利用FFT的程序求IFFT的方法
对DFT正变换式取共轭为
再取一次共轭为
3
2014/5/17
IDFT的快速算法IFFT
2014/5/17
第四章学习目标
理解按时间抽选的基-2FFT算法的算法原理、运
数字信号处理
中山大学南方学院
算流图、所需计算量和算法特点
理解按频率抽选的基-2FFT算法的算法原理、运
算流图、所需计算量和算法特点
理解IFFT算法 了解混合基、分裂基和基-4FFT算法 了解CZT算法 理解线性卷积的FFT算法及分段卷积方法
5）y (n ) yi (n )
i
L
Km
重叠相加法 需采用分段卷积 重叠保留法
2）H (k ) FFT [h(n )]
3）Yi (k ) X i (k ) H (k )
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2）重叠保留法
0 0 n M 2 右移序列 x(n) x [ n ( M 1)] M 1 n
分解后的运算量
运算量
2
2014/5/17
频率抽选法
频率抽选法就是在频域内将X(k)逐次分解
成偶数点子序列和奇数点子序列，然后 对这些分解得越来越短的子序列进行 DFT运算，就可得整个频域内序列的FFT 流图。
DIT-FFT与DIF-FFT的异同
基本碟形运算不同；DIT-FFT是先做复乘
IDFT的快速算法IFFT
rxy (n ) 1 N
令N 2 M L 1
m
x ( n) 0 n L 1 x ( n) L n N 1 0 y ( n) 0 n M 1 y ( n) M n N 1 0
R
k 0
N 1
xy
nk (k )WN
1 N 1 * Rxy (k )WNnk N k 0
*
思考题：
下列DFT应用中，能否将x(n)补零点使 N 2m 1）频谱分析 2）计算线性卷积
3）计算X ( z )
z re
j
2 k N
6
1) H(k) = FFT [h(n)] 2) X(k) =FFT [x(n)] 3) Y(k) = H(k)X(k) 4) y(n) = IFFT [Y(k)] N /2*log2N N /2*log2N N N /2*log2N
y (n ) h(m) x(n m)
m 0
M 1
需运算量： md LM 若系统满足线性相关，即：
FFT算法分类:
时间抽选法
时间抽选法
时间抽选法，就是在时域内逐次将序列
DIT: Decimation-In-Time
频率抽选法
分解成奇数子序列和偶数子序列，通过 求子序列的DFT而实现整个序列的DFT， 将计算DFT的运算量从N2复乘减少到 (N2)log2N次复乘。
DIF: Decimation-In-Frequency
IDFT : x(n ) IDFT [ X ( k )] 1 N
X (k )W
k 0
N 1
nk N
RN ( n )
运算量
复数乘法 复数加法 一个X(k) N个X(k) (N点DFT) N N2 N–1 N (N – 1)
nk N
nk WN 的特性
nk WN e
j
2 nk N